中国矿业大学(徐州)03级数学分析(1)试题(a卷)

数学分析(I) (答题时间 120 分钟) 班级_姓名_序号_成绩_ 一、计算下列各题（共 7题每题 8分共 56分） 1设 ，求 。 （提示：可利用结论 ，其)0,(limaann nalim1limnc 中 为常数）0c 2确定 使 可导并求出 。 （提示：ba, )(1lim)()1(2Rxebaxfxpp )(xf 分 ， 和 三种情况先求出极限）1xx 2 3. 求 dxe 4 求 1 )ln(lim4si02xdtxx 5 求 （ ） 。 （提示：可转化为)1(cos2cos1limn nxnx R 定积分） 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 2004.1.7. (共 12 页)第 3 页 6 求 。 （提示：可使用 Taylor 公式）30)1(sinlmxex 7 求 。 （提示：可作换元 ）02cos1indxtx 二（10 分） 设 在区间 上有界，记 ，证明)(xfI )(inf,)(supxmxfMII)(sup, xffIx 4 三（10 分） 设 为 上的非负连续函数，证明：如果 ，则f,ba 0)(badxf 。,0)(baxf 四（12 分） 设 在 上可导，且)(xf,0anax anfdfe10 )1()( 证明， 使 。,0(af 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 2004.1.7. (共 12 页)第 5 页 五（12 分） 用有限覆盖定理证明：若函数 在闭区间 上连续，则 在f,baf 上一致连续。,ba 附加题（仅作参考） 设 在 上连续，且对任一 上满足f,ba,ba 的连续函数 均有 ，证明 。0)(bgag0)(badxgf ,0)(xf 数学分析(I)试题参考答案 一、计算下列各题（共 7题每题 8分共 56分） 1 设 ，求 。 （提示：可利用结论 ，)0,(limaann nalim1limnc 其中 为常数）0c 【解】取 满足 ，由 知， ，当 时，0nli N00aa 从而 6 nnaa00 上式两边取极限并利用结论 ( 为常数)和迫敛性得1limnc1limna 2 确定 使 可导并求出 。 （提示：ba, )(1li)()1(2Rxebaxfxpp )(xf 分 ， 和 三种情况先求出极限）1x1x 【解】易求得 1)1()2xbaxf 首先 连续：)(xf )(0()1(fff 其导函数 ，又12)(xaf aff)01(,2)( 由于导数极限定理： ，令),0(ffff 12ba 此时（也可由导数的定义做） ，12)(xxf )(xf 3. 求 dex 【解】当 时，0 1Cexdexxx 当 时，x 2ex 由 的连续性可得， ，这样d112C （ 为任意常数） 0xexexx 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 2004.1.7. (共 12 页)第 7 页 4 求 1 )ln(lim4si02xdtxx 【解】(下面用到等价无穷小和 LHospital 法则等)4sin04sin0 21l(l1)l(l 22 xdtxdtxxx 1sinlm)sin1l(icosin)siln(im202030 xxxx 5 求 （ ） 。 （提示：可转化为)(cs2cso1lin nnx R 定积分） 【解】当 时，显然原式0x1 当 时，原式 xtxtdxnii sini1coscoslm001n 综上 原式 01six 6 求 。 （提示：可使用 Taylor 公式）30)1(sinlmxex 【解】由 Taylor 公式， ，)(!22xoxe )(!31sin3xox 从而， ，原式)(31sin32oxex )(31lim0xx 7 求 。 （提示：可作换元 ）02cos1idt 8 【解】 020202 )(cos1incos1incos1in dttdxtxdI 。从而Itttt 020202 iisi 4)(2cosartncos1cos1in 200202 tdtI 二（10 分） 设 在区间 上有界，记 ，证明)(xfI )(if,)(supxmxfMII)(sup, xffIx 【证】只证 的情况，否则 为常数结论显然成立。Mm 一方面，由 ，知 （ ） ，说明 是f)( mxff)(Ix,mM 的一个上界。另一方面，由 ，知)(xf )(inf)(supfIxIx （不妨 ） ， 使 ， 。从而0mIx0, 20Mf 20 )()(2)(0 mfxf 综上两个方面，由确界的定义得 。xffIxsup, 三（10 分） 设 为 上的非负连续函数，证明：如果 ，则f,ba 0)(badxf 。,0)(baxf 【证】反证。不妨假设 。)(0)0xxf 由连续函数的性质，存在 ，当 时，有,(baU),(0U)(21)00rxff 从而 bxxxaba dfddfdf 000 )()( 0)(xdf 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 2004.1.7. (共 12 页)第 9 页 020rdx 这与 矛盾。得证。0)(badxf 四（12 分） 设 在 上可导，且)(xf,anax anfdfe10 )1()( 证明， 使 。,0(af 【证】令 ，则 。由积分中值定理，存在)()xeFa)(afF 使n1 )()(1101fedxfenaax 再由条件知 。对 在 上用 Rolle 中值定理得：)(1afFF,1 使：,0),(0)(0)()( ffea 五（12 分） 用有限覆盖定理证明：若函数 在闭区间 上连续，则 在,baf 上一致连续。,ba 【证明详见教材，此略】 附加题（仅作参考） 设 在 上连续，且对任一 上满足f,ba,ba 的连续函数 均有 ，证明 。0)(bgag0)(badxgf ,0)(xf 【证】 （反证）假设 ，不妨设在点 ， 。由 的连续性，0)(xf ,f 有邻域 ，当 时 。作函数 如,(0bx),(02)(0ff g 下图，它满足题中条件 10 。矛盾。02)()(2)()()( 00 xfdgxfdgxfdxgfba 备选题 1. 求 （提示： ）dx)1(arctn2 2221)1(xx 【解】 dxdd22222 1arctnarctnarctnrt)(rt 而 xxxddx )1(rt1arctnarctn 22 12lrt1C 中国矿业大学数学系 2003 级本科考试试卷 2004.1.7. (共 12 页)第 11 页 （这里 222 1)1()1( dxdxxdx ）12)ln(lC12lnx 又 2 )(arctarctrt1arctnxddx 综上， )1(2 21lnxCx2)(arctn 2. 设 在区间 上定义，记)(xfI )(sup),(, xfffxI 证明 在区间 上一致连续的充要条件是 。)(xfI 0),(lim0f 【证】 （必要性）设 在区间 上一致连续，即对 ， ，对)(xfI01 ，只要 ，就有 。因此Ix, 12)(xffsup),(11 fffx 故当 时，有 ，由定义得 10,ff 0),(lim0f （充分性）设 ，因此对 ， ，使0)(lim01)(sup,11xfffx 从而当 时，有1x )(s)(1xfffxfx 这说明 在区间 上一致连续。)(fI 12 3. 设 是 上