基于数学史研究的课题

基于数学史研究的课题 数学史研究的背景 研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，也是自然科学史研究下属 的一个重要分支。和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学 之间的交叉学科。数学史研究所使用的方法主要是历史科学的方法，在这一点 上，它与通常的数学研究方法不同。它研究的对象是数学发展的历史，因此它 与通常历史科学研究的对象又不相同。具体地说，它所研究的内容是： 数学史研究方法论问题；总的学科发展史数学史通史；数学各 分支的分科史（包括细小分支的历史）;不同国家、民族、地区的数学史及其 比较;不同时期的断代数学史;数学家传记;数学思想、数学概念、数学方 法发展的历史；数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；数学教育史； 数学史文献学；等等。按其研究的范围又可分为内史和外史。 内史 从数学内在的原因（包括和其他自然科学之间的关系）来研究数学 发展的历史； 外史 从外在的社会原因（包括政治、经济、哲学思潮等原因）来研究数 学发展与其他社会因素间的关系。数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定 的原则把数学史分成若干时期。学术界通常将数学发展划分为以下五个时期： 数学萌芽期（公元前600年以前） ； 初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶） ； 变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代） ； 近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战） ； 现代数学时期（20世纪40年代以来） 。 数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切 的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 人们研究数学史的历史，由来甚早。古希腊时就曾有人写过一部几何学 史 ，可惜未能流传下来,但在 5 世纪普罗克洛斯对欧几里得几何原本第一 卷的注文中还保留有一部分资料。中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著 作中，曾讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。12 世纪时，大 量的古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是当时的数 学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。 近代西欧各国的数学史研究，是从 18 世纪，由 J蒙蒂克拉、C. 博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉 1758 年出版的数学史 （17991802 年又经 J.de 拉朗德增补）为代表。从 19 世纪末叶起，研究数学 史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,1945 年以后，更有了新的 发展。19 世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。 通史研究 代表作可以举出 M.B.康托尔的数学史讲义(4 卷, 18801908)以及 C.B.博耶(1894、1919)、D.E.史密斯(2 卷，19231925)、洛 里亚（3 卷，19291933）等人的著作。法国的布尔巴基学派也写了一部数学 史收入数学原理丛书之中。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、 伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。1972 年美国 M.克莱 因所著古今数学思想一书，被认为是 70 年代以来的一部佳作。 古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作 出了成绩的有 J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古 希腊数学通史。20 世纪 30 年代起，著名的代数学家范德瓦尔登在古希腊 数学史方面也作出成绩。60 年代以来匈牙利的 A.萨博的工作则更为突出，他从 哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。 古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书 译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊 格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的楔 形文字数学史料研究 （1935、1937） 、 楔形文字数学书 （与萨克斯合著， 1945）都是这方面的权威性著作。他所著古代精密科学(1951)一书，汇集 了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范德瓦尔登的科 学的觉醒(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威 性著作之一。 断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的19 世纪数学发 展史讲义(19261927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于 20 世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是 19 世纪的。直到 1978 年法国 数学家 J.迪厄多内所写的17001900 数学史概论出版之前，断代体数学史 专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的半个世纪的数学之类的著名论文。 对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特 23 个数学问 3 题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学 史的研究,可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数 学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状” ，或是如 H.外尔所说的： “如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就 不可能理解近 50 年来数学的目标，也不可能理解它的成就。 ” 历代数学家的传记以及他们的全集 、 选集的整理和出版 这是数 学史研究的大量工作之一。此外还有多种数学经典论著选读出现，辑录了 历代数学家成名之作的珍贵片断。 专业性学术杂志 最早出现于 19 世纪末，M.B.康托尔（18771913，30 卷）和洛里亚（18981922，21 卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内 斯特勒姆主编的数学宝藏 （18841915，30 卷） 。现代则有国际科学史协会 数学史分会主编的国际数学史杂志 。 中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的律历志 “备数”条内 常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的汉书律历志说数学是 “推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩 深致远,莫不用焉” 。 隋书律历志记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之 的光辉成就。历代正史列传中，有时也给出了数学家的传记。正史的经 籍志则记载有数学书目。 在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。如刘徽注九章算术 序 (263)中曾谈到九章算术形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对 刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为四元玉鉴所写的序文中讲 述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本数术记遗之后附录有“算学源 流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位 算 法统宗(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。 以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和 研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：对古算书 的整理和研究， 算经十书(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参 预此项工作的有戴震(17241777)、李潢(?1811)、阮元（17641849） 、沈 钦裴(1829 年校算四元玉鉴)、罗士琳(17891853)等人。编辑出版了 畴人传 （数学家和天文学家的传记） ，它“肇自黄帝，迄于昭（清）代，凡 为此学者，人为之传” ，它是由阮元、李锐等编辑的(17951799)。其后，罗士 琳作“补遗”(1840)，诸可宝作畴人传三编 （1886） ，黄钟骏又作畴人传 四编(1898)。 畴人传 ，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物 多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。 利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研 究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四 运动前后起，开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的。经过半个多 世纪,李俨的论文自编为中算史论丛(15 集，19541955),钱宝琮则有 钱宝琮科学史论文集(1984)行世。从 20 世纪 30 年代起，两人都有通史性 中国数学史专著出版，李俨有中国算学史(1937)、 中国数学大纲 （1958） ； 钱宝琮有中国算学史 （上，1932）并主编了中国数学史(1964)。钱宝琮 校点的算经十书(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。 从 19 世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面 的文章。20 世纪初日本人三上义夫的数学在中国和日本的发展以及 50 年 代李约瑟在其巨著中国科学技术史(第三卷)中对中国数学史进行了全面的 介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、 美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的 研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。 数学史上的重要意义 1、科学意义 每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其 现实性。其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究 在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的 解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的 历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性， 比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用， 诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领 域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。 国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并 善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。中国著名数学家吴文 俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史， 在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学 5 机械化思想的启发下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数 学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。 科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴， 以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定 提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致 使我们出现诸如解决三等分角作图等荒唐事，避免我们在这样的问题上白费时 间和精力。同时，总结中国数学发展史上的经验教训，对中国当今数学发展不 无益处。 2、文化意义 美国数学史家 M.克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与 这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显” 。 “数学不 仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识 体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有 用，同时影响着政治家和神学家的学说” 。数学已经广泛地影响着人类的生活和 思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化 史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子， 了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年） 数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性， 而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数 学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、 极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗 马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。 3、教育意义 当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑， 或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今 日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大 学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经 过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是 将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系， 这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程 以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌 和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与 方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。 在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从 某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不 变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可 以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识 的深化。 科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟 导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高 度渗透的现代化社会，正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科 方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同 时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以 了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青 少年的人格培养上发挥十分重要的作用。 中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家， 出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、 具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特 征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因， 16世纪以后中国落后了，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的 潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖， 对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就， 了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学 的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。 数学史上的三大危机 1、无理数 大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达 7 哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称 为“四艺” ，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归 结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但 由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约)的 情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派 的根本信条，导致了当时认识上的“危机” ，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的 方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得原本第5卷中。 欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中 学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困 难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几 何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可 以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。 危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开 始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一 次巨大革命！ 2、无穷小 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部 分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者向一个不信正教 数学家的进言 ，矛头指向微积分的基础-无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖 论。他指出：“牛顿在求 xn 的导数时，采取了先给 x 以增量0，应用二项式 （x+0)n，从中减去 xn 以求得增量，并除以0以求出 xn 的增量与 x 的增量之比， 然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续 先设 x 有增量，又令增量为零，也即假设 x 没有增量。 ”他认为无穷小 dx 既等 于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬， “dx 为逝去量的灵魂” 。无 穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲 学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的 可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也 不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用， 不考虑连续就进行微分，