湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案

岳阳市 2017 届高三教学质量检测试卷（二） 数学（理科） 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2| 1 5 , | 5 6 0A x N x B x x x ，则 （ ） A 1,0,1,3 B 1,0,1, 2 C 1,0,1 D 0,1, 2,3, 4 i 为虚数单位，复数 z 满足 212i z i ，则 z 的值为 （ ） A 2 B 3 C 23 D 5 3. 设数列 n 项和，若5 5 32 , 4S a a，则9a（ ） A 4 B C 22 D 80 4. 函数 c o s ,xf x x e x 的图象大致是（ ） A B C. D ,S A B C 是球 O 表面上的点， 平面 , , 1 , 2A B C A B B C S A A B B C ，则球 O 的表面积等于 （ ） A 4 B 3 C. 2 D 6. 若直线 22与抛物线 2 20x py p相交于 , 于（ ） A 5p B 11p C. 10p D 12p 7.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ） A 4 3 3 B 3 3 3 C. 4 2 3 D 3 4 3 8. 执行如下图所示的程序框图，输出 s 的值为（ ） A 1 B 20162017C. 20182017D 201820199. 已知点 4, 3P 在角 的终边上，函数 s i n 0f x x 图象上与 y 轴最近的两个对称中心间的距离为2，则8f 的值为（ ） A 7210B 7210C. 210D 21010. 设 0a ，若关于 ,02020ax ，表示的可行域与圆 2 229 存在公共点，则 2z x y 的最大值的取值范围为（ ） A 8,10 B 6, C. 6,8 D 8, 11. 已知函数 2f x x m与函数 11l n 3 , 22g x x 的图象上恰有两对关于 x 轴对称的点，则实数 m 的取值范围是（ ） A 5 , 24 B 52 , 4C. 5 l n 2 , 2 l n 24 D 2 , 2 12. 已知直线1 22: 1 0 , 0a 交于 , 点 M 的横坐标为 b ，过 M 且与直线1 的右焦点，则双曲线的离心率为（ ） A 152B 152 C. 132D 132 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 3 题，第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 . ， 2， 3 的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为 , 是函数 s i n 3 c o sf x x x的一个对称中心，则c o s 2 s i n c o s 2 , 0l n 1 , 0 ，若 f x 恒成立，则 a 的取值范围是 2 s i x x ，数列 *1na f n f n n N ，则数列 00 项之和100S 三、解答题 ： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在锐角 中，角 ,对边分别为 ,满足 2 c o a c . （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 3b ，求 取值范围 . 18. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过 4 吨的部分按 2 元 /吨收费，超过 4 吨但不超过 8 吨的部分按 4 元 /吨收费，超过 8 吨的部分按 8 元 /吨收费 . （ 1）求居民月用水量费用 y （单位：元）关于月用电量 x （单位：吨）的函数解析式； （ 2）为了了解 居民的用水情况，通过抽样，获得今年 3 月份 100 户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这 100 户居民中，今年 3 月份用水费用不超过16 元的占 66%，求 , （ 3）在满足条件（ 2）的条件下，若以这 100 户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率 记为该市居民用户 3 月份的用水费用，求 y 的分布列和数学期望 . 三角形 在平面与梯形 在平面垂直，/ / , 2 4B E C D B E C D， C ， F 为棱 中点 . （ 1）求证 : /面 （ 2）求证： 平面 （ 3）若直线 平面 成角的正切值为 155，求二面角 B 的余弦值 . 的两个焦点坐标分别是 2, 0 , 2, 0 ，并且经过 3,1P . （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l ，直线 l 与椭圆 C 相交于 两点，与圆 22:6O x y相交于 两点，当 的面积最大时，求弦 长 . 2112xf x x e x a x ( ,a 是自然对数的底数 )在 0, 0f 处的切线与 x 轴平行 . （ 1）求函数 （ 2）设 21222xg x e m x x n ，若 ，不等式 f x g x 恒成立，求2最大值 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知直线 l 过定点 1,1P ，且倾斜角为 34，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 3 2 c o s. （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 ，求 B 的值 . 等式选讲 设函数 2 2 2 4f x x x . （ 1） 求不等式 8的解集； （ 2） 若存在 ，使不等式 23f x m成立，求实数 m 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 1314. 111015. 2,0 、解答题 17.（ 1） 2 c o a c ， 由正弦定理得： 2 s i n c o s s i n s i A C ， 132 s i n c o s s i n s i n s i C B C C ， 即： 3 s i n c o s 1， 1s ， 为锐角三角形， ,6 6 3B ，66B 即3B ； （ 2） 3,3，由正弦定理有： 2s i n s i n s i na c B ， 由正弦定理有： 2s i n s i n s i na c B ， 2 s i n , 2 s i n , 4 s i n s i c C a c A C ， 3B ， 23， 2 3 14 s i n s i n 4 s i n c o s s i 2a c A A A A A 22 3 s i n c o s 2 s i n3 s i n 2 1 c o s 22 s i n 2 16A A 为锐角三角形， 20 , , 0 ,2 3 2A C A ， ,62A ， 52,6 6 6A ， 2,3. 18.（ 1）当 04x时， 2； 当 48x时， 2 4 4 4 4 8y x x ， 当 8x 时， 2 4 4 4 8 8 8 4 0y x x . 所以 y 与 x 之间的函数解析式为： 2 , 0 44 8 , 4 88 4 0 , 8x ； （ 2）由（ 1）可知，当 16y 时， 6x ，则 6 0 ， 结合频率分布直方图可知： 0 . 1 2 0 . 3 0 . 62 2 0 . 0 5 0 . 4 ， 0 5 , 0 ； （ 3）由题意可知： Y 的可能取值为 1， 3， 5， 7， 9， 11. 则 1 0 . 1, 3 0 . 2 , 5 0 . 3 , 7 0 . 2 , 9 0 . 1 5 , 1 1 0 . 0 5P Y P Y P Y P Y P Y P Y ， 所以 P 的分布列： P 1 3 5 7 9 11 Y 0 . 1 3 0 . 2 5 0 . 3 7 0 . 2 9 0 . 1 5 1 1 0 . 0 5 4 . 5 19.（ 1）如图，取 点 G ，连接 G、 ，因为 F 为 点，所以 /E 且12D ， 2D ， 所以 /D 且 D ，所以四边形 平行四边形，所以 /G . 平面 平面 /面 （ 2）又因为 为正三角形，所以 B ， 又因为面 面 面 C . ,B E B C B E面 所以 面 G E ，所以 面 所以 （ 3） 取 点 O ，再连接 ,易证 面 所以 为直线 平面成的角，即 15t a O，设 OC t ，可求得 1t . 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O ，则 0 , 0 , 0 , 0 , 1, 0， 0 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 134 , 1 , 0 , 0 , 0 , 3 , 2 , ,22E A F ， 所以 1 3 3 32 , , , 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , 0 , ,2 2 2 2B F B C D C D F ， 设平面 法向量为 1 2 3,n n n n，则 21 2 320132022nn n n ，令1 3n ，得 230 , 4 ，所以 3 , 0 , 4n ， 设面 法向量为 1 2 3,m m m m，则 1232033 022 ，令2 1m ，得3 3m ，1 0m， 所以 0,1, 3m ，所以 4 3 2 5 1c o s ,191 9 2 ， 因为二面角 B 为钝角，其余弦值为 2 5119. 20.（ 1）设椭圆的标准方程为 22 10xy ， 依椭圆的定义可得： 222 3 2 1 3 2 1a 228 4 3 8 4 36 2 6 226 6a ， 2c ， 2 2b ， 椭圆的标准方程为： 22162. （ 2）设直线 l 的方程为 2x ，代 入椭圆方程 c 化简得： 223 4 2 0k y k y ， 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y，则1 2 1 22242,33ky y y ， 面积 22 21 2 1 2221 6 8 31 2 6 12 3 3kk F y y y ， 令 2 11t k t ，则22 6 2 6 32 22t ，当且仅当 2t ，即 1k 时取等号 . 此时，直线 l 的方程为 2 ，圆心 O 到 l 的距离为 2d ，又圆半径为 6 ，故所求弦长为 2 6 2 4 . 21.（ 1） 2 xf x x e x a ，由已知得 0 2 0 ，得 2a ，则 21xf x x e . 令 0 ，解得 0x 或 2x ，故函数 ,2 和 0, . （ 2）不等式 f x g x ，可化为 2xe mx n，记 2xh x e m x n ， 2xh x e m ， 当 0m 时， 0 恒成立，则 上递增，没有最小值，故不成立； 当 0m 时，令 0 ，解得 ，当 , 时， 0 ；当 , 时， 0 ，当 时，函数 l n 2l n 2 2 l n 2 0mh m e m m n ， 即 2 2 m m m n ，则 2 l n 22nm m m m ， 令 2 l n 2 0F m m m m m ， 1 F m m ，令 0 ，则2当0,2时， 0；当 ,2 时， 0，故当 2时， ，所以22，即2最大值为2e. 22.（ 1） 3 2 c o s， 2 3 2 c o s ， 2232x y x ， 曲线 C 的直角坐标方程为： 2 214 ， 直线 l 过点 1,1P ，且倾斜角为 34， 直线 l 的参数方程为：31 c o s i （ t 为参数）， 即212212 （ t 为参数） . （ 2）设 两点