三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析 在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提 高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。 一、数形结合思想 由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深 同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分 析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路， 迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。 例 1求不等式 在 上的解集。xcossin, 解析：设 ， ，在同一坐标系中作出在yy2 上两函数图像(如图 1)，在 上解得 的解为,0,0xcossin 或4x ，故由图像得要使得 ，即 ，由于 ， 在321y43xxysin1xycos2 上为偶函数，故在 上的解为 ，得原不等式的解集为,0,43,43 二、分类讨论思想 分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异 性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的 重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。 例 2设 ，且 恒成立，求 的取值范围。2,0 02sin2comm 解析：令 12sinsiis f 令 ，由 ，得 ，则sint2,01t ， ， 在2122 mtmttf 1,0t0f 上恒成立， 在 上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，,0tf,0 1） 当 时，需 得 ；1,f1 2） 当 时，需 ，得 ；m0m o x y 图 1 243y1 y2 3） 当 时，需 得0m,0f021m 综上所述，得 三、整体思想 整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个 整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途 径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 例 3求函数 的最大、最小值。xxfcosin1 解析：由条件和问题联想到公式 ，可实施整体代换xcosin21 求最值。 令 ， ，则,24sin2cosinxxt 1,0sit1i2t ，故当 时， 有最大值，且为2,1,2,12tty 2ty ；当 时， 有最小值，且为ty 四、方程思想 方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相 等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称 为方程思想。 例 4已知 ，求 的值2sin3icosin 解：令 ，则 ，xcosi011x ，故解得in ， 解得， ，2,21sxx 22x62x6cosin 五、化归转化思想 化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新 问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向 具体问题转化等。 例 5若 ， ，试确定 的大小。40nmcosin,cosin nm, 解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或 容易解答的题型。要比较 的大小可转化为 与 2比较大小就容易多了。m, ，又 ，故 ，2sin1,2sin12m02sini ，0, 六、函数思想 函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题 转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。 例 6已知 ，求证：1sinisin222 2sin2isin 解析：由 得 ，构造函数：coco222sinisisisicosi 22 xxxxxf 显然 ，故 ，即得0f 08iniin22s2insi 七、逆向思想 逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种 解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。 例 7将函数 的图像向右平移 个单位后，再作关于 轴的对称变换，xfysin4x 得到函数 的图像，求 的解析式。2i1f 解析：我们可以采用倒推的方法，即