八年级下册期末复习三角形的证明

八年级下册期末复习三角形的证明 01 各个击破 命题点 1 全等三角形的性质和判定 【例 1】 (南充中考)已知ABN 和ACM 位置如图所示 ， ABAC，ADAE，1 2. (1)求证：BD CE； (2)求证：M N. 【思路点拨】 (1)要证 BD CE，可通过转化证ABD ACE，根据题意由“SAS”得证； (2)要证M N，可通过转化证ACMABN，由(1)可知CB. 因为21， 所以CAMBAN. 再结合 ABAC，即可根据“ASA” 得证 【解答】 证明：(1)在ABD 和ACE 中， AB AC， 1 2， AD AE， ) ABDACE(SAS) BDCE. (2)12， 1DAE2DAE， 即BANCAM. 由(1)，得ABDACE， BC. 在ACM 和ABN 中， C B，AC AB， CAM BAN， ) ACMABN(ASA) MN. 【方法归纳】 证明两条线段相等或者两个角相等时，常用的方法是证明这两条线段或者 这两个角所在的三角形全等当所证的线段或者角不在两个全等的三角形中时，可通过添 加辅助线的方法构造全等三角形 1已知ABCDEF ，BCEF6 cm，ABC 的面积为 18 cm2，则 EF 边上的高的长 是 6cm. 2(衡阳中考)如图，在ABC 中，ABAC，BDCD， DEAB，DF AC，垂足分别为 点 E，F. 求证：BEDCFD. 证明：DEAB，DFAC， BEDCFD90. ABAC ， BC. 在BED 和CFD 中， B C， BED CFD， BD CD， ) BEDCFD(AAS) 命题点 2 等腰三角形的性质与判定 【例 2】 (北京中考)如图，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，BE AC 于 点 E.求证：CBEBAD. 【思路点拨】 由 ABAC 想到ABCC，由 AD 是 BC 边上的中线想到等腰三角形 “三线合一”的性质，进而得到 ADBC，AD 平分BAC ，再结合 BEAC，就可以建 立角与角之间的数量关系，使问题得解 【解答】 证明：方法 1：ABAC， ABC 是等腰三角形 AD 是 BC 边上的中线 ， ADBC， BADCAD. CADC90. BEAC，CBE C90. CBE CAD. CBE BAD. 方法 2：ABAC，ABCC. 又AD 是 BC 边上的中线，ADBC. BADABC90. BEAC，CBE C90. CBE BAD. 【方法归纳】 本题是一道利用等腰三角形三线合一的性质的证明题，解题的关键是利用 等腰三角形“三线合一”灵活推导各角之间的数量关系 3(滨州中考)如图，ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 BC 上一点，且 ACCDBDBE，A50，则CDE 的度数为(D) A50 B51 C51.5 D52.5 4已知：如图，在ABC 中，ABC，BCA 的平分线交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F.写出图中相等的线段，并说明理由 解：BEOE，CFOF. 理由：BO 平分ABC ，CO 平分ACB ， EBOOBC，FCO OCB. EFBC， EOBOBC，FOC OCB. EBOEOB，FOCFCO. BEOE，CFOF. 命题点 3 勾股定理及其逆定理的应用 【例 3】 如图，在 RtABC 中，C90，ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，已知 AC6，BC8，求线段 AD 的长度 【思路点拨】 由折叠的性质知 CDDE，AC AE.在 RtBDE 中运用勾股定理求出 CD，进而得出 AD 即可 【解答】 在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB10. 由折叠的性质知，AEAC 6，DE CD，AEDC90， BEABAE1064. 在 Rt BDE 中 ，由勾股定理 ，得 DE2BE 2BD 2， 即 CD24 2(8CD) 2， 解得 CD3. 在 Rt ACD 中，由勾股定理，得 AC2CD 2AD 2， 即 623 2AD 2， 解得 AD3 .5 【方法归纳】 折叠的问题，一定存在相等的线段或角的等量关系，要充分挖掘由折叠所 隐含的数量关系利用勾股定理建立等量关系列方程是一种常用的方法 5下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B) A3，4，4 B1， ，2 3 C. ， ， D3，4，73 3 6 6在寻找马航 MH370 航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A，B.接到消息后，一艘舰艇以 16 海里/时的速度离开港口 O(如图所示)向北偏东 40方向 航行，另一艘舰艇同时以 12 海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港 口一个半小时后相距 30 海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：由题意，得 OB121.518(海里)， OA161.524(海里) 又AB30 海里， 18 224 230 2，即 OB2OA 2AB 2， AOB90. DOA40， BOD50. 另一艘舰艇的航行方向是北偏西 50. 命题点 4 线段的垂直平分线的性质与判定 【例 4】 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分别与 AD，BC 相交于点 E，F，连接 AF.求证：AEAF. 【思路点拨】 由 ADBC 及 EF 垂直平分 AC，由 AAS 证明AOECOF，得 AEFC.再由 EF 是 AC 的垂直平分线，可以证明 AFFC，即可得 AEAF. 【解答】 证明：ADBC， EAO FCO，AEOCFO. EFAC ，且 O 是 AC 的中点， AOCO，AF CF. 在AOE 和 COF 中， EAO FCO， AEO CFO， AO CO， ) AOE COF(AAS) AECF. AEAF. 【方法归纳】 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，可以得到等腰三角形， 进一步得到角相等数学知识间有很多联系与递进关系很多时候，解决数学题目，只是 将条件往前推一步，结论再往深处推一步 7(毕节中考)如图，等腰三角形 ABC 的底角为 72，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点 E，垂足为 D，连接 BE，则EBC 的度数为 36 8如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F. (1)求证：FADFDA； (2)若B50，求CAF 的度数 解：(1)证明：EF 是 AD 的垂直平分线， AFDF. FAD FDA. (2)AD 平分BAC ， BADDAC. FDA BADB，FADDAC CAF， 由(1)知FADFDA， BCAF. B50， CAF 50 . 命题点 5 角平分线的性质与判定 【例 5】 (黄冈中考)已知，如图，ABAC，BDCD，DE AB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DE DF. 【思路点拨】 连接 AD，利用 SSS 得到ABD 与ACD 全等，利用全等三角形对应角 相等得到EADFAD，即 AD 为角平分线，再由 DEAB，DFAC，利用角平分线 的性质定理即可得证 【解答】 证明：连接 AD. 在ACD 和ABD 中， AC AB，CD BD， AD AD， ) ACDABD(SSS) EAD FAD，即 AD 平分EAF. DEAE ，DFAF， DEDF. 【方法归纳】 本题考查全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质，熟练掌握全等 三角形的判定与性质，角平分线的基本性质，构造出基本图形，运用角平分线的性质是解 题的关键 9(1)填空：如图 1，在 RtABC 中，C90，B 45，AD 是ABC 的角平分线， 过点 D 作辅助线 DEAB 于点 E，则可以得到 AC，CD，AB 三条线段之间的数量关系为 ABACCD； 图 1 图 2 (2)如图 2，若将(1) 中条件“在 RtABC 中，C90，B45”改为“在ABC 中， C2B ”请问(1) 中的结论是否仍然成立？证明你的猜想 解：(1)中的结论仍然成立 理由：AD 是CAB 的平分线， 将CAB 沿 AD 折叠，点 C 落在 AB 边上的 C处 ACDACD. ACAC ，CDCD，C ACD2B. 又ACDCDB B， CDB B. CDCB. ABAC CBACCD. 02 整合集训 一、选择题(每小题 3 分，共 24 分) 1(南宁中考)如图，在ABC 中，ABADDC，B70，则C 的度数为(A) A35 B40 C45 D50 2如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上的一点已知PAB 的周长 为 14，PA4，则线段 AB 的长度为(A) A6 B5 C4 D3 3用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC 的依据 是(A) ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边距离相等 4已知直角三角形中，30角所对的直角边长是 2 厘米，则斜边的长是(B) A2 厘米 B4 厘米 C6 厘米 D8 厘米 5如图，在ABC 中，B60，ABAC，BC3，则ABC 的周长为(B) A12 B9 C8 D6 6(宜昌中考)如图，在方格纸中，以 AB 为一边作ABP，使之与ABC 全等，从 P1，P 2，P 3，P 4 四个点中找出符合条件的点 P，则点 P 有 (C) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7如图，在ABC 中，C90，12，CD1.5 ，BD 2.5，则 AC 的长为(C) A5 B4 C3 D2 8如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EFBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，过点 O 作 ODAC 于点 D，下列四个结论： EFBECF； BOC90 A； 12 点 O 到ABC 各边的距离相等； 设 ODm，AEAFn，则 SAEF mn. 其中正确的结论是(A) A B C D 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 9(无锡中考)写出命题“如果 ab，那么 3a3b”的逆命题如果 3a3b，那么 ab 10在ABC 中，AB AC，点 D 是 BC 的中点，若B50，则DAC 的度数是 40 11如果三角形三边长分别为 6 cm，8 cm，10 cm ，那么它最短边上的高为 8cm. 12如图，在锐角三角形 ABC 中，直线 PL 为 BC 的垂直平分线，射线 BM 为ABC 的平 分线，PL 与 BM 相交于 P 点若PBC 30，ACP 20，则A 的度数为 70 13如图，正方体的棱长为 a，沿着共一个顶点的三个正方形的对角线裁截掉一个几何体 之后，截面ABC 的面积为 a2 32 14已知 Rt ABC 中，C90，ACBC ，直线 m 经过点 C，分别过点 A，B 作直线 m 的垂线，垂足分别为点 E，F ，若 AE3，AC5，则线段 EF 的长为 1 或 7 三、解答题(共 52 分) 15(8 分) 已知：如图，在ABC 中，ABAC，D 为 CA 延长线上一点，DEBC，交线 段 AB 于点 F.请找出一组相等的线段(ABAC 除外)并加以证明 解：ADAF.证明如下： ABAC ， BC. DEBC， BEFDEC90. BFED. BFEDFA， DFA D. AFAD. 16(8 分) 如图：已知等边三角形 ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上的一点， 且 CECD，DMBC，垂足为点 M，求证：M 是 BE 的中点 证明：连接 BD. 三角形 ABC 为等边三角形，且 D 是 AC 的中点， DBC ABC 6030，ACB 60. 12 12 CECD， CDEE. ACBCDEE， E30. DBCE30. BDED，BDE 为等腰三角形 又DMBC， M 是 BE 的中点 17(10 分) 如图所示，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形 ，ACBECD90，D 为 AB 边上一点 (1)求证：ACEBCD ； (2)若 AD5，BD 12，求 DE 的长 解：(1)证明：ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形，ACBECD90， ECDC，ACBC ，ACBACD ECDACD. ACEBCD.ACEBCD(SAS) (2)ACEBCD ， EACB45，AEBD12. EAD EAC BAC 90. 在 Rt EAD 中，DE 2AE 2AD 212 25 2169.DE 13. 18(12 分) 如图，在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于 点 E. (1)求证：ABD 是等腰三角形； (2)若A40 ，求DBC 的度数； (3)若 AE6， CBD 的周长为 20，求ABC 的周长 解：(1)证明：AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， DBDA. ABD 是等腰三角形 (2)ABD 是等腰三角形，A40， ABDA40， ABCC(180 40)270. DBCABCABD704030.