中国矿业大学(徐州)2011,大一下学期,数学分析(2)复习题

数学分析（ 2）复习题 2010-06 第八章 不定积分 1. 利用换元法求下列不定积分 (1) ; (2) ; (3) .d1sinx2d1x()d()xabxab 2. 利用分部积分法求下列不定积分 (1) ; (2) ; (3) .2l()dxxarcsinxarctn32(1)xe 3. 求不定积分 . 2244,d11IJxx 第九章 定积分 1求极限 （ ）)(coscoslimn nn Rx 参考：P207 习题 2 2用可积准则证明：若 为 上的连续函数，则 在 上可积)(xf,baf,ba 参考：P209-P211 可积类的证明 3. 证明 Riemann 函数(见 P211)是可积的。 参考：P211 例 3 4设 为 上的非负连续函数，证明：如果 ，则f,ba 0)(badxf 。 参考：P217 例 2,0)(x 5. 求极限 . 参考：P229 习题 1 和 31 )ln(lim4si02dtx 6. 设 是连续函数。证明f00(sin)(sin)2xfdfxd 2 并利用这一结果计算定积 . 参考：P230 习题 7，答案：I02cos1indx42 7. 设 在 上可导，且)(xf,0anax anfdfe10 )1()( 证明： 使)(f 8. 若 在 上连续增，f,baxaf bdtfxF ),(,(,1 证明 为 上的增函数. 参考：P237 习题 2,ba 第十章 定积分的应用 9求心形线 的全长及它所围图形的面积(1cos)r 10求椭球面 所围的椭球体的体积参见：P244 例 222zbyax 11求椭圆 绕 轴旋转所得的旋转曲面的表面积参见：P254 例 112 12 一根长为 的均匀细杆，质量为 ，在其中垂线上相距细杆为 处有一质量lMa 为 的质点试求细杆对质点的万有引力参见：P256 例 2m 第十一章 反常积分 13. 讨论瑕积分 是否收敛？ 参见：P269 习题 2（8）10(ln)pdx 14讨论反常积分 的收敛性参见：P278 例 2 10dx 15讨论反常积分 的收敛性参见：P279 习题 3（8）0lnxe 16. 计算瑕积分 （其中 为正整数）的值参见：P279 习题 4（1）1d 3 17. 设 ， ，041dxI04221dxI （1）证明 收敛； （2）证明 ，并求 的值（提示： ）.21I1I )(212II 答案： 第十二章 至 第十五章 级数 18.判别下面正项级的收敛性 （1） ；（2） ；（3） ； 3)1(sinn 23)1ln(3)ln(l1n 19. 级数 是条件收敛，还是绝对收敛。 210ln)(n 20设正项数列 单调减少，且级数 发散，证明 收敛。a1)(nna1)(nna 21讨论级数 （ ）的收敛性。654312R 答案：分情况讨论，只有当 时收敛 22若级数 收敛，证明 和 都绝对收敛。 12na13na)21(1pn 23若级数 与 都收敛且有 ，1n1nb),(nbc 证明 收敛。参见：P25 习题 2 1nc 24. 求级数 的收敛域及其和函数。1)(nnx 4 25求级数 的收敛域及其和函数。 012)(nnx 26把函数 展开为关于 的幂级数并指出收敛域。21x 27将函数 展开为 幂级数并指出收敛域。xf1arctn)( 28把函数 展开为关于 的幂级数并指出收敛域。dtsi0x 29把函数 展开为 Fourier 级数并指出收敛性。 1,)(221xxf 30把函数 展开为余弦级数并指出收敛性，再利用该级数)0()f 证明 。8531 222 第十六章 至 第十七章 多元微分学 31证明：当且仅当存在各点互不相同的点列 ， ，EPn0n 时，0limPn 是 的聚点。参见 P92 习题 3E 32讨论二元函数 yxyxf2),( 在点 的二重极限及两个二次极限。参见 P98 例 7)0,( 33讨论二元函数 其 它 ,01),(2xyyxf 在点 的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。)0,( （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。）参见 P95 例 4 等 5 34证明: 0,0)(),( 223yxyxf 在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。 35证明函数 0,0,1sin)(),( 222 yxyxyf 在点 连续且偏导数存在，但偏导数在 不连续，而 在 可),0( ),0(f),( 微 参见：P117 习题 7 36设 ，其中 为可微函数，求 (,)xyufzf,uxyz 参见：P123 习题 1 37设 可微，在极坐标变换 下，求(,)xycos,inrr 的表达式。参见：P120 例 2 22u 38设函数 在点 处可微，且(,)zfxy(1,)(1,)