举例说说数学思想在现实生活中的运用

举 例 说 说 数 学 思 想 在 现 实 生 活 中 的 运 用 张 喜 桂 米 占 郡 【 内 容 提 要 】 建 模 、数 形 结 合 、化 归 与 转 化 、归 纳 推 理 等 数 学 思 想 ，广 泛 地 运 用 于 现 实 生 活 中 ，可 以 化 解 难 以 解 决 的 问 题 ，形 成 理 性 的 思 维 体 系 ， 促 使 人 们 在 实 践 中 思 考 、研 究 数 学 ，用 数 学 思 想 有 效 地 解 决 现 实 生 活 中 的 问 题 。 【 关 键 词 】 数 学 思 想 举 例 现 实 生 活 应 用 意 识 和 技 能 美 国 教 育 家 杜 威 把 教 育 定 义 为 ： “教 育 乃 是 社 会 生 活 延 续 的 工 具 。 ” 他 强 调 “社 会 的 改 造 要 依 靠 教 育 的 改 造 。 ” 辩 证 地 指 出 了 教 育 对 社 会 生 活 产 生 的 巨 大 作 用 。 诚 然 ， 教 育 的 每 一 个 环 节 、 每 一 门 学 科 ， 都 在 以 它 不 同 的 功 能 解 决 现 实 生 活 中 的 问 题 ， 从 而 促 进 社 会 的 发 展 。 就 数 学 而 言 ， 我 们生 活 的 每 一 刻 、 每 一 处 ， 都 离 不 开 数 学 和 数 学 思 想 。 例 如 孩 子 在 具 备 了 完 整 的 意 识 后 ， 就 懂 得 “家 里 有 3 口 人 ”、 “房 子 是 方 的 ”如 此 概 念 ； 正 常 人 从 会 算 数 起 到 年 老 ， 都 知 道 拿 用 10 元 钱 买 8 元 的 东 西 应 该 找 回 2 元 的 道 理 ， 即 便 不 读 书 的 人 也 懂 得 ； 木 工 师 傅 即 使 不 了 解 “直 线 的 基 本 性 质 ” 也 知 道 压 住 线 斗 的 两 端 弹 出 一 条 直 线 ， 等 等 。 广 袤 的 世 界 、 繁 杂 的 社 会 现 象 ， 从 事 物 的 外 形 构 造 到 内 部 功 能 、 从 逻 辑 思 维 到 世 界 观 的 形 成 ， 每 一 个 环 节 都 渗 透 着 、 充 斥 着 数 学 思 想 方 法 。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之 中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产 生的本质认识。主要有：建模思想、数形结合思想、统计思想、比较思想、变 换思想、分类讨论思想、类比思想、归纳推理思想、隐含条件思想、图形运动 思想、化归与转化思想、方程与函数思想等等。 下 面 举 例 说 说 数 学 思 想 在 现 实 生 活 中 的 运 用 。 一 、 建 模 思 想 的 运 用 2 所 谓 数 学 建 模 思 想 ， 就 是 用 数 学 语 言 把 实 际 问 题 概 括 的 表 述 出 来 的 一 种 数 学 结 构 ， 它 是 对 客 观 事 物 的 一 种 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的 一 种 反 映 。 它 的 基 本 结 构 是 ： 把 实 际 问 题 抽 象 为 数 学 模 型 ， 经 过 演 算 得 出 数 学 模 型 的 解 ， 再 推 理 出 实 际 问 题 的 解 ， 最 后 回 归 解 决 实 际 问 题 。 我 们 可 以 通 过 下 面 图 框 表 述 ： 简 化 现实世界的 问题或情况 现实模型 转译 数学模型 数学方法 数学模型 的解 回译 译 检验 验 实际问题 的解 进一步修改 是否符合 这 种 模 式 的 构 建 过 程 ， 其 实 渗 透 了 一 种 思 维 过 程 ， 即 由 生 活 现 象 引 发 假 设 进 行 推 理 论 证 得 出 一 种 规 则 和 真 理 应 用 这 一 规 则 和 真 理 。 例 如 ， 投 篮 球 过 程 中 最 高 点 应 该 是 多 少 米 才 能 准 确 落 入 篮 圈 ？ 有 些 人 经 过 反 复 地 实 验 、 观 察 、 思 考 ， 头 脑 里 产 生 了 抛 物 线 的 影 像 ， 然 后 利 用 抛 物 线 的 性 质 ， 根 据 个 人 身 高 和 篮 板 到 地 面 距 离 等 条 件 ， 计 算 出 抛 掷 最 高 点 ， 以 这 一 结 论 指 导 学 生 在 实 践 中 巩 固 、 活 动 。 这 一 过 程 ， 实 际 上 就 是 运 用 数 学 建 模 思 想 解 决 相 关 实 际 问 题 的 过 程 。 这 个 过 程 还 可 以 动 态 地 延 伸 ， 拿 上 例 来 说 ， 有 心 人 还 会 进 一 步 做 出 思 考 ： 如 何 利 用 抛 物 线 在 投 掷 篮 球 的 应 用 中 ， 更 深 层 次 地 拓 展 到 计 算 “根 据 3 市 场 变 化 、 消 费 者 等 条 件 调 整 商 品 销 售 的 数 量 ， 达 到 利 润 的 最 大 化 。 ”为 此 ， 数 学 建 模 思 想 不 仅 仅 能 够 解 决 实 际 生 活 中 的 问 题 ， 而 且 更 深 层 次 地 构 建 了 一 种 完 整 的 思 维 体 系 。 二 、 数 形 结 合 思 想 的 运 用 “数 形 结 合 ”在 教 学 中 就 是 对 几 何 问 题 用 代 数 方 法 解 答 ， 对 代 数 问 题 用 几 何 方 法 解 答 ； 在 实 际 生 活 中 就 是 借 助 图 形 直 观 出 数 据 难 以 说 明 的 问 题 ， 借 助 数 据 解 决 图 形 无 法 测 算 和 推 理 的 问 题 。 从 这 个 意 义 上 看 ， 数 形 是 紧 密 结 合 的 ， “数 无 形 ， 少 直 观 ； 形 无 数 ， 难 入 微 ”。 依 数 据 绘 图 ， 可 化 抽 象 为 直 观 ； 根 据 图 形 求 数 ， 让 实 际 问 题 更 能 得 出 准 确 的 数 据 定 位 。 例 如 ： 为 测 量 一 池 塘 难 以 达 到 的 两 端 的 A、 B 距 离 ， 可 以 以 图 形 设 计 出 所 示 的 方 案 ： 可 以 在 池 塘 外 能 直 接 到 达 A、 B 的 地 方 找 一 点 C， 分 别 度 量 出 BC、 AC 的 距 离 ， 再 分 别 延 长 AC、 BC 到 点 D、 E， 使 得 DC=AC， EC=BC。 利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 。 量 出 DE 的 长 也 就 是 AB 长 。 这 可 以 说 是 “以 图 计 数 ”的 办 法 。 再 如 ， 设 计 办 公 楼 建 设 图 纸 时 ， 按 照 事 先 给 出 的 结 构 和 造 型 方 案 ， 根 据 一 组 数 据 绘 图 。 如 楼 体 的 长 (a 米 )、 宽 (b 米 )、 高 (h 米 )， 门 窗 的 形 状 (长 方 、 扇 形 等 )， 图 案 造 型 （ 群 星 状 、 阶 梯 状 等 ） ， 在 一 定 数 据 的 基 础 上 ， 由 数 字 导 引 图 形 的 大 小 、 结 构 等 ， 然 后 方 可 绘 制 出 准 确 的 图 形 。 将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的 图 形 结 合 起 来 ， 渗 透 了 抽 象 思 维 与 形 象 思 维 的 辩 证 结 合 。 由 形 到 数 ， 便 于 测 量 和 计 算 ； 由 数 到 形 ， 便 于 整 合 和 造 形 。 数 形 结 合 ， 使 所 要 研 究 的 问 题 化 难 为 易 ， 化 繁 为 简 ， 从 而 满 足 了 实 际 生 活 的 需 要 。 三 、 化 归 与 转 化 思 想 化 归 与 转 化 的 思 想 ,就 是 在 研 究 和 解 决 数 学 问 题 时 ， 借 助 某 种 函 数 性 质 、 图 象 、 公 式 或 已 知 条 件 等 ， 通 过 变 换 ， 加 以 转 化 ,进 而 达 到 解 决 问 题 的 目 的 。 D B C E A 4 化 归 思 想 可 以 将 待 解 决 的 或 者 难 以 解 决 的 问 题 A 经 过 某 种 转 化 手 段 ， 转 化 为 有 固 定 解 决 模 式 的 或 者 容 易 解 决 的 问 题 B， 通 过 解 决 问 题 B 达 到 解 决 问 题 A 的 方 法 。 化 归 的 原 则 有 化 未 知 为 已 知 、 化 繁 为 简 、 化 难 为 易 、 降 维 降 次 、 标 准 化 等 。 转 化 思 想 在 于 将 未 知 的 、 陌 生 的 、 复 杂 的 问 题 通 过 演 绎 归 纳 转 化 为 已 知 的 、 熟 悉 的 、 简 单 的 问 题 。 三 角 函 数 、 几 何 变 换 、 因 式 分 解 、 解 析 几 何 、 微 积 分 ， 乃 至 古 代 数 学 的 尺 规 作 图 等 数 学 理 论 无 不 渗 透 着 转 化 的 思 想 。 常 见 的 转 化 方 式 有 ： 一 般 特 殊 转 化 ， 等 价 转 化 ， 复 杂 简 单 转 化 ， 数 形 转 化 ， 构 造 转 化 ， 联 想 转 化 ， 类 比 转 化 等 。 举 例 子 说 明 化 归 和 转 化 思 想 的 运 用 。 化 归 ： 解 方 程 ： - -6=04x2 可 以 通 过 化 归 思 想 ， 设 = ， 则 原 方 程 可 以 化 为 ： - -6=0 解 得y 2y =3， =-2 当 =3 时 =3， = .当 =-2 时 =-2 无 实 根 ， 所 以 原1y2xyx 方 程 的 解 为 = ， =- .1x 转 化 ： 有 一 水 池 ， 水 面 是 一 个 边 长 10 尺 的 正 方 形 ， 在 水 池 中 央 有 一 根 芦 苇 ， 他 该 出 水 面 1 尺 ， 如 果 把 这 根 芦 苇 拉 向 水 池 一 边 的 中 点 ， 它 的 顶 端 恰 好 到 达 池 边 的 水 面 。 水 的 深 度 和 这 根 芦 苇 的 长 度 分 别 是 多 少 ？ 可 以 实 际 问 题 转 化 为 直 角 三 角 形 （ 如 图 ） ,根 据 勾 股 定 理 求 得 水 的 深 度 和 这 根 芦 苇 的 长 度 。 这 种 数 学 思 想 在 解 决 生 活 实 际 问 题 中 常 常 遇 见 。 四 、 归 纳 推 理 思 想 的 运 用 由 某 类 事 物 的 部 分 对 象 具 有 某 些 特 征 ,推 出 该 类 事 物 的 全 部 对 象 都 具 有 这 些 特 征 5 的 推 理 ,或 者 由 个 别 事 实 概 括 出 一 般 结 论 的 推 理 称 为 归 纳 推 理 (简 称 归 纳 )。 如 ， 生 活 中 的 农 谚 “一 场 春 雨 一 场 暖 ， 一 场 秋 雨 一 场 寒 ” “朝 霞 不 出 门 ， 晚 霞 行 千 里 ”都 是 通 过 归 纳 推 理 得 出 来 的 。 归 纳 推 理 思 想 ， 在 数 学 实 践 中 也 有 广 泛 的 体 现 。 牛 羊 圈 的 栅 栏 ， 做 成 三 角 形 就 显 得 坚 固 ， 尽 管 是 经 验 之 谈 ， 没 有 上 升 为 理 论 ， 但 这 种 思 想 依 旧 体 现 了 “三 角 形 具 有 稳 定 性 ”数 学 公 理 。 建 造 大 型 铁 塔 ， 乃 至 后 来 的 奥 运 场 馆 “水 立 方 ”等 建 筑 也 运 用 了 这 一 原 理 。 由 特 殊 实 例 到 一 般 理 论 ， 由 大 自 然 现 象 导 出 科 学 ， 强 化 和 提 升 的 数 学 的 生 活 化 意 识 ， 让 我 们 觉 得 “有 土 、 有 根 ”， 并 且 散 发 “数 学 就 在 身 边 的 亲 切 感 ”， 真 正 凸 显 了 归 纳 推 理 的 作 用 。 另外，统计思想、比较思想、变换思想、分类讨论思想、类比思想、隐含 条件思想、图形运动思想、方程与函数思想等，与我们的实际生活