与中学生谈谈数学的魅力

与中学生谈谈数学的魅力 山东省日照第二中学(邮编 276821) 朱有峰 作者简介: 姓名:朱有峰 性别:男 民族:汉族 出生年月:1977 年 10 月 籍贯:山 东省日照市 工作单位:山东省日照第二中学 职称:中教一级 学位:理学学士 摘要：对称、和谐美是数学美的基本内容，数学美中最有趣、最神奇的当数奇 异美， 数学是美的，是有神奇魅力的。 关键字：和谐美，奇异美，魅力。 在大多数人的眼里，数学就是枯燥无味的代名词，相当多的同学仅仅是为 了考学而学数学，如果抱有这样的想法去学数学，数学显然是枯燥无味的。而 事实上数学是美丽的，“哪里有数，哪里就有美”。数学家维纳说过：“数学 实质上是艺术的一种”。世间不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛，只要我们 学会用审美的眼光去看数学，你就发现，数学原来是很美的。 对称、和谐美是数学美的基本内容，它给人一种圆满而匀称的美感与享受。 大家在高中阶段将要学到的波浪滚滚的正弦曲线，欲达而不能的渐进线，翩翩 起舞的蝴蝶定理，它们在和谐中动静结合，富有诗情。从自然数到整数，从有 理数到实数，数系的每一次的扩充，一次又一次矛盾的冲突与解决，都在新的 基础上形成新的和谐。初等数学中的对称、和谐美最典型的例子要算黄金分割 数以及其在现实中的应用了。 黄金分割数 0.618，世界上许多著名的建筑广泛采用黄金分割的比例，给 人以舒适的美感；人的肚脐以下的长度与人体长的比例越接近 0.618，那么这 个人的体形就越匀称漂亮，人穿高跟鞋的目的就是要努力增加下身的高度，使 这个比例接近黄金分割数，而不仅仅是为了增加身高；一些名画的主题大都画 在画面的 0.618 处，摄影时如果注意到这一点，拍出来的相片会更美观漂亮； 弦乐器声码放在琴弦的 0.618 处会使声音更加圆润甜美。美术作品的高雅风格， 音乐作品的优美节奏，无不交融于数学的对称、和谐美之中。 在证明题目时，如果证明方法简明，我们会说：“真漂亮！”这是我们在 体会数学美。我们看一个古老的“鸡兔同笼”问题：“鸡兔同笼不知数，三十 六头笼中露，看足却有一百整，不知多少鸡多少兔？”当然，现在我们列一个 简单的方程组，很容易得出结果。但作为一道算术题，它不知难倒多少青少年。 数学家波利亚对这个问题提出了一个有趣的思路：如果鸡都缩起了一只脚，而 兔子都竖起了前脚，仅用后脚着地，那又会怎样呢？显然，那样的话，看足就 只剩下五十整了，而对于三十六个头来说，50-36=14，则多余的 14 只脚很显 然就是 14 只兔子的，那么鸡就有 36-14=22 只了。这种解法简洁、巧妙，令人 拍案叫绝，充分体现了数学的简洁、明快美！ 数学美中最有趣、最神奇的当数奇异美，它颇有点“出乎意料”和“令人 震惊”的意味。1777 年的某一天，法国博学家蒲丰突发奇想，他邀请了许多朋 友来到家里，做了一个奇特的试验。他事先在一张白纸上画好了一条条等距离 的平行线，然后铺在桌子上，又拿出一些质量均匀长度为平行线间距离的一半 的小针，他请客人随意把一根根针扔在纸上，蒲丰在一旁计数，结果共投了 2212 次，其中与直线相交的有 704 次，蒲丰又做了个简单的除法 2212/704=3.142，他然后宣布，这就是圆周率 的近似值，他还说，投的次 数越多，越精确。这个试验的确使人震惊， 竟然和一个表面看来风牛马不相 及的随便投针的试验沟通在了一起。然而这却有理论依据，后来人们知道，用 概率知识很容易得出这个结论。计算 的这一方法，不但因其新颖、奇妙而 让人叫绝，而且开创了用偶然性方法去作确定性计算的前导，充分显示出数学 方法的奇异美。培根说得好：“美在于独特而令人惊异。奇异与和谐是对立的 统一。数学中出人意料的反例和巧妙的解题方法都令人叫绝，表现出奇异的美， 闪耀着智慧的光芒。” 一般人认为抽象是数学枯燥无味的根源，其实不然。一方面，抽象的方法， 不只是数学运用，其他学科领域也用。例如，物理学中，讨论刚体运动时，常 把一个物体视为一个质点，这就是抽象手法。讨论天体运动的时候，说地球、 火星、木星、绕太阳的轨道是一个椭圆，也是视太阳及其行星为一些几何 点（几何点即无体积的点，或把体积“抽象”掉了）。 语言学也是很抽象的，只是人们可能没有强烈地感觉到这一点。语言文字 不过是一些符号，符号本身就是抽象的结果。我们可以稍稍想想“神”这个字 有多抽象，“圣”这个字有多抽象，只是许多字我们并未仔细去想。 文学也有抽象。诗歌就是很抽象的，“白日依山尽，黄河入海流”，就很 抽象。小说中的人物一般也是经过抽象“加工”的。绘画也有抽象，你画一个 人，可能立体感很强，但无论怎样要略去人的几个侧面，无论怎样细致，面部 微小的部分也会略去不少。音乐更有抽象，尤其是乐器，它只是用声音来描绘 高山流水、林海雪原、滔滔大海以及人间的悲欢离合，一切视觉效果都略去了， 你只能通过声音去想象背后的画面。 事实上，越会抽象的人，在一定的意义下讲，又可能是越会把问题具 体化的人。具体化与抽象化是相伴存在的，因为只有对具体有更深入的认识， 才能更好地抽象，因为抽象才能更好地把握具体。 新的世纪，有人断言：“一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量” ，繁荣昌盛的中国需要数学。数学，就是解决问题的艺术。它是充满智慧令人 神往的学科；也是一个充满趣味、具有娱乐性的世界。如果你把它当作计算的 工具，用来计算长度与面积，或算出成本与利润，那它就类似铁槌和螺丝起子。 如果你用它来描述重力或染色体的结构，你可能认为数学是物理和生理宇宙中 的创世语言。或者在几何、