black-scholes期权定价模型

BLACK-SCHOLES 期权定价模型 Black-Scholes 期权定价模型（ Black-Scholes Option Pricing Model） ，1997 年 10 月 10 日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特默顿 (RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布 莱克- 斯克尔斯期权定价模型 (Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、 货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定 价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依 据。 BLACK-SCHOLES 期权定价模型 - 简介 斯克尔斯与他的同事、已故数学家 费雪布莱克(Fischer Black)在 70 年代初合作研究 出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌） 。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多 其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克 斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克 斯克尔斯 默顿定价模型（含红利的） 。默顿扩展了原 模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后 25 年经济科学中 的最杰出贡献。 BLACK-SCHOLES 期权定价模型 - 其假设条件 (一)B-S 模型有 5 个重要的假设 1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动） 2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的； 3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施； 5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)； 6、不存在无风险套利机会； 7、证券交易是持续的； 8、投资者能够以无风险利率借贷。 (二)荣获诺贝尔经济学奖的 B-S 定价公式)(21dNLedSNcrT 其中: C期权初始合理价格 L期权交割价格 S所交易金融资产现价 T期权有效期 连续复利计无风险利率r 年度化方差（波动率）2 N()正态分布变量的累积概率分布函数 ，（标准正态分布 =0） 在此应当说明两点： 第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为 r0)一般是一年复利一次，而 r 要求利率连续复利。r0 必须转化为 r 方能代入上式计算。 两者换算关系为:r=ln(1+ )或 = -1。例如 r0=0.06，则 r= ln (1+0.06)=0.0583，即0e 100 以 5.83%的连续复利投资第二年将获 106，该结果与直接用 r0=0.06 计算的答案一致。 TdTrLSd 122 21 )/()/ln 第二，期权有效期 T 的相对数表示，即期权有效天数与一年 365 天的比值。如果期权有效 期为 100 天，则 T=100/365=0.274。 BLACK-SCHOLES 期权定价模型 - 推导运用 (一)B-S 模型的推导 B-S 模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的 期值是: EG=Emax(ST-L，O) 其中，EG看涨期权到期期望值 到期时交易金融资产的市场价值 L期权交割价(期权费) 到期有两种可能情况: 1、如果 StL，则期权实施以进帐 (In-the-money)生效，且 max(St-L，O)= S t-L 2、如果 StL)的概率 ESt|StL：既定(S tL)下 St 的期望值将 EG按有效期无风险连续复利 贴现，得期权初始合理价格:r C=PE- (ESt | St L-L) (*)这样期权定价转化为确定 P 和 ESt|StL。t 首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(S t)与现价(S) 比值的对数值，即收益=lnS t/S=ln(St/L)。由假设 1 收益服从对数正态分布，即 ln(St/L) ，所以 Eln(St/S = t，S t/S 可以证明，相对价格期望值大于 ，ue 为:ES t /s= + = 从而， t=T(r 2)，且有 t=Tute2Tue 其次，求(S t L)的概率 P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06 =1-N(-)其中: 正态分布随机变量 关键值 的期望值 的标准差 所以: :P=Pr06St 1 =Pr06lnSt/s lnLS=LNlnLS (r 2)TTnc4 由对称性: 1 N(d) =N( d) P=NlnSL+ (r 2)TTarS。 第三，求既定 St L 下 St 的期望值。因为 ESt|StL处于正态分布的 L 到范围，所以， ESt | St =S N( )N( )rTe1d2 其中: =ln(S/L)+(+ /2)T/ 1dT =ln(S/L)+(- /2)T/ = -221d 最后，将 P、ES t | StL代入(*)式整理得 B-S 定价模型: C= - )(1dN)(2NLerT (二)B-S 模型应用实例(以欧式期权看涨期权为例) 题目：假设市场上某股票现价 S 为 164 元，无风险连续复利 利率 是 0.0521，市场方差 为 0.0841（ =0.29），实2 施价格（行权价格）L 是 165 元，有效期 T 为 0.0959（即 为 35 天）的期权初始合理价格（期权费）是多少？ 公式回忆： )()(21dNLedSNcrT 计算步骤如下: =ln(164/165)+(0.0521+0.0841/2)0.0959/(0.29 )=0.03281d 095. =0.0328-0.29 =-0.5702095. 查标准正态分布函数表，得: N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=1-N（0.06）=1-0.5239=0.4761 C=1640.5120-165 0.4761=5.8030.9521e 因此理论上该期权的合理价格是 5.803。如果该期权市场实际价格是 5.75，那么这意味着 该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。 TdTrLSd 122 21 /ln)() (三)看跌期权定价公式的推导 B-S 模型是看涨期权的定价公式，根据售出购进平价理论(买权卖权等价理论)(Put- callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出购进平价理论，购买某股票和该股 票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折 扣发行债券具有同等价值，以公式表示为: 移项得: 将 B-S 模型代入整理得: 此即为看跌期权初始价格定价模型。 BLACK-SCHOLES 期权定价模型 - 模型发展 B-S 模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了 B-S 模型，使其亦运用于支付 红利的股票期权。 (一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利 Dt，只需将该红利现值从股票现价 S 中除去，将调整后的股票价值 S代入 B-S 模型中即 可: S =SD terT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将 B-S 模型变型 得新公式: (二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为 )支付不间断连续红利，假如某 公司股票年分红率 为 0.04，该股票现值为 164，从而该年可望得红利 164004=6.56。 值得注意的是，该红利并非分 4 季支付每季 164；事实上，它是随美元的极小单位连续不 断的再投资而自然增长的，一年累积成为 6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利 也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利 按股票价格的支付比例固定。 在此红利现值为:S(1-E-T)，所以 S=SE-T，以 S代 S，得存在连续红利支付的期 权定价公式:C=SE-TN(D1)-LE-TN(D2) BLACK-SCHOLES 期权定价模型 - 模型影响 自 B-S 模型 1973 年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加 哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将 B-S 模型程序化输入计算机应用 于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到 今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛 使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技 术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互