【大学物理上册课后答案】第4章 狭义相对论时空观

习 题 4-1 一辆高速车以 0.8c 的速率运动。地上有一系列的同步钟，当经过地面上的一 台钟时，驾驶员注意到它的指针在 ，他即刻把自己的钟拨到 。行驶了一0t 0t 段距离后，他自己的钟指到 6 us 时，驾驶员看地面上另一台钟。问这个钟的读数是 多少？ 【解】 s)(10)/8.(1/1220 cscutt 所以地面上第二个钟的读数为 )(0stt 4-2 在某惯性参考系 S 中，两事件发生在同一地点而时间间隔为 4 s，另一惯性参 考系 S 以速度 相对于 S 系运动，问在 S 系中测得的两个事件的时间间隔cu6.0 和空间间隔各是多少？ 【解】已知原时 ，则测时(s)4t (s)56.014/1 22cutt 由洛伦兹坐标变换 ，得：2/tx )(10.9/1/1/1 8220202 mcutcutcutx 4-3 S 系中测得两个事件的时空坐标是 x1=6104 m，y 1=z1=0，t 1=210-4 s 和 x2=12104 m，y 2=z2=0，t 2=110-4 s。如果 S 系测得这两个事件同时发生，则 S 系 相对于 S 系的速度 u 是多少？S 系测得这两个事件的空间间隔是多少？ 【解】 ， ， ，()10640zy(s)104t 0t 2 2 0)(2cxut 2cxut(m/s)15.802.)( 4t 4-4 一列车和山底隧道静止时等长。列车高速穿过隧道时，山顶上一观察者看到当 列车完全进入隧道时，在隧道的进口和出口处同时发生了雷击，但并未击中列车。 试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到什么现象？这现象是如何发生的？ 【解】 系（山顶观察者）看雷击同时发生，但车厢长度短于山洞长度，故未被击S 中。 系（列车观察者）看雷击不同时发生。虽然车厢长度长于山洞长度，但出洞 处先遭雷击，入洞处后遭雷击，此时车尾已经进入山洞。故未被击中。 4-5 一飞船以 0.99c 的速率平行于地面飞行，宇航员测得此飞船的长度为 400 m。 （1）地面上的观察者测得飞船长度是多少？（ 2）为了测得飞船的长度，地面 上需要有两位观察者携带着两只同步钟同时站在飞船首尾两端处。那么这两位观察 者相距多远？（3）宇航员测得两位观察者相距多远？ 【解】 （1） )(4.569.014/220 mcul （2）这两位观察者需同时测量飞船首尾的坐标，相减得到飞船长度，所以两 位观察者相距是 56.4 m。 （3）上的两位观察者相距 56.4 m，这一距离在地面参考系中是原长，宇航员 看地面是运动的，他测得地面上两位观察者相距为 )(96.7.014.56/1220 mcul 所以宇航员测得两位观察者相距 7.96 m。 3 3 4-6 一艘飞船原长为 l0，以速度 v 相对于地面作匀速直线飞行。飞船内一小球从尾 部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为 u，求地面观察者测得小球运动的时间。 【解】宇航员测得小球离开尾部的时空坐标为 ，小球到达头部的时空坐标),1tx光 为 。地面上测得小球运动的时间为：),2tx光 )(/1 )(/1/22 212212cxvtv cvxtt ，02lxult/01 2022 /1)()(/ cvlcxtut 4-7 在实验室中测得两个粒子均以 0.75c 的速度沿同一方向飞行，它们先后击中同 一静止靶子的时间间隔为 510-8 s。求击中靶子前两个粒子相互间的距离。 【解】 (m)25.1tux 4-8 在参考系 S 中，一粒子沿 x 轴做直线运动，从坐标原点 O 运动到 x=1.50108 m 处，经历时间 t=1 s。试计算粒子运动所经历的原时是多少？ 【解】粒子在 系中的速度为 )(105.18smtxu 原时为： )(6./120 sct 4-9 一个在实验室中以 0.8c 的速度运动的粒子飞行了 3 m 后衰变。实验室中的观 察者测量该粒子存在了多少时间？与粒子一起运动的观察者测得该粒子在衰变前存 4 4 在了多少时间？ 【解】实验室中的观察者测得粒子的存在时间为： (s)1025.8uxt 与粒子一起运动的观察者测得粒子的存在时间为原时 (s)10/1820 cut 4-10 远方的一颗星体以 0.8c 的速率离开我们。我们接收到它辐射出来的闪光 周期是 5 昼夜，求固定在星体上的参考系测得的闪光周期。 【解】我们接收的闪光周期是测时，固定在星体上的参考系测得的闪光周期为原时， 即原时为： )(3/1 2光cut 4-11 一星体与地球之间的距离是 16 光年。一观察者乘坐以 0.8c 速度飞行的飞 船从地球出发向着星体飞去。该观察者测得飞船到达星体所花的时间是多少？试解 释计算结果。 【解】星体与地球之间的距离是原长，飞船上的观察者测得的距离是测长，测长为： )(6.98.01/1L 220 光Lcu)(.光t 地球上的观察者测得飞船到达星体所花的时间为： )(208.光ct 飞船上的观察者测得的时间是原时，地球上的观察者测得飞船到达星体所花的 时间为测时，这正是时间膨胀的一种表现。 4-12 一根固有长度为 1 m 的尺子静止在 S系中，与 Ox轴成 30角。如果在 S 系中测得该尺与 Ox 轴成 45角，则 S 系相对于 S 系的速度 u 是多少？S 系测得该 尺的长度是多少？ 5 5 【解】在 系中，米尺在 x 轴方向的投影长度为：S (m)230cosLx 在 y 轴方向的投影长度为： ()5.03sin0Ly 在 系中，米尺在 y 轴方向的投影长度不变，S )(.y 由于米尺在 S 系中测得该尺与 Ox 轴的夹角为 45，则在 x 轴方向的投影长度 为： ，即)(5.0mx 22 /135.0/1cuxcux S 系相对于 S 系的速度为： S 系中测得该尺的长度为： (m)70.52L 4-13 一立方体的质量和体积分别为 m0 和 V0。求立方体沿其一棱的方向以速速 u 运动时的体积和密度。 【解】 设立方体沿 x 方向运动，立方体的一条棱边平行于 x 轴。 立方体的原边长为 30Va 运动时，沿 x 轴方向边长为： 02/1acu 因此物体的体积为： 202 /1/ cuV 运动时，物体的质量为： 2/1mcu 因此运动时物体的密度为： 120202 )/(/1/1 cuVccuVm 6 6 4-14 直杆纵向平行于 S 系的 Ox 轴匀速运动，在 S 系中同时标出该杆两端的位 置，并测得两端坐标差 x1=4 m。若在固定于杆上的 S 系中同时标出该杆两端的 位置，则在 S 系中测得两端坐标差 x2=9 m。求杆本身的长度和杆相对于 S 系的 运动速度。 【解】根据题意可知，在 S 系中测得杆的长度即为原长 。0L029()Lx 根据长度收缩关系式 是在 系中测得杆的长度210/cu1s 21xuc53 【解】 （邱雄习题答案）设直杆的原长为 ，根据题意可知，在 S 系中测得杆的0L 长度即为原长。 是在 系中测得杆的长度210/cuxL1s 是 系测得的距离（原长） ，在 系测得为 （缩20 2xs0L 短了） 21xcucu35)(69520mL 这个题目的 x2=9 m 是在 S 系中的两个坐标之差，不是原长。如果用洛仑兹变换解 这题的第二次测量，会更容易理解。以下是我的解法。 【解】在 S 系中，不管是否同时测量，杆两端坐标差都是原长，设直杆的原长为 7 7 。0L 第一次测量，x 1=4 m 是动长，可以直接用长度收缩公式，有以下关系： （1）210/cuxL 第二次测量，t 2 =0 x2=9 m x2 =L0 由洛仑兹变换 得到下面式子)t(c122 （2）20/1uxL 由（1） （2）得到 21xcc35)(6920mL 4-15 从地球上测得地球到最近的恒星半人马座 星的距离是 4.31016 m，设一 宇宙飞船以速度 0.99c 从地球飞向该星。 （1）飞船中的观察者测得地球和该星间距 离是多少？（2）按照地球上的时钟计算，飞船往返一次需要多少时间？若以飞船 上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 【解】 （1）设地球为 S 系，飞船为 S系。地球上测得地球到半人马座 星的距离 为原长，飞船测得的距离为测长。则： )(1092013.4/ 5620 mcul （2）地球上的时钟计算飞船往返一次 所需的时间为)(l光(1.9)8.21039.260sult 8 8 地球上的时钟计算飞船往返一次所需的时间为测时，以飞船时钟计为原时，则 光(41.09.1./1 22cut 4-16 天津和北京相距 120 km。在北京于某日上午 9 时整有一工厂因过载而断 电。同日在天津于 9 时 0 分 0.0003 秒有一自行车与卡车相撞。试求在以 沿北c8.0 京到天津方向飞行的飞船中的观察者看来，这两个事件相距多远？这两个事件之间 的时间间隔是多少？哪一事件发生的更早？ 【解】 （1）设飞船为 系，地球为 系，北京发生事件 1，天津发生事件 2。飞船SS 测得这两个事件的距离为： 22021012 /1/ cutxcutxcutxx )(80)(88.3.30323 km （2）飞船测得这两个事件的时间间隔为： )(/1 22cxutt)(103.)03(18.0.(81 52832 s ，所以天津的事件先发生。t 4-17 地球上的观察者发现，一艘以 的速度航行的宇宙飞船在 5 s 后同一个c6.0 以 的速度与飞船相向飞行的彗星相撞。 （1）飞船上的人看到彗星以多大速率c8.0 向他们接近。 （2）按照飞船上观察者的钟，还有多少时间允许它离开原来的航线以 避免相撞？ 【解】 （1）设地球为 系，飞船为 系。由洛伦兹速度变换，在飞船测得的彗星S 速度为： 9 9 ccuv95.06.)8(1.0/2 即彗星以 的速率向飞船接近。c95.0 （2）飞船上测得测得离发生碰撞的时间间隔为： )(46.015/1 22 stcut 4-18 一原子核以 0.6c 的速率离开某观察者运动。原子核在它的运动方向上向 后发射一光子，向前发射一电子。电子相对于核的速度为 0.8c。对于静止的观察者， 电子和光子各具有多大的速度？ 【解】设观察者所在参考系为 S 系，原子核为 S系。 洛伦兹速度变换式 2/1cvu 由题意可知， ，电子 ，光子6.08.0 cv 电子的速度 946.0./2光 光子的速度 ccvu.)1(/12光 4-19 （1）火箭 A 以 0.8c 的速度相对于地球向正东飞行，火箭 B 以 0.6c 的速度 相对于地球向正西飞行，求火箭 B 测得火箭 的速度大小和方向。 （2）如果火箭 A 向正北飞行，火箭 B 仍向正西飞行，由火箭 B 测得火箭的速度大小和方向又是 如何？ 【解】取正东为 轴的正向，正北为 轴的正向，根据洛伦兹速度相对变换式xy ， ， 2/1cuvxx2/1cuvxy2/1cuvxz （1）将 ， ， ， 代入，得：6.08.0yz 10 10 ccuvxx 95.0.6)(8.01/2/2cxy0/12uvxz 即在火箭 B 上测得火箭 的速度大小为 ，方向为正东。c95. （2）将 ， ， ， 代入，得：cu6.0xy8zvccuvxx 6.0.)(10/2xy 4.).(8./ 220/12cuvxz ，vyx87.28.46.cartg 即在火箭 B 上测得火箭 的速度大小为 ，方向为东偏北 。.0. 4-20 北京正负电子对撞机中，电子可以被加速到能量为 。求：eV10.39 （1）这个电子的质量是其静止质量的多少倍？（2）这个电子的速率为多大？和光 速相比相差多少？（3）这个电子的动量有多大？ 【解】 （1）根据 ， 可2020k/1- cmcuE e105.6 得： 583105.3/16902 Ecuk 11 11 002583/1mcum 即这个电子的质量是其静止质量的 5883 倍。 （2）由上式可计算出这个电子的速率为： cu6.98 与光速相比，相差： )/(3410.-8scu （3）电子的动量为： mEpkk22 由于 ，所以有20cmEk )/(106.103. 8899 smkgck 4-21 一个电子的总能量是它静能的 5 倍，求它的速率、动量、总能分别是多少？ 【解】 （1）根据 ， ， 可得：k0E2mc20cE005 由 ，求得电子的速率为：02/1cvm)/(1094.58sm （2）电子的动量： )(3.c52210 /skgvp （3）电子的能量： 08.4120k JE 4-22 （1）把一个静止质量为 m0 的粒子由静止加速到 0.1c 所需的功是多少？ （2）由速率 0.89c 加速到 0.99c 所需的功又是多少？ 12 12 【解】 （1）由相对论的功能关系，电子由静止加速到 0.1c 所需的功为： 20202201 5.)1/(- mcvcmW （2）同理，电子由速率 0.89c 加速到 0.99c 所需的功为： 20212212 )/(- cvv0022 .94).89.0( mc 4-23 一个电子由静止出发，经过电势差为 1.0104 V 的均匀电场，电子被加速。 已知电子静止质量为 m0=9.1110-31 kg，求：（1）电子被加速后的动能；（2）电 子被加速后质量增加的百分比；（3）电子被加速后的速率。 【解】 （1）根据 )(06.6. 15419k JVeE （2）由相对论的动能表达式 ，可得质量的增量为：20k-c)(178.322kgEmk 电子质量增加的百分比为： %10.978320 （3）电子加速后质量为： )(109.30kgm 由质速关系式 ，可得：02/1cvm )/(1085.)29.1(3)( 7820 smcv 13 13 4-24 一个质子的静止质量为 ，一个中子的静止质量为kg106572.27Pm ，一个质子和一个中子结合成的氘核的静止质量为kg1095674.27nm 。求结合过程中放出的能量是多少 MeV？这能量称为氘3D 核的结合能，它是氘核静能的多少倍？ 【解】氘核的结合能为： 28-272D 10(33.465)-1.679(.5)( 光光 cmE)(105.3-3MeVJ%12.0)3(10465( 8272Dc) 即这一结合能是氘核静能的 0.12%倍。 4-25 太阳发出的能量是由质子参与一系列反应产生的，其总结果相当于热核反 应： 。eH104211 已知：一个质子（ ）的静止质量是 ，一个氦核1 kg