单级倒立摆的数学模型的建立-参考

1 单级倒立摆的数学模型的建立： 小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码 器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移） 。导轨截面成 H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为 1 米。轨道 两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。 图 1 单级倒立摆系统数学模型 倒立摆系统的模型参数如下： M 小车质量 1.096Kg； m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25ml T 采样频率 0.005s 下面 N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为： (1)xbF 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2）sincosi22mllxNdt 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程： （3） FllbMi 为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面 的方程： cos2ldtmgP （4）sin2l 力矩平衡方程如下： （5）INllcossi 方程中力矩的方向，由于 ， ，故等sini,cos 式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程： （6）cossin2xmlglmlI 综上：单级倒立摆的运动方程为： （3） FllxbMsins2 （6）coin2xglI 由于这 2 个方程式非线性的 近似线性化处理： 考虑一类非线性系统 其镇定问题所研究的是设计一个状态 反馈控制器 ，使得闭环系统 为稳定系统。 针对上述非线性系统的镇定问题，有一类方法是先将其进行线性化，然后利用 线性系统稳定性理论来设计控制器。线性化的方法有种，一是以泰勒展开为 基础的近似线性化方法；二是以微分几何为基础的精确线性化方法。 经典的近似线性化方法 该方法通过求取方程 右端对状态向量 x 在平衡 点的偏导数可得，即 3 式 即为平衡点。处的近似线性化模型。 2 精确线性化方法 该方法通过寻找微分同胚变换=（x）和状态反馈 ， 使得非线性系统 可转换成 Brunosky 标准型的线 性系统： 基于微分几何的非线性系统精确线性化理论已经证明：存在这样一个微分 同胚变换和状态反馈，使得一个单输入仿射非线性可以化为一个线性系统。若 h(x)是线性偏微分方程组 的解，其中 为光滑函数，且 则 是一个微分同胚变换；并且若 ，则单输入仿射非线性系统 可转换为标准型，即 对于由近似线性化方法得到的非线性系统的近似线性模型和由精确线性化方法 得到的线性模型，都可以应用线性系统的极点配置方法来设计系统的反馈控制 器；但不同的是前者设计的反馈控制器可以直接应用于非线性系统，并在小范 围内可以将系统从不稳定的初始状态镇定至平衡状态；而后者设计的反馈控制 器所得到的是控制量 而不是原系统的控制量 ，因此该控制量还需要经过控 制量的逆变换将其转化为控制量 才能作用于原系统，即 对比这种设计非线性系统反馈控制器的方法，经典近似线性化方法方法 最明显的缺点是它有误差，而且误差随偏离平衡点距离的增大而扩大利用精确 线性化模型得到的系统状态反馈控制器能在更大范围内将系统从不平衡状态镇 定至平衡状态；因此精确线性化方法不但更适合于高精度的非线性系统的镇定 控制，而且更适合于初始状态远离平衡点系统的镇定控制。 根据相对阶的定义，可知倒立摆系统的相对阶 r=2 不能为 n 即倒立摆系统不能 实现精确线性化。 假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 ，则可进行近似处理：10,sin,co2dt 用 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：u （7） umlxbMglI2 对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到： 5 （8） )()()()(22 sUmlsbXsmMgllI （推到时假设初始条件为 0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为： glslIs2)() 将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为： 6705.01.)(2ssX 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： mgllIA2)( 将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： 6705.01.)(2ss 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 22432()()()mlsqbIlMglblFssqqMll 将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 32().3560.81792.304ssF 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： 22 2222 20()0 0()()1()()()x xImlbgl ImlMIMmMull lIIlI 100xxyu 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： 0100.8367.291.83167.25.852.5100