山东省青岛市2015届高三下学期一模考试 数学(文)

7 第 3 题图 7 9 8 64 4 4 9 3 山东省青岛市 2015 届高三下学期一模考试 数学（文） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上 3第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效 第卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1设 为虚数单位，复数 等于 i21i A B C Dii1i1 2设全集 ，集合 ，则 RI2|log,|AyxBxy A B C DA ()IAB 3在“ 魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的平均数和方差分别为 A 和 B 和 C 和 D 和51.6851.6850.450. 4 “ ”是“数列 为等差数列”的 *12N,2nnana A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则3 正视图中的 的值是x 第 5 题图 21 正视图 侧视图 俯视图 x A B C D292323 6已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ，双曲线1(0,)xyab:250lxy 的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为l A B C D 2105xy2150xy23150xy23105xy 7设 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是,mn, A若 ，则 B若 ，则/,n/,mn/ C若 ，则 D若 ，则,/ ,/ 8函数 ( 为自然对数的底数)的图象可能是4cosxye A B C D 9已知 的三边分别为 ，则 的面积为BC4,56A A B C D15721715781576 10已知点 是 的外心， 是三个单位向量，且 ，如GA,G20GABC 图所示， 的顶点 分别在 轴的非负半轴和 轴的非负半轴上移动，则 点的轨C,xy 迹为 A一条线段 B一段圆弧 C椭圆的一部分 D抛物线的一部分 第卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知函数 ，若 ，()tansi201fxx()2fm第 10 题图 B O x 第 12 题图 结束 输出 s 12,is 1i是 否开始 si ? OxOyx OyxOyx 则 ；()fm 12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ； 13.在长为 厘米的线段 上任取一点 ，现作一矩形 ,邻边长分别等于线段 的12ABC,ACB 长,则该矩形面积大于 平方厘米的概率为 ；0 14. 设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为 ，则 的最小值为 zxy,xy20ykz6z ； 15. 若 是一个集合， 是一个以 的某些子集为元素的集合，且满足： 属于 ，XXX 空集 属于 ； 中任意多个元素的并集属于 ； 中任意多个元素的交集属于 则 称 是集合 上的一个拓扑已知集合 ，对于下面给出的四个集合 ：,abc ； ；,acb ,abc ； , 其中是集合 上的一个拓扑的集合 的所有序号是 X 三、解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ,共 75 分 ,解 答 时 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 16. （本小题满分 12 分） 某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、 唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有 人，表演笛子演奏的有 人，表演12 唱歌的有 人. 3 （）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； （）若从甲社区表演队中选 人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率.2 17 （本小题满分 12 分） 已知函数 图象上最高点的纵坐标为 ，且图象()4cosin()6fxxa(0)2 上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；a （）求函数 在 上的单调递减区间.()fx0, 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 是直角梯1ABCD1ABCDA 形， , , ， ， , 为 中点./AD90 3B13E1 （）证明： 平面 ；1/1E （）证明：平面 平面 .1 AB1BC1CD1D 19 （本小题满分 12 分） 已知数列 是等差数列， 为 的前 项和，且 ， ；数列 对nanSan1028a9Snb 任意 ，总有 成立.N1231bb （）求数列 、 的通项公式；na （）记 ，求数列 的前 项和 .2cncnT 20 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 上顶点为 ，右顶点为 ，离心率 ， 为坐 2:1(0)xyCabAB2eO 标原点，圆 与直线 相切.23OB （）求椭圆 的标准方程； （）直线 与椭圆 相交于 、 两不同点，若椭圆 上一点 满:()0lykx（CEFCP 足 .求 面积的最大值及此时的 ./PEF2k 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 ， ，其中 ， 为自 2()xfxae1()(ln)2gfxRa2.718e 然对数的底数. （）若函数 的图象在点 处的切线过坐标原点，求实数 的值；y,Mf a （）若 在 上为单调递增函数，求实数 的取值范围.()f1, （）当 时，对于满足 的两个实数 ，若存在 ，使得0a120x12,x0x 成立，试比较 与 的大小120()gx 青岛市高三统一质量检测 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题每小题 5 分，共 50 分 D A B C D A C A B B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 11. 12. 13. 14 154028132233 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 16. （本小题满分 12 分） 解：（）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为 ;1,ABC2,ABC 则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有 121212(,),(,)A12, 共 种 4 分12(,)12,121212(,),(,)ACB9 其中选出的两个表演项目相同的事件 种，所以 6 分33P （）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为 1213,abc 则从甲社区表演队中选 人的基本事件有2121213(,),(,),(,)abacac 共 种121(,),c132233(,),(,)bcc 5 10 分 其中至少有一位表演笛子演奏的事件有 种，所以 12 分9915P 17 （本小题满分 12 分） 解：（） 31()4cosin()4cos(incos)62fxxaxxa223sin1i 4 分()1.6xa 当 时， 取得最大值 si()fx23a 又 最高点的纵坐标为 ， ，即 6 分()fx231. 又 图象上相邻两个最高点的距离为 , 的最小正周期为()fxT 所以 , 8 分2T1 （）由（）得 ()2sin()6fx 由 32,Z.6kk 得 10 分,.6x 令 ，得： .0k23 所以函数 在 上的单调递减区间为 12 分()fx,2,63 18 （本小题满分 12 分） 证明：（）连结 交 于 ，1AD1G 因为 为四棱柱，BC 所以四边形 为平行四边形，1 所以 为 的中点，GAD 又 为 中点，所以 为 的中位线，1E B1EG1ABD 所以 4 分1/ 又因为 平面 ， 平面 ，D11E 所以 平面 6 分 1/BAE （）设 ，CH 因为 ，所以 BDA: 又 ， ，所以 33BC , ,所以/AD0909 ，12C32B 从而 ， ,H 所以 ， ,即 9 分 22CHABD 因为 为四棱柱， 底面1ABCD1C HA1ABBCCD1DEG 所以侧棱 底面 ，又 底面 ,所以 10 分1BACDABCD1A 因为 ，所以 平面 11 分1 因为 平面 ，所以平面 平面 12 分11 19 （本小题满分 12 分） 解：（）设 的公差为 ，nad 则 10928,d1792S 解得 ，所以 4 分,33()nn 又因为 ，121bb 所以 3n 两式相除得 (2) 因为当 时 适合上式，所以 8 分14b31(N)2nb （）由已知 ，312nac 则 370n nT2 114 2 所以 10 分33+()n n 从而 ，即 12 分 11(142 2n nT372nnT 20 （本小题满分 13 分） 解：（）由题意，直线 的方程为： ，即为ABxyab0xayb 因为圆 与直线 相切，所以 ， 2 分O2|323 设椭圆的半焦距为 ，因为 ， ，cbccea 所以 3 分 21ab 由得： 2, 所以椭圆 的标准方程为： 5 分C 21xy （）由 可得： 21()xyk22()80kxk 设 ， 1(,)E2,F 则 ， 7 分28x218xk 所以 2222211816()4)kkxx（ 又点 到直线 的距离OEF2dk ， 10 分/PlPEOFS 22()1k（ 又因为 ，又 ， 2218160k0 令 ，则 ，(,)t222()31()46ktt（ 所以当 时, 最大值为24,36k1)（ 16 所以当 时, 的面积的最大值为 13 分1EPF2 21 （本小题满分 14 分） 解: （） ， 2()xfxae2()(1)2xfaxae 则 ，(2)76fe 2(34f 函数 的图象在点 处的切线为：yf,Mf 76)(yf 切线过坐标原点， ，即 20)76)(0fe22(34)ee 3分 81a （） 2()(1)xfxa 要使 在 上为单调递增函数，只要 , 2(1)20axa 令 2ax 当 时， ，在 内 ，0()2,)x()f 函数 在 上为单调递增函数4分()fx1, 当 时， 是开口向上的二次函数，(1)xa 其对称轴为 ， 在 上递增，为使 在 上单调递增， ()x,()fx1, 必须 min()120x 而此时 ，产生矛盾0a 此种情况不符合题意 6分 当 时， 是开口向下的二次函数，0a 2()(1)2xaxa 为使 在 上单调递增，必须 ，即 在 上恒成立，()f1,(0f()0x