2017年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 A=x|16 0， B=x| 2 x 6，则 A B 等于（ ） A（ 2， 4） B（ 4， 6 C（ 4， 6） D（ 4， 2） 2设复数 z= 2+i（ i 是虚数单位）， z 的共轭复数为 ，则 |（ 2+z） |等于（ ） A B 2 C 5 D 3若向量 =（ 2， 1）， =（ 3 x， 2）， =（ 4， x）满足（ 6 ） =8，则 ） A 4 B 5 C 6 D 7 4设函数 f（ x） = 在区间 0， e上随机取一个实数 x，则 f（ x）的值不小于常数 e 的概率是（ ） A B 1 C D 5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了？ ”根据此规律，求后 3 天一共走多少里（ ） A 156 里 B 84 里 C 66 里 D 42 里 6执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 7点 P 在双曲线 =1（ a 0， b 0）的右支上，其左、右焦点分别为 2，直线 以坐标原点 O 为圆心， a 为半径的圆相切于点 A，线段 垂直平分线恰好过点 的值为（ ） A B C D 8若 ） = ，则 +2）的值为（ ） A B C D 9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 64+18 B 64+16 C 96 D 92 2 10已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期为 4，且其图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x） =图象，则 等于（ ） A B C D 11已知四棱锥 P 顶点都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 底面 ，则球 ） A B C 24 D 12已知函数 f（ x） = +a（ x e， e 是自然对数的底）与 g（ x） =3x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0， 4 B 0， +2 C +2， 4 D 4， + ） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 f（ 2x） =x+3，若 f（ a） =5，则 a= 14过点（ 1， 0）且与直线 x y+3=0 平行的直线 l 被圆（ x 6） 2+（ y ）2=12 所截得的弦长为 15设各项均为正数的等差数列 前 n 项和为 满足 5， 5，则 16若实数 x， y 满足 ，且 z=y（ m 2）的最小值为 ，则m= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b= ， a+c=3，求 面积 18在高中学习过程中，同学们经常这样说： “数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题 ”某班针对 “高中生物理学习对数学学习的影响 ”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论现从该班随机抽取 5 名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表： 成绩 编号 1 2 3 4 5 物理（ x） 90 85 74 68 63 数学（ y） 130 125 110 95 90 （ 1）求数学成绩 y 对物理成绩 x 的线性回归方程 = x+ （ 精确到 若某位学生的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩； （ 2）要从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的概率（参考公式： = ， = ） （参考数据： 902+852+742+682+632=29394， 90 125+74 110+68 95+6390=42595） 19如图，已知四边形 别为正方形和直角梯形，平面 平面 C= ， M 是棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 D 体积 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）经过点（ ， ），离心率为 ，点 O 位坐标原点 （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）过椭圆 E 的左焦点 F 作任一条不垂直于坐标轴的直线 l，交椭圆 E 于 P， 弦 中点为 M，过 F 作 中点为 M，过 F 做 垂线 直线 点 N，证明，点 N 在一条定直线上 21已知函数 f（ x） =2311x （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 恒成立，求整数 四、选修题 4标系与参数方程 22以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为 （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，当 变化时，求 |最小值 选修题 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）求不等式 f（ x） +4 0 的解集； （ 2）设 g（ x） = |x+7|+3m，若关于 x 的不等式 f（ x） g（ x）的解集非空，求实数 m 的取值范围 2017 年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设 集合 A=x|16 0， B=x| 2 x 6，则 A B 等于（ ） A（ 2， 4） B（ 4， 6 C（ 4， 6） D（ 4， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式得集合 A，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|16 0=x|x 4 或 x 4， B=x| 2 x 6， 则 A B=x|4 x 6=（ 4， 6 故选： B 2设复数 z= 2+i（ i 是虚数单位）， z 的共轭复数为 ，则 |（ 2+z） |等于（ ） A B 2 C 5 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数求模 【分析】 把 z 代入（ 2+z） ，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的计算公式计算 【解答】 解： z= 2+i， （ 2+z） =（ 2 2+i） （ 2 i） =i（ 2 i） =1 2i， 则 |（ 2+z） |= 故选： A 3若向量 =（ 2， 1）， =（ 3 x， 2）， =（ 4， x）满足（ 6 ） =8，则 ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先计算 6 的坐标，再根据 6 ） =8 列方程解出 x 【解答】 解： 6 =（ 9+x， 8）， （ 6 ） =4（ 9+x） 8x=36 4x=8， x=7 故选 D 4设函数 f（ x） = 在区间 0， e上随机取一个实数 x，则 f（ x）的值不小于常数 e 的概率是（ ） A B 1 C D 【考点】 几何概型 【分析】 1 x e， e f（ x） 1+e，以长度为测度，即可求出概率 【解答】 解：由题意， 0 x 1， f（ x） e， 1 x e， e f（ x） 1+e， f（ x）的值不小于常数 e， 1 x e， 所求概率为 =1 ， 故选 B 5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了？ ”根据此规律，求后 3 天一共走多少里（ ） A 156 里 B 84 里 C 66 里 D 42 里 【考点】 数列的应用 【分析】 由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列 其中 q= ， 78利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列 其中 q= ，78 则 =378，解得 92 后 3 天一共走了 a4+a5+=192 =42 故选： D 6执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果 【解答 】 解：模拟程序的运行，可得 i=0， S=1 满足条件 i 4，执行循环体， i=1， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=2， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=3， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=4， S= 不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 7点 P 在双曲线 =1（ a 0， b 0）的右支上，其左、右焦点分别为 2，直线 以坐标原点 O 为圆心， a 为半径的圆相切于点 A，线段 垂直平分线恰好过点 的值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意，线段 垂直平分线恰过点 直为 D，则 据三角形的面积公式计算即可 【解答】 解：由题意，线段 垂直平分线恰过点 直为 D，则 yp， = = ， 故选： D 8若 ） = ，则 +2）的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用二倍角公式求出 2）的值，再利用诱导公式求出 +2）的值 【解答】 解： ） = ， 2） =2 ） 1 =2 1 = ， +2） =（ 2） = 2） = 故选： A 9已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 64+18 B 64+16 C 96 D 92 2 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何是一个以俯视图中大菱形为底面的四棱柱，切去一个以俯视图中小菱形为底面的四棱柱，得到的组合 体，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何是一个以俯视图中大菱形为底面的四棱柱，切去一个以俯视图中小菱形为底面的四棱柱，得到的组合体， 其表面积相当于大棱柱的表面积， 故 S=2 4 4 +4 4 4=64+16 ， 故选： B 10已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期为 4，且其图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x） =图象，则 等于（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 利用三角函数的周期性求得 的值，再根据函数 y=x+）的图象变换规律，求得 的值 【解答】 解： f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期为 4， =4， = ， f（ x） =x+） 且其图象向右平移 个单位后 得到函数 y=（ x ） +=x+ ） =g（ x） =x 的图象， 则 = ， 故选： C 11已知四棱锥 P 顶点都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 底面 ，则球 ） A B C 24 D 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 在圆的半径，利用勾股定理求出球 O 的半径 R，即可求出球 O 的表面积 【解答】 解：令 在圆的圆心为 圆 半径 r= ， 因为平面 底面 所以 ， 所以球 O 的半径 R= = ， 所以球 O 的表面积 =4 故选 B 12已知函数 f（ x） = +a（ x e， e 是自然对数的底）与 g（ x） =3x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0， 4 B 0， +2 C +2， 4 D 4， + ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 根据题意，可以将原问题转化为方程 a+1=31区间 ， e上有解，构造函数 g（ x） =31用导数分析 g（ x）的最大最小值，可得 g（ x）的值域，进而分析可得方程 a+1=31区间 ， e上有解，必有 1 a+13，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】 解：根据题意，若函数 f（ x） = +a（ x e， e 是自然对数的底）与 g（ x） =3图象上存在关于 x 轴对称的点， 则方程 +a= 3区间 ， e上有解， +a= 3a+1=31方程 a+1=31区间 ， e上有解， 设函数 g（ x） =31导数 g（ x） =3= ， 又由 x ， e， g（ x） =0 在 x=1 有唯一的极值点， 分析可得：当 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）为减函数， 当 1 x e 时， g（ x） 0， g（ x）为增函数， 故函数 g（ x） =31最小值 g（ 1） =1， 又由 g（ ） = +3， g（ e） =3；比较可得： g（ ） g（ e）， 故函数 g（ x） =31最大值 g（ e） =3， 故函数 g（ x） =31区间 ， e上的值域为 1， 3； 若方程 a+1=31区间 ， e上有解， 必有 1 a+1 3，则有 0 a 4， 即 a 的取值范围是 0， 4； 故选： A 二、填空题（本大 题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知 f（ 2x） =x+3，若 f（ a） =5，则 a= 4 【考点】 函数的零点与方程根的关系；函数的值 【分析】 令 a=2x，则 f（ a） =x+3=5，从而得出 x 的值，进而得出 a 的值 【解答】 解：令 a=2x，则 f（ a） =f（ 2x） =x+3=5， x=2， a=22=4 故答案为 4 14过点（ 1， 0）且与直线 x y+3=0 平行的直线 l 被圆（ x 6） 2+（ y ）2=12 所截得的弦长为 6 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 先求与直线 x y+3=0 平行的直线 l 的方程，再求圆心到直线 l 的距离，进而可求直线 l 被圆（ x 6） 2+（ y ） 2=12 截得的弦长 【解答】 解：设与直线 x y+3=0 平行的直线 l 的方程为 x y+c=0 直线过点（ 1， 0） c= 1 圆心到直线 l 的距离为 = ， 直线 l 被圆（ x 6） 2+（ y ） 2=12 截得的弦长为 2 =6 故答案为 6 15设各项均为正数的等差数列 前 n 项和为 满足 5， 5，则 140 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式与 求和公式即可得出 【解答】 解：设各项均为正数的等差数列 公差为 d 0， 5， 5， a1+d） =35， d） =45， 解得 ， d=2 则 0 5+ =140 故答案为： 140 16若实数 x， y 满足 ，且 z=y（ m 2）的最小值为 ，则m= 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断目标函数的最优解，求解即可 【解答】 解：实数 x， y 满足约束条件的可行域如图所示， z=y（ m 2）的最小值为 ， 可知目标函数的最优解过点 A， 由 ，解得 A（ ， 3）， = a 3， 解得 m=1， 故答案为： 1 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 b= ， a+c=3，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）根据正弦定理化 ，再根据余弦定理求出 B 的值； （ 2）利用余弦定理求出 值，再求 面积 【解答】 解：（ 1） ， ， = ， ac+c2= c2+ = = ， B= ； （ 2） b= ， a+c=3， b2=a2+2a2+2（ a+c） 2 ， ； 面积为 S= 1 = 18在高中学习过程中，同学们经常这样说： “数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题 ”某班针对 “高中生物理学习对数学学习的影响 ”进行研究，得到了苏俄生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结 论现从该班随机抽取 5 名学生在一次考试中的数学和物理成绩，如表： 成绩 编号 1 2 3 4 5 物理（ x） 90 85 74 68 63 数学（ y） 130 125 110 95 90 （ 1）求数学成绩 y 对物理成绩 x 的线性回归方程 = x+ （ 精确到 若某位学生的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩； （ 2）要从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的概率（参考公式： = ， = ） （参考数据： 902+852+742+682+632=29394， 90 125+74 110+68 95+6390=42595） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用方程， x=80 分，即可预测他的数学成绩； （ 2）利用对立事件的概率公式，即可得出结论 【解答】 解：（ 1） =76， =130， = = = =130（ 76 = x=80， =77； （ 2）从抽取的这五位学生中随机选出 2 位参加一项知识竞赛，有 =10 种方法，选中的学生的数学成绩至少有一位高于 120 分的概率为 1 = 19如图，已知四边形 别为正方形和直角梯形，平面 平面 C= ， M 是棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求三棱锥 D 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能证明 平面 （ 2）三棱锥 D 体积 F 此能求出结果 【解答】 证明：（ 1） 四边形 别为正方形和直角梯形， 平面 平面 C= ， M 是棱中点 以 A 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， D（ 0， 2， 0）， E（ 1， 0， 1）， M（ ）， C（ 0， 1， 1）， =（ ）， 平面 法向量 =（ 0， 1， 0）， =0， 面 平面 解：（ 2） 点 F 到平面 距离 ， S 梯形 S =1， 三棱锥 D 体积： F = = 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）经过点（ ， ），离心率为 ，点 O 位坐标原点 （ 1）求椭圆 E 的标准方程； （ 2）过椭圆 E 的左焦点 F 作任一条不垂直于坐标轴的直线 l，交椭圆 E 于 P， 弦 中点为 M，过 F 作 中点为 M，过 F 做 垂线 直线 点 N，证明，点 N 在一条定直线上 【考 点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率求得 点（ ， ）代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，即可椭圆方程； （ 2）设直线方程 l，则直线 y= （ x+2），将直线 l 代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，根据直线 程，求得直线 交点 N，即可得证 【解答】 解：（ 1）由题意可知：椭圆的离心率 e= = = ， 则 将点（ ， ）代入椭圆 ，解得： ， ， 椭圆 E 的标准方程 ； （ 2）证明：由题意可知：直线 l 的斜率存在，且不为 0， y=k（ x+2），直线 FN：y= （ x+2）， 设 P（ Q（ M（ 则 ，整理得：（ 1+5005=0， 由韦达定理可知： x1+ ， x1+， 则 = ， y0=k（ ） = ， 则直线 斜率为 = ， 直线 y= x， ，解得： ， 即有 k 取何值， N 的横坐标均为 ，则点 N 在一条定直线 x= 上 21已知函数 f（ x） =2311x （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处 的切线方程； （ 2）若关于 x 的不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 恒成立，求整数 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出原函数的导函数，得到 f（ 1），进一步求出 f（ 1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ a 3） 2a 13） x 1=2 2 2a） x 1，求其导函数 g（ x） = 可知当 a 0 时， g（ x）是（ 0， + ）上的递 增函数结合 g（ 1） 0，知不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13） x+1 不恒成立；当 a 0 时， g（ x） = 求其零点，可得 g（ x）在（ 0， ）上是增函数，在（ ， + ）上是减函数得到函数 g（ x）的最大值为 g（ ） = 0令 h（ a） = 由单调性可得 h（ a）在（ 0， + ）上是减函数，结合 h（ 1） 0，可得整数 a 的最小值为 1 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f（ 1） = 15， f（ 1） = 14， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为： y 14= 15（ x 1），即 y= 15x+1； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ a 3） 2a 13） x 1=2 2 2a） x 1， g（ x） = 当 a 0 时， x 0， g（ x） 0，则 g（ x）是（ 0， + ）上的递增函数 又 g（ 1） = a+2 2a 1=1 3a 0， 不等式 f（ x） （ a 3） 2a 13）x+1 不恒成立； 当 a 0 时， g（ x） = 令 g（ x） =0，得 x= ， 当 x （ 0， ）时， g（ x） 0；当 x （ ， + ）时， g（ x） 0 因此， g（ x）在（ 0， ）上是增函数，在（ ，