几何学的发展简史

几何学的发展简史 上海市第十中学 数学教研组 王沁 课前 设计 中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代数学科目来分类 的话，可以看出：无论是算术、代数还是几何、三角，中国古代数学在各方 面都十分发达。而且在数学理论与实际需要的联系中，创造出了与古希 腊等欧洲国家风格迥异的实用数学。 可惜的是，现行的教材对中国古代数学家的成就介绍得很少。即使 教材中有，但是也基本上出现在阅读材料中，几乎没有老师会去介绍，当 然，学生也很少去看。 我本人接触这些数学历史知识也是拜赐学校提供的再学习机会。我 校有一个由秦一岚校长总负责、全校老师共同参与的市级课题：史情教育 与各学科校本课程的整合。如何在数学学科上整合史情教育，在数学课 中充分挖掘数学学科的民族精神内涵，弘扬中华民族精神和上海城市精 神，渗透德育教育，探索出一条符合学生特点的教学方法，通过师生互动， 能提高学生团结协作精神，并提高学生的科学素养，是摆在我面前的一 个重要课题。 为此，我做了以下几方面的准备。 第一步，确定课题。高二正在上立体几何，于是确定上几何学（偏重 立体几何）的发展简史。 第二步，收集资料。主要是阅读大量有关数学史的书籍。 第三步，理清脉络。把看到的大量信息进行梳理，按照时间顺序、内 容与教材内容的相关程度、在几何史上地位的重要性等方面进行选取。 第四步，组织教案。确定前一部分讲几何学发展简史，后一部分让学 生用学习过的几何知识（主要是立体几何）来解决一些实际问题。 数学应用能力是基础数学教育的重要组成部分，同时它也是学生比 较薄弱的环节。中学里的数学内容多半是纯粹的数学基础知识，而现在 国家提倡数学素质教育,那么提高数学应用能力是其中重要的一环。为了 提高同学对立体几何的兴趣，提高学生应用立体几何知识解决实际问题 的能力，我选择了四道应用性较强的例题:平改坡问题,遮阳篷的角度,飞 机高度测量和蜂巢表面积最小问题。鉴于学生的实际数学水平与能力， 我没有让学生从数学实际问题出发自行建立数学模型，而是在帮助他们 建立了数学模型后，指导学生如何看懂模型，如何联系学习过的数学知 识解决数学问题。 我希望通过我的课，能让更多的学生了解数学的历史，了解中国数 学的历史， 为我国古代数学家的杰出贡献而自豪。同时让同学看到数学 是多么有用的一门学科，多么有趣的一门学科，希望无论是数学成绩好 还是数学成绩不理想的同学都能对数学永远保持一分兴趣。 教案 教学目标： （1）让学生大致了解几何学（主要是立体几何）学在中外的发展简史； （2）通过使用古代数学家的方法解决问题，让学生亲身体会中国古代 科学家的成就； （3）通过中外数学家的成就比较中外古代研究数学的思想的不同； （4）通过学习过的立体几何知识来解决一些实际问题。 教学重点：割补法应用于解决实际问题。 教学难点：实际问题向数学模型的转化。 教学过程： 前 言 “九章所蕴含的思想影响，必将日益显著，在下一世纪中凌驾于 原本思想体系之上，不仅不无可能，甚至说是殆成定局。 ” 吴文俊 汇校九章算术序 引入 数学的 历史就是“ 数”与“形” 的发展史。我们的先民在从野蛮走 向文明的漫长历程中，逐步认识了数与形的概念。 “形”的意识也许跟人类 历史一样古老。例如：在中国出土的新石器时代的陶器大多为圆形或其他 规则形状，陶器上有各种几何图案，通常还有三个着地点，这些都是几何 知识的萌芽。 古埃及在齐阿普斯王朝(公元前 2900 年左右) 时代建造起来的金字塔,其 塔基是一个“ 标准” 的正方形，各边的误差不超过万分之六。 希腊人创造了他们自己的文明和文化，对现代西方文化的发展影响 最大，对今日数学的奠基起了决定作用。 新课讲 授 一古希腊几何学 古典时期(公元前 600 年到公元前 300 年) （1）泰勒斯（约前 640前 546 年）将埃及的实用几何带入希腊，开始 证明几何命题。 （2）毕达哥拉斯（约前 585前 500 年）学派对图形进行广泛的研究。 开头研究的一类问题叫面积应用问题。 几何上有三个著名的作图问题：作一正方形使其与给定的圆面积相 等；给定正方体一边，求作另一正方体之边，使后者体积两倍于前者体积； 用尺规三等分任意角。有好些数学结果是为解决这三个问题而得出的副 产品。 （3）希波克拉底（前 5 世纪下半叶）已研究画圆为方及立方倍积问题。 据说最早把间接证明引用到数学里的是他。他所著的几何书叫几何原本 ，已经失传 。 （4）德谟克利特（约前 460前 370 年）发现棱锥和圆锥的体积分别等 于同底等高的棱柱和圆柱体积的三分之一（但是证明是由欧道克斯作出 的）。他的几何著作很可能是欧几里德几何原本问世以前的重要著作。 （5）亚里士多德（约前 384前 322 年）创造了演绎逻辑，虽然他的哲 学对数学的直接影响很少，但对古希腊的论证几何等数学的发展起到明 显的促进作用。他 给“ 定义” 、“定理” 、“公设” 等以明确的解释。 （6）欧几里德（前 300 年左右生活在亚历山大城并在该处授徒）著几 何原本，确立几何学的逻辑体系，成为世界上最早的公理化数学著作。 原本共十三篇，第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比 例论；第六篇讲相似形；第七、八、九篇是数论；第十篇是不可公度量的分 类；第十一、十二、十三篇是立体几何及穷竭法。 西方曾有两本影响最广的书，一本是圣经，另一本就是几何原本 。原本是使用 时间最长的数学教科书。 原本实际上是古希腊古典时期 一些个别发现的整理，是众多学者智慧的结晶，欧几里德对前人的成果 加以整理、归纳、完善和发展，他依然是个大数学家。虽然它的内容存在 缺陷，而且与现代教学趋势日益不相适应，但从历史的角度看，它确实是 一部伟大的著作，无愧于“ 西方数学的代表作 ”的称号。 这个时期的数学仅仅是定性的。那个时期的知识分子只限于搞哲学 和科学工作，不去搞商业和贸易；有教养的人不关心实际问题。他们就这 样把数学思维和实际需要割裂开来，而且数学家也没有感到有去改进算 术方法和代数方法的压力。只有当有文化的阶级与奴隶阶级之间的壁垒 在亚历山大时期被冲破而且有教养的人关心实际事务的时候，重点才转 移到数量知识以及发展算术和代数方面。 亚历山大时期(前 300 年到公元 600 年) 阿基米德（前 287前 212 年）利用穷竭法求出球的表面积和体积公 式,研究抛物弓形面积,给出 的范围,它的几何著作是希腊数学的顶峰。 大约从公元 1 世纪初起,亚历山大的数学工作特别是几何工作开始 衰落.而此时在东方的中国数学正蓬勃发展。 二、中国古代几何学 中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲 骨文内已有“规” 和“矩”两个字,规是用来画圆 的,矩是用来画方的. 春秋时期，随着铁器的出现，生产力的提高，中国开始了由奴隶制向 封建制的过渡，新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。战国时期 人们通过田地及国土面积的测量，城池的修建，水利工程的设计等生产 生活实践， 积累了大量的数学知识。 （1）但是秦朝的焚书坑儒给中国文化事业造成空前的浩劫，西汉作为 数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是九章算术的成书。它 对于中国和东方数学，大体相当于几何原本对于希腊和欧洲数学。中 国古代的几何一般不讨论图形离开数量关系的性质，而要计算出长度、 面积、体积 。在 九章算 术的方田章中有各种多边形、圆、弓形等的面积 公式；商功章讨论了各种立体的体积公式。 九章算术后，中国的数学著述基本采用两种方式：一是为九章算 术做注；二是以九章算术为楷模编纂新的著作。经过两汉社会经济和 科学技术的大发展，到魏晋时期，思想文化领域中儒家的统治地位被削 弱，代之以谈三玄周易、 老子、 庄子 为主的辩难之风。与此相适 应，数学家重视理论研究，力图把自先秦到两汉积累起来的数学知识建 立在必然可靠的基础之上。 （2）刘徽和他的九章算术注便是魏晋时代造就的最伟大的数学家 和最杰出的数学著作。 该书前九卷全面论证了九章算术的公式、解法，发展了出入相补 原理、截面积原理、 齐 同原理和率的概念，在圆面积公式和锥体体积公式 的证明中引入了无穷小分割和极限思想，首创了求圆周率的正确方法， 指出并纠正了九章的某些不正确的或错误的公式，探索出解决球体积 的正确途径。 以多面体体积的算法为例，在实际中使用了长方体的体积公式： V=abh。 堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的几何体，其体积显然是 V=abh/2； 沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是四棱锥，称为阳马，其体积 为 V=abh/3，另一部分为四面都是直角三角形的三棱锥，叫鳖臑，其体积 V=abh/6。刘徽用无穷小分割的方法证明了上述公式。 在平面几何中用直角三角形或正方形 在立体几何中用锥体和长方 体进行移补,这构成了中国古代几何的特点. 刘徽未能解决球体积公式的证明，但他创造性地给出了他的“牟合方 盖”，但是他未能证明，在书中他也坦诚直言，表示 “以俟能言者”。200 多 年后出了一位“能言者 ”，那就是祖 暅之。 （3）缀术包含了祖冲之（429500 年）和儿子祖暅之（一作祖暅，生 平不详）的数学贡献。 祖暅沿用刘徽的“ 牟合方盖 ”，证明了球体体积的计 算问题，充分 显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥，隋 唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。 刘徽和祖氏父子在极限思想的运用上远远超过了古希腊的同类思想， 达到了文艺复兴前世界数学界的最高峰。 三、我们研究探索的问题 问题 1 为了改善住房条件，上海近些年大力推行“平改坡” 工程。一个 平顶建筑物屋顶是一个长为 a 米宽为 b 米的矩形，在其上增加一个如图 所示的屋顶，屋脊 PQ 的长为 m 米，屋 顶的高为 h 米，求增加的屋顶的体 积。 分析 将屋顶截成中间成三棱柱（堑堵），两边成四棱锥（阳马）。仅此， 我们可以看出刘徽的这组模型在几何体计算中的作用。 问题 2 遮阳棚的角度 卖西瓜的小商贩决定利用一面南北方向的墙（如图所示），在上面用 C1 B1A1 C BA AC=3m BC=4m AB=5m 的角钢焊接成一个简易的遮阳棚（将 AB 放在 墙上），他认为从正西方向射出的太阳光线与地面成 75 度角时，气温最 高，要使此时的遮阳棚面积最大，应将遮阳棚 ABC 面与水平面成多大角 度？ 问题 3 飞行的高度 在南北方向的一条公路上，一辆汽车由南向北行驶，速度为 100 千米/ 时，一架 飞机在一定高度上的一条直线 上飞行，速度为 1007 千米/ 时。从汽车 里看飞机，在某个时刻看见是正西方向，仰角是 30 度，在 36 秒后，又看见飞机在北偏西 30 度，仰角为 30 度，问飞机的飞行高度是多 少千米？ 问题 4 18 世纪，法国科学家雷奥乌姆尔和马拉尔蒂等人认真观测蜂巢， 发现它外形是正六棱柱，下底是正六边形（设边长为 2a），顶部是三个全 等菱形，三个菱形与棱柱轴线成等角，三者彼此斜依而下倾，棱柱侧面皆 全等直角梯形。设较长侧棱 AA1=h，问： （1）当菱形的边长变化时，蜂巢的体积是否改变？请说明理由。 （2）欣赏了蜂巢的艺术性之后，科学家在深思这种奇特结构的实用价 值，猜想这 种蜂房的顶盖设计可能是节省其建材蜂蜡的最佳选择。雷奥 乌姆尔就这种猜测请教瑞士数学家、巴黎科学院院士科尼希，科尼希严 格证明了人们关于蜂巢最优性的猜测是真的。请你也来计算一下，在体 积相同的情况下，菱形内角多大时，蜂巢表面积最小？ 结 束 语 “继续发扬中国古代传统数学的机械化特色对数学各个不同领域探 索实现机械化的途径，建立机械化的数学，则是本世纪以至可能绵亘整 个 21 世纪才能大体趋于完善的事。 ” 吴文俊 现代数学新进展序 专家点评 一般情况下，开课从来不会开这样的课，把数学史作为上课讲授内 容的一个重要组成部分，占了近一半的教学时间。但是数学史又是数学 的一个不可缺损的部分。我本人在以前也并不了解数学的发展史，也是 工作后，看了一些有关的书籍，慢慢地对数学史也有了一定的了解。 我感到数学史对我影响最大的是历史上许多数学家的人格魅力。为 了坚持真理，他们不顾世人的嘲笑、谩骂、甚至迫害，有些人甚至付出了 生命的代价。比如非欧几何的发现。其实当时有三个人同时发现。年轻的 玻利亚因为怀疑自己的成果被高斯剽窃，一气之下不再研究数学。高斯 屈从于教会的势力，不敢勇敢地发表自己的发现。而只有俄国有创新精 神的罗巴切夫斯基在喀山大学数学物理系宣读了他的开创性论文关于 几何原理的议论，提出了罗巴切夫斯基公理，这一天公认为“ 非欧几何” 的诞生日。他公然向人类几千年来确信不疑的欧氏几何挑战，在当时遭 到了几乎所有数学家的讽刺，甚至校长的职务也被撤除。但是科学界对 待罗巴切夫斯基的不公正评价并未摧毁它对新几何的信念，他不顾一切 侮辱坚持真理，他的理想终于得胜，被历史承认。三人中只有他被公认为 “非欧几何之父” ，这也是他的不屈科学精神的体现，也是后人对他坚持 真理的一种敬意。因此，讲一点数学史，看一点数学史，不仅对学生，对 老师也是一种教育。我们应该对学生多进行人格方面的教育，数学史值 得去讲，值得去研究，数学家的这种精神应该让后人了解、继承、发扬。 任何数学家的成就都离不开人的积累。欧几里德的几何原本是古 希腊先人数学成就的结晶，中国九章算术也是中国先秦时期和以前中 国古人的数学成就的总结。刘徽的成就更是踩在前人的肩膀上才取得的。 还历史一个本来面目，让学生了解这些，知道前人要想发现哪怕是一个 定理也是多么不容易。数学上的探索与发现本来就是一条荆棘之路，仅 靠个人的力量是不够的。 这方面对学生也是一个教育。 本堂课的实际问题都很精彩，体现了中国古代数学处理几何体的最 常用方法：割补法。有三 维的割补，也有平面的割补。只是遮阳篷这道题 花的时间较长，有点影响后面的进度。 李大元 课后反思 上完几何学的发展简史，特别是听了李大元老师的点评后，我对 数学史的渗透教学工作应当起到的作用又有了新的认识。 首先，中国古代的数学成就不仅是进行爱国教育的优秀教材，而且 许多成就本身对当前的数学教学仍具有现实意义。事实上中国古代解决 某些问题的方法比现行数学教科书中的方法要