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习题31 1 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.电大考试电大小抄电大复习资料1); 2); 3).解 1)因为及在整个平面上连续,所以在整个平面上满足存在唯一性定理的条件,因此在整个平面上初值解存在且唯一.2)因为除轴外,在整个平面上连续,在在整个平面上有界,所以除轴外,在整个平面上初值解存在且唯一.3)设,则故在的任何有界闭区域上,及都连续,所以除轴外,在整个平面上初值解存在且唯一.2 求初值问题 r:.的解的存在区间.并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计.解 设,则,所以.显然,方程在r上满足解的存在唯一性定理,故过点的解的存在区间为:.设是方程的解,是第二次近似解,则,.在区间上,与的误差为 .取,故.3 讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点的一切解.解 设,则.故在的任何有界闭区域上及都是连续的,因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然,是过的一个解.又由解得.其中.所以通过点的一切解为及如图.4 试求初值问题,的毕卡序列,并由此取极限求解.解 按初值问题取零次近似为,一次近似为 ,二次近似为 ,三次近似为 ,四次近似为 ,五次近似为 ,一般地,利用数学归纳法可得次近似为 ,所以取极限得原方程的解为.5 设连续函数对是递减的,则初值问题,的右侧解是唯一的.证 设,是初值问题的两个解,令,则有.下面要证明的是当时,有.用反证法.假设当时,不恒等于0,即存在,使得,不妨设,由的连续性及,必有,使得,.又对于,有,则有,.由()以及对是递减的,可以知道:上式左端大于零,而右端小于零.这一矛盾结果,说明假设不成立,即当时,有.从而证明方程的右侧解是唯一的.习题331 利用定理5证明:线性微分方程 () 的每一个解的(最大)存在区间为,这里假设在区间上是连续的.证 在任何条形区域(其中)中连续,取,则有.故由定理5知道,方程的每一个解在区间中存在,由于是任意选取的,不难看出可被延拓到整个区间上.2 讨论下列微分方程解的存在区间: 1); 2); 3).解 1)因在整个平面上连续可微,所以对任意初始点,方程满足初始条件的解存在唯一.这个方程的通解为.显然,均是该方程在上的解.现以,为界将整个平面分为三个区域来讨论.)在区域内任一点,方程满足的解存在唯一.由延伸定理知,它可以向左、右延伸,但不能与,两直线相交,因而解的存在区间为.又在内,则方程满足的解递减,当时,以为渐近线,当时,以为渐近线.)在区域中,对任意常数,由通解可推知,解的最大存在区间是,又由于,则对任意,方程满足的解递增.当时,以为渐近线,且每个最大解都有竖渐近线,每一条与轴垂直的直线皆为某解的竖渐近线.)在区域中,类似,对任意常数,解的最大存在区间是,又由于,则对任意,方程满足的解递增.当时,以为渐近线,且每个最大解都有竖渐近线.其积分曲线分布如图( ).2)因在整个平面上连续,且满足不等式,从而满足定理5的条件,故由定理5知,该方程的每一个解都以为最大存在区间.3)变量分离求得通解,故解的存在区间为.3设初值问题: ,的解的最大存在区间为,其中是平面上的任一点,则和中至少有一个成立.证明 因在整个平面上连续可微,所以对任意初始点,方程满足初始条件的解存在唯一.很显然,均是该方程在上的解.现以,为界将整个平面分为三个区域来进行讨论.)在区域内任一点,方程满足的解存在唯一.由延伸定理知,它可以向左、右延伸,但不能与,两直线相交,因而解的存在区间为.这里有,.)在区域中,由于,积分曲线单调上升.现设位于直线的下方,即,则利用的右行解的延伸定理,得出的解可以延伸到的边界.另一方面,直线的下方,积分曲线是单调上升的,并且它在向右延伸时不可能从直线穿越到上方.因此它必可向右延伸到区间.故至少成立.类似可证,对,至少有成立.4 设二元函数在全平面连续.求证:对任何,只要适当小,方程 的满足初值条件的解必可延拓到.证明 因为在全平面上连续,令,则在全平面上连续,且满足.对任何,选取,使之满足.设方程经过点的解为,在平面内延伸为方程的最大存在解时,它的最大存在区间为
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