全国中考数学压轴题精选精析2(最新最全)

2009 年全国中考数学压轴题精选精析（二） 13.（09 年广东茂名）25 （本题满分 10 分） 已知：如图，直线 l： 13yxb， 经过点 104M， ， 一组抛物线的顶点12()()()()nByBy， ， ， ， ， ， ， ， （ 为正整数）依次是直线 l上的 点，这组抛物线与 x轴正半轴的交点依次是：1231(0)()(0)(0)nAxAx， ， ， ， ， ， ， ， （ 为正整数） ，设d（ ） （1）求 b的值； （2 分） （2）求经过点 12B、 、 的抛物线的解析式（用含 d的代数式表示） （4 分） （3）定义：若抛物线的顶点与 x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛 物线就称为：“美丽抛物线” 探究：当 0d（ ） 的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存 在，请你求出相应的 d的值 （4 分） （09 年广东茂名 25 题解析）解：（1） 在 上，104M， 3yxb ， 2 分 1043b4 （2）由（1）得： ， 在 上， 13yx1()By， l 当 时， ， 3 分 x17421， 解法一：设抛物线表达式为： ， 4 分 ()(0)yaxa（第 25 题图）yOM xn l1 2 3 B23BnBAA4A1 又 ， ， ， ， 5 分 1xd1(0)A， 27(1)ad271()ad 经过点 的抛物线的解析式为： 6 分 12B、 、 2()yx 解法二： ， ， ，1xd1(0)A， 2(0)d， 设 ， 4 分 ()yaa 把 代入： ，得 ， 5 分 172B， (1)2)dA271()ad 抛物线的解析式为 6 分 27()yx （3）存在美丽抛物线7 分 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三 角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又 ，等腰直角三角01d 形斜边的长小于 2，等腰直角三角形斜边上的高必小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小 于 1 当 时， ，x171342y 当 时， ，22 当 时， ，x3y 美丽抛物线的顶点只有 8 分12B、 若 为顶点，由 ，则 ； 9 分1B17， 7512d 若 为顶点，由 ，则 ，22， 1yOM xn l1 2 3 B23BnBAA4A1 综上所述， 的值为 或 时，存在美丽抛物线 10 分d512 14.（09 年广东梅州）23本题满分 11 分 （提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形） 如图 12，已知直线 过点 和 ， 是 轴正半轴上的动点， 的垂直平分L(0)A， (1)B， PxOP 线交 于点 ，交 轴于点 LQxM （1）直接写出直线 的解析式； （2）设 ， 的面积为 ，求 关于 t 的函数关系式；并求出当 时，OPt S02t 的最大值； S （3）直线 过点 且与 轴平行，问在 上是否存在点 ， 使得 是以 为直1LAx1LCPQ 角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由 （09 年广东梅州 23 题解析） （1） 2 分yx （2） ， 点的横坐标为 ，OPtQ2t 当 ，即 时， ，100t1M 3 分2OPQSt 当 时， ，t 12t 12OPQSt 4 分 021.2tt， ， L A O M P B x y L1 图 12 Q 当 ，即 时， ，102t02t211()24Stt 当 时， 有最大值 6 分tS4 （3）由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得1OABOAB 1LC 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又CPQ PQOQ 轴，则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 7 分1Lx LCA()， 下证 连 ，则四边形 是正方形 90CBOB 法一：（i）当点 在线段 上， 在线段 上PQ （ 与 不重合）时，如图1 QB、 由对称性，得 ， COP， ， 180PQB 8 分360()9C （ii）当点 在线段 的延长线上， 在线段 上时，如图 2，如图3 OAB ， 9 分 12QPBC， 0PQ （iii ）当点 与点 重合时，显然 90C 综合（i） （ii） （iii） ， Q 在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 11 分 1L(1)C， P 法二：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得1OABOAB 1LC 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又CPQ PQOQ L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C L A O PB x L1 23 题图-2 Q C 2 1 y y L A O PB x L1 23 题图-3 Q C 2 1 轴， 则 ， 两点关于直线 对称，所以 ，得 7 分 1Lx COL1ACO()， 延长 与 交于点 MQ1N （i）如图4，当点 在线段 上（ 与 不重合）时，ABQ、 四边形 是正方形， ACB 四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰直角三角形OAN QBM 90NMQNOMC， ， 又 ， ， PP ， C ， QN 又 ，90MP C 8 分Q （ii）当点 与点 重合时，显然 9 分 B90PQC （iii ） 在线段 的延长线上时，如图5， A ，1=2 CQMP 90B 综合（i） （ii） （iii） ， C 在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 11 分1L(1)， PQ 法三：由 ，所以 是等腰直角三角形，若在 上存在点 ，使得1OABOAB 1LC L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C 23 题图-4 L A O M P B x y L1 Q CN y L A O PB x L1 23 题图-5 Q C 2 1 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，所以 ，又CPQ PQCOQ 轴， 1Lx 则 ，O 两点关于直线 对称，所以 ，得 9 分L1AO()， 连 ， ， ， ，PC|1Bt12Mt2tQ ，22()tt 2222211tOQPOt ， 10 分22C90CQP 在 上存在点 ，使得 是以 为直角顶点的等腰直角三角形 11 分1L(1)， 15.（09 年广东清远）28如图 9，已知一个三角形纸片 ABC， 边的长为 8， BC边上 的高为 6， B和 都为锐角， M为 一动点（点 与点 、 不重合） ，过点M 作 NC ，交 A于点 N，在 中，设 N的长为 x， M上的高为 h （1）请你用含 x的代数式表示 h （2）将 沿 折叠，使 落在四边形 所 在平面，设点 落在平面的点为 1， A 与四边形B 重叠部分的面积为 y，当 x为何值时， y最大，最大值为 多少？ （09 年广东清远 28 题解析）解：（1） MNBCAMNBC 68hx34 3 分 （2） 1A 1MN 的边 上的高为 h， 当点 落在四边形 BC内或 边上时， B C NM A 图 9 1AMNyS = 213248hx（0 4x ） 4 分 当 落在四边形 BC外时，如下图 (8)， 设 1EF 的边 上的高为 1， 则 326hx11MNAMN 1ABCEFABC 126EFSh ABC824ABCS 22363414EFxSx1 A112223988AMNEFyxxx 所以 294()x6 分 综上所述：当 0 时， 238yx，取 4， 6y最 大 当 48x时， 21， 取 163， y最 大 当 x时， 最大， 8y最 大 8 分 16.（09 年广东汕头）24 （本题满分 12 分）正方形 边长为 4， 、ABCDM 分别是 、 上的两个动点，当 点在 上运动时，保持 和NBCDM 垂直，M （1）证明： ；RttACN （2）设 ，梯形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；xyx 当 点运动到什么位置时，四边形 面积最大，并求出最大面积；AB （3）当 点运动到什么位置时 ，求 的值RttN （09 年广东汕头 24 题解析）解：（1）在正方形 中，CD M N CB E F A A1 N DA C D B M 第 24 题图 ，490ABCDBC， ，MN ，90 在 中， ，Rt AM ， 3 分tBC （2） ，tRN ，4AxMCN， ， 5 分 2x ， 22214118()0ABCNxySxxA梯 形 当 时， 取最大值，最大值为 10 7 分2x （3） ，90M 要使 ，必须有 ， 9 分AB ABNM 由（1）知 ，NC ， 当点 运动到 的中点时， ，此时 12 分AB 2x （其它正确的解法，参照评分建议按步给分） 17.（09 年广东深圳）23 （本题 10 分）已知：RtABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2， 将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0，n0） ，连接 DP 交 BC 于点 E。 当BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标。 （3 分） 又连接 CD、CP（如图 13） ，CDP 是否有最大面积？若有， 求出CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由。 （3 分） N DA C D B M 答案 24 题图 图 11 图 12 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 E1E3E2C D BAO 图 13 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 MC D BAO P （09 年广东深圳 23 题解析） （1） 由 Rt AOC Rt COB 易知，CO 2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4 A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将点 C(0,2)代入，可求 a= 12 为所求213yx （2） ； 提示：直线 BC 的解析式为1(,)E248(,)5342(5,)E 设 ，利用勾股定理和点 在直线 BC 上，可得两个方程yxyxy 组 分别可求 和22()xy 221(4)xy2E3 （3） 过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，易求 PC 的解析式为 ，且nyxm ，故4(2,)nMm 2 1()14(23()15CDPDPCMDMSSxynxynmAA 故，当 时， ，2258CDPSA最 大 值 1(,) 18.（09 年广东湛江）28已知矩形纸片 OABC的长为 4，宽为 3，以长 OA所在的直线为x 轴， O为坐标原点建 立平面直角坐标系；点 是 边上的动点（与点 、 不重合） ，现将 PC 沿 翻 折 得到 PEC ，再在 AB边上选取适当的点 D， 将 PA 沿 翻折，得到 PFD ，使得 直线 F、 重合 （1）若点 落在 边上，如图，求点 C、 、 的坐标，并求过此三点的抛物线的函 数关系式； （2）若点 落在矩形纸片 O的内部，如图，设 Oxy， ， 当 x为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点 PD、 、 三点的抛物线上是否存在点 Q， 使 PD 是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 的坐标 （09 年广东湛江 28 题解析）解：（1）由题意知， POCAD 、 均为等腰直角三角形， 可得 (30)(4)PCD， 、 ， 、 ， 2 分 设过此三点的抛物线为 2(0)yaxbc， 则 3901641cab C y E B F D AP xO 图 A B D F E C O P x y 图 第 28 题图 C y E B F D AP xO 图 A B D F E C O P x y 图 第 28 题图 1253abc 过 PCD、 、 三点的抛物线的函数关系式为 2153yx4 分 （2）由已知 平分 OPE， 平分 APF， 且 E、 重合，则 90CPD90A， 又 90D Rtt OPCD， 即 34xy6 分221114()()(0)33yxx 当 2x时， y有最大值 3 8 分 （3）假设存在，分两种情况讨论： 当 90DPQ时，由题意可知 90DPC，且点 在抛物线上，故点 C与点 Q重 合，所求的点 为（0，3） 9 分 当 时，过点 作平行于 的直线 Q，假设直线 D交抛物线于另一 点 Q， 点 ()PC， 、 ， ， 直线 P的方程为 3yx，将直线 PC向上平移 2 个单 位与直线 D重合， 直线 Q的方程为 510 分 由 2 513yx 得 16xy或 4 又点 (4)()DQ， ， ， 故该抛物线上存在两点 03(16)， 、 ， 满足条件 12 分 y xA BEC Q O P DF （Q ） 第 28 题图 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分 19 （09 年广东肇庆）25 （本小题满分 10 分） 如图 9， 的直径 和 是它的两条切线， 切 于 E，交 AM 于O 2ABM， NDO D， 交 BN 于 C设 xy， （1）求证： ；N （2）求 关于 的关系式； y （3）求四边形 的面积 S，并证明： ABD2 （09 年广东肇庆 25 题解析） （1）证明：AB 是直径，AM、BN 是切线， ， （2 分） AMBNA ， MBN 解：（2）过点 D 作 于 F，则 C AD 由（1） ，四边形 为矩形. ， （3 分） 2Fx DE、DA ，CE 、CB 都是切线， 根据切线长定理，得 ， （4 分） EAxBy 在 中， ， RtDFC 2DCExyCFByx， ， ， （5 分）2()()xyx 化简，得 （6 分）10 （3）由（1） 、 （2）得，四边形的面积 ，11()22SABDCx O A D E M CB N 图 9 O A D E M CB N 图 9 F 图22图图 N M D CB A 即 （8 分）1(0)Sx ，当且仅当 时，等号成立 2120x 1x ，即 （10 分）1x S 20.（09 年广东）22. 正方形 ABCD 边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直， （1）证明：RtABM RtMCN； （2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位 置时，四边形 ABCN 的面积最大，并求出最大面积； （3）当 M 点运动到什么位置时 RtABM RtAMN， 求此时 x 的值. （09 年广东 22 题解析） （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，B=C=90， ABM+BAM=90 ABM+CMN+AMN=180，AMN=90AMB+CMN=90BAM=CMN RtABMRtMCN （2）RtABMRtMCN， 即 解得：AB =MCN， 4-xC(4)xN , 1=CN+S梯 形 1()y2 即： 28yx 又 22111-480xx 当 x=2 时，y 有最大值 10. 当 M 点运动到 BC 的中点时，四边形 ABCN 的面积最大，最大面积是 10. （3）RtABMRtMCN， ，即ABMN2 224164xx 化简得： ，解得：x=22160x 当 M 点运动到 BC 的中点时 RtABM RtAMN，此时 x 的值为 2 21.（09 年广西来宾）26 （本小题满分 12 分） 当 x2 时，抛物线 yax 2 bxc 取得最小值1，并且抛物线与 y 轴交于点 C（0， 3） ，与 x 轴交于点 A、 B （1）求该抛物线的关系式； （2）若点 M（x，y 1） ，N（x1，y 2）都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小； （3）D 是线段 AC 的中点，E 为线段 AC 上一动点（A、C 两端点除外） ，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 与抛物线交于点 F问：是否存在DEF 与AOC 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，则说明理由 （09 年广西来宾 26 题解析）解：（1）由题意可设抛物线的关系式为 ya(x 2) 21 1 分 因为点 C（0，3）在抛物线上 所以 3a(02) 21，即 a1 2 分 所以，抛物线的关系式为 y(x2) 21x 24 x3 3 分 （2）点 M（x，y 1） ，N（x1，y 2）都在该抛物线上 y 1y 2（x 24 x3）(x1) 24( x1)332 x 4 分 当 32 x0，即 时，y 1y 2 5 分 当 32 x0，即 时，y 1y 2 6 分 当 32 x0，即 时，y 1y 2 7 分3 （3）令 y0，即 x24 x 3 0，得点 A（3,0） ，B（1,0 ） ，线段 AC 的中点为 D（ , ）23 直线 AC 的函数关系式为 yx3 8 分 因为OAC 是等腰直角三角形，所以，要使DEF 与OAC 相似，DEF 也必须是 等腰直角三角形由于 EFOC，因此DEF45 ，所以，在DEF 中只可能以点 D、F 为直角顶点 当 F 为直角顶点时，DF EF，此时DEFACO，DF 所在直线为 23y 由 ，解得 ， （舍去） 9 分2342x2104x32104x AB C D O x y E F 3 （第 26 题图） 将 代入 yx 3，得点 E（ ， ） 10 分2104x 2104 当 D 为直角顶点时，DFAC ，此时DEFOAC，由于点 D 为线段 AC 的中点， 因此，DF 所在直线过原点 O，其关系式为 yx 解 x24 x3x ，得 ， （舍去） 11 分2135x3215 将 代入 yx 3，得点 E（ ， ） 12 分15 AB C D O x y E F 3 （第 26 题图） AB C D O x y E F 3 （第 26 题图） 22.（09 年广西崇左）25 （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，C 且点 ，点 ，如图所示：抛物线 经过点 (02)A， (10)C， 2yaxB （1）求点 的坐标；B （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 （点 除外） ，使 仍然是以 为直角边的等腰PBAP C 直角三角形？若存在，求所有点 的坐标；若不存在，请说明理由 （09 年广西崇左 25 题解析） （1）过点 作 轴，垂足为 ，BDx9090BCDAOCAO， ； 1 分 又 ，； ， 2 分 B A C x y （0，2 ） （1，0 ） （第 25 题） B A D C O M N x y P1 P2 3 分12BDOCA， 点 的坐标为 ； 4 分(3)， （2）抛物线 经过点 ，则得到 ， 5 分2yax(1)B， 92a 解得 ，所以抛物线的解析式为 ； 7 分12yx （3）假设存在点 ，使得 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形：PAC 若以点 为直角顶点； C 则延长 至点 ，使得 ，得到等腰直角三角形 ， 8 分B11B1ACP 过点 作 轴，1PMx ；1190CCDPM， ， 10 分1B ，可求得点 ； 11 分12P， 1(， -) 若以点 为直角顶点； A 则过点 作 ，且使得 ，得到等腰直角三角形 ， 12 分2C2AC2ACP 过点 作 轴，同理可证 ； 13 分2PNyPNO ，可求得点 ； 14 分1OA， 2(1)， 经检验，点 与点 都在抛物线 上 16 分1()， 2()， 2yx 23.（09 年广西桂林）26 （本题满分 12 分）如图，已知直线 3:4lyx，它与 x轴、y 轴的交点 分别为 A、B 两点 （1）求点 A、点 B 的坐标； （2）设 F 是 x轴上一动点，用尺规作图作出P，使P 经过点 B 且与 x轴相切于点 F（不写作法和证明，保留作图痕迹） ； （3）设（2）中所作的P 的圆心坐标为 P（ xy， ） ，求 与 的函数关系式； （4）是否存在这样的P，既与 x轴相切又与直线 l相切于点 B，若存在，求出圆心 P 的坐标；若不存在，请说明理由 x A B V FO y 第 26 题图 （09 年广西桂林 26 题解析）解（1）A（ 4，0） ，B（0，3） 2 分（每对一个给 1 分） （2）满分 3 分其中过 F 作出垂线 1 分，作出 BF 中垂线 1 分，找出圆心并画出P 给 1 分 （