弹性力学与有限单元法试卷1

2012 至 2013 学年第 一 学期 弹性力学与有限单元法 试卷 出卷教师： 王建伟 适应班级：土木 10 级 考试方式：开卷报告形式 本试卷分数考试占总评成绩的 80% 姓名： 悦敢超 学号：201048040603 第一题： 以平面应力弹性力学问题为例，说明弹性力学的所研究问题的数学模型， 并简单导出弹性力学位移法与应力法的数学模型。 （20 分） 第二题： 采用半逆解法求解下面薄壁梁（其参数为厚度 t，高度 h，弹性模量 E，泊 松比 等）的变形后的应力、应变和位移？（20 分）S xy uSF 第三题： 以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法泛函极值）对 问题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式） 。 （20 分） 第四题： 说明有限单元法的基本思想与基本步骤。要求：必须准确说明采用有限元 法解题的每一步（不必计算） ，如你认为有必要，可以结合例子说明。 （20 分） 第五题（上网查资料） 谈一谈你对有限元法的认识，说明有限单元法在工程上的应用，并举出两 个以上的你有兴趣的工程实例。说明今后有限元法的发展趋势与方向。 （20 分） 报告要求： 1、报告中需图形表述的可以借用讲义中的图形，如果无法找到合适图形，可手 绘于标准打印纸上，注意标注清晰。除图形外所有文字与公式必须打印。如 不满足上述要求，无成绩处理。 2、考勤不符合要求者，无成绩处理。 3、交报告时将此试卷作为报告首页（填写姓名与学号） ，其它报告内容按顺序 装订后提交。 一、解：平面应力弹性问题的数学模型，就是 8 个方程应力边界条件和位移边界条件， 目标是求解 8 个未知（场）函数。 位移法 应力法 二、解：（1）应力函数 （2）求应力 22211( )01 VEuuvXxyxy2()1xEuvxy()2(1)xyEvuxy物 理 方 程 几 何 方 程 2()y平 衡 方 程 222( )VvvuYyxS 2 1()()1 2SEu vl mXxyyx2()()Svuuml Yx uS 0u0v几 何 方 程 xuyvxyu1()xxyE2(1)xyxyEyyx物 理 方 程 0 xyxVXyxyVY平 衡 方 程 232xuyy23322xyvuyx232 222xyyx222()()(1) xyxyyxy 32Mah3(,)xya1b 32(,)Mxyyh,0,0.(,):xxxyZMyxyBodyI （3）求应变 三、答： 四、解：有限单元法的思想就是先对位能泛函做离散近似，然后在变分求得位 移解。位移有限元法最重要就是要建立Ka=P这个有限元方程（本质为 2n 个线性代入方程，后引入 Su 条件求解即可） ，因而K和P的结成是关键。 具体解题步骤如下： 1单元剖分 把连续弹性体分割成许多个有限大小的单元，并为单元和节点编 号。 2单元特征分析 以节点位移e 为基本未知量，设选一个单元位移函数， 之后： （1）用节点位移表示单元位移，f=Ne。 （2）通过几何方程用节点位移表示单元应变，=Be。 （3）通过物理方程用节点位移表示单元应力，=Ge。 （4）通过虚功方程用节点位移表示节点力，Fe=Kee，得出单元刚度 矩阵。 3总体结构合成 （1）分析整理各单元刚度矩阵，通过节点的平衡方程形成节点载荷列阵、合成 总体刚度矩阵，建立以节点位移为未知量的、以总体刚度矩阵为系数的线性代 数方程：K =F。 （2）对线性代数方程组进行边界条件处理，求解节点位移。进而由=G ,0,0.(,):xxxyZMyxyBodyI1()xxyE2(1)xy xyE()yyx xZMyEI0xyyZyI平 面 应 力 弹 性力 学 模 型 微 分 法 建 立 的数 学 模 型 位 移 解 法 微 分模 型 0xyx VX yxyVY:xxySSlmXyxyY0:uSv能 量 法 建 立 位 能 泛函 ， 求 满 足 Su条 件 下的 使 得 位 能 泛 函 取 极值 的 位 移 极 值 宗 量u(x,y)v(x,y)位 移 解 必 然 满 足 位 能 泛 函 的变 分 虚 位 移原 理 0xyx VXyxyVY:xxySSlmXyxyY: 0FxxySlym自 然 满 足 e 可求得单元应力。 五、解： 有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的求解微分方程 的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地 应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极 值问题有着紧密的联系） 。其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极 值问题。基本原理是将 连 续 的 求 解 域 离 散 为 一 组 单 元 的 组 合 体 ， 用 在 每 个 单 元 内 假 设 的 近 似 函 数 来 分 片 的 表 示 求 解 域 上 待 求 的 未 知 场 函 数 ， 近 似 函 数 通 常 由 未 知 场 函 数 及 其 导 数 在 单 元 各 节 点 的 数 值 插 值 函 数 来 表 达 ， 从 而 使 一 个 连 续 的 无 限 自 由 度 问 题 变 成 离 散 的 有 限 自 由 度 问 题 。 岩土工程应用 - 岩 土 工 程 较 为 复 杂 ， 这 一 方 面 是 因 为 岩 土 材 料 力 学 特 性 复 杂 ， 另 一 方 面 也 因 为 地 质 结 构 复 杂 ， 且 具 隐 蔽 性 ， 无 法 完 全 勘 测 ， 从 而 导 致 岩 土 工 程 对 经 验 的 依 赖 性 非 常 强 。 尽 管 如 此 ， 有 限 元 法 在 岩 土 工 程 中 也 得 到 了 普 遍 的 应 用 ， 发 挥 的 作 用 越 来 越 大 。 有 限 元 法 较 适 合 分 析 连 续 介 质 的 力 学 问 题 ， 而 岩 体 类 材 料 属 不 连 续 介 质 ， 其 中 存 在 断 层 和 众 多 的 结 构 面 。 对 此 类 问 题 ， 人 们 提 出 了 一 些 特 殊 单 元 来 模 拟 它 们 ， 如 薄 层 单 元 、 Goodman 单 元 等 ， 较 好 地 解 决 了 这 一 问 题 ， 使 有 限 元 法 可 以 成 功 地 应 用 到 岩 土 工 程 中 ， 为 岩 土 工 程 的 设 计 和 施 工 提 供 了 很 好 的 理 论 分 析 方 法 和 计 算 手 段 。 再 如 在 地 下 工 程 中 ， 通 过 线 性 或 非 线 性 有 限 元 法 对 围 岩 进 行 结 构 分 析 ， 可 以 预 测 地 下 洞 室 开 挖 后 ， 围 岩 的 变 形 、 应 力 重 分 布 情 况 及 洞 室 的 稳 定 性 ， 为 地 下 洞 室 的 可 行 性 研 究 提 供 理 论 根 据 。 有 限 元 法 与 大 变 形 、 流 变 和 损 伤 等 理 论 相 结 合 ， 还 可 研 究 洞 室 的 长 期 稳 定 性 、 破 坏 规 律 和 过 程 ， 为 经 济 、 科 学 地 设 计 有 效 支 护 形 式 和 分 析 加 固 效 果 提 供 可 靠 参 数 。 在 边 坡 、 土 坝 和 地 基 等 工 程 的 研 究 过 程 中 也 较 多 使 用 了 有 限 单 元 法 ， 用 来 分 析 在 荷 载 作 用 下 的 变 形 、 稳 定 和 加 固 等 问 题 。 如 在 边 坡 的 开 挖 过 程 中 ， 稳 定 性 致 关 重 要 。 过 去 由 于 受 计 算 手 段 的 限 制 ， 常 采 用 刚 体 极 限 平 衡 法 ， 往 往 过 于 保 守 。 采 用 非 线 性 有 限 元 法 后 ， 可 以 分 析 整 个 边 坡 的 变 形 状 态 ， 确 定 危 险 的 区 域 或 岩 块 ， 找 出 可 能 的 滑 动 面 ， 计 算 相 应 的 稳 定 安 全 系 数 ， 还 可 分 析 加 固 效 果 和 施 工 程 序 对 稳 定 性 的 影 响 。 由 于 岩 土 类 材 料 力 学 参 数 的 随 机 性 和 地 质 结 构 的 不 确 定 性 ， 人 们 在 有 限 元 法 中 引 进 了 概 率 理 论 ， 产 生 了 随 机 有 限 元 法 ， 其 结 果 更 具 参 考 价 值 。 有 限 元 法 在 求 解 具 体 问 题 时 ， 首 先 要 形 成 所 谓 的 网 格 信 息 。 对 于 连 续 介 质 和 比 较 规 则 的 区 域 ， 目 前 的 有 限 元 法 软 件 都 能 较 方 便 地 自 动 生 成 网 格 和 坐 标 信 息 。 对 于 岩 体 这 类 不 连 续 介 质 材 料 ， 其 众 多 的 结 构 面 对 网 格 的 生 成 带 来 了 很 大 的 麻 烦 。 而 这 些 地 质 结 构 面 对 岩 体 的 力 学 性 能 有 直 接 的 影 响 ， 在 利 用 有 限 元 法 进 行 分 析 时 必 须 加 以 模 拟 。 如 何 根 据 地 质 信 息 ， 由 计 算 机 自 动 形 成 网 格 ， 这 方 面 工 作 还 值 得 研 究 。 为 避 免 上 述 困 难 ， 已 经 有 些 学 者 提 出 了 一 些 新 的 数 值 分 析 方 法 ， 如 块 体 单 元 法 、 DDA 和 无 单 元 网 格 法 等 。 机械工程应用 有限元技术的出现为机械工程结构的设计、制造提供了强有力的工具，它 可以解决许多以往手工计算根本无法解决的问题，为企业带来巨大的经济效益 和社会效益。在现代机械工业中要设计生产出性能优越、可靠的机械产品，不 应用计算及进行辅助设计分析是根本无法实现的，因此目前各生产设计部门都 非常重视在设计制造过程中采用先进的计算机技术。 近年来，国内外许多学者对机械零部件的有限元分析进行了大量的研究， 归纳起来主要是以下几个方面：a静力学分析。当作用在结构上的载荷不随时 间变化或随时间的变化十分缓慢，应进行静力学分析。这是对机械结构受力后 的应力、应变和变形的分析，是有限元法在机械工程中最基本、最常用的分析 类型。 b动力学分析。机械零部件在工作时不仅受到静载荷作用，当外界有与其固有 频率相近的激励时，还会引起共振，严重破坏结构从而引起失效。故零部件在 结构设计时，对复杂结构，在满足静态刚度要求条件下，要检验动态刚度。 C热应力分析。这类分析用于研究结构的工作温度不等于安装温度时或工作时 结构内部存在温度分布时，结构内部的温度应力。d接触分析。接触分析用于 分析两个结构物发生接触时的接触面状态、法向力等。由干机械结构中结构与 结构间力的传递均是通过接触来实现的，所以有限元法在机械结构中的应用很 多都是接触分析。这是一种非线性分析，以前受计算能力的制约，接触分析应 用的较少。e屈曲分析。这是一种几何非线性分析，用于确定结构开始变得不 稳定时的临界载荷和屈曲模态形状，例如压杆稳定性问题。 有限元法最初应用在求解结构的平面问题，发展至今已由二维问题扩展到 三维问题、板壳问题，由单一物理场的求解扩展到多物理场的耦合，由静力学 问题扩展到动力学问题、稳定性问题，由结构力学扩展到流体力学、电磁学、 传热学等学科，由线性问题扩展到非线性问题，由弹性材料扩展到弹塑性、塑 性、黏弹性、黏塑性和复合材料，从航空技术领域扩展到航天、土木建筑、机 械制造、水利工程、造船、电子技术及原子能等，其应用的深度和广度都得到 了极大的拓展。有限元法的发展过程是与计算机技术的发展紧密相联的。只有 计算机技术高度 发展以后，有限元法才得到广泛的应用。一个复杂的问题的求解，过去用小型 机花费几天