广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学文科试题含答案解

惠州市 2017 届高三模拟考试 数 学 (文科 )卷 一 选择题： 本大题 共 12 小题，每小题 5 分。 （ 1）集合 21 , 3 , 5 , 7 , | 4 0A B x x x ，则 （ ） (A) 1,3 (B) 1,3 (C) 5,7 (D) 5,7 （ 2）已知 133 iz i （ i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部为（ ） (A) i (B)i (C) 1 (D)1 （ 3）已知函数 2l o g ( ) , 1() 10,1| | 3x a ，若 (0) 2f ，则 ( 2) （ ） (A) 2 (B)0 (C)2 (D)4 （ 4）甲、乙等 4 人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个 1 元，一个 5 元， 则甲、乙的红包金额不相等的概率为（ ） (A) (B)2(C)3(D)34（ 5）双曲线 22 1 0 , 0xy 的一条渐近线与圆 2 23 1 1 相切，则此双曲线的离心率为（ ） (A)2 (B) 5 (C) 3 (D) 2 （ 6）若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n ，则记为 (m o d )N n m ，例如 1 0 4 (m o d 6 ) ，如图程序框图的算法源于我国古代孙子算经中的 “孙子定理 ”的某一环节，执行该框图，输入 2a ， 3b ，5c ，则输出的 N （ ） (A)6 (B)9 (C)12 (D)21 （ 7）在 ， 3A B A C A B A C ， 3C，则 A 的值为（ ） 开 始a,b,0N10(输 出结 束否否否是是是(A)3 (B) 3 (C) 92(D)92（ 8）设 的等差数列，满足 2 2 2 24 5 6 7a a a a ，则 0 项和10S=（ ） (A) 10 (B) 5 (C)0 (D)5 （ 9）函数 2( ) ( 1 ) c o s1 xf x 图象的大致形状是 ( ) （ 10）已知过抛物线 2 4焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限），若 3B ，则直线 l 的斜率为（ ） (A)2 (B)12 (C) 32(D) 3 （ 11）某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都 在一个球面上，则该球面的表面积是（ ） (A)4 (B) 283(C)443(D)20 （ 12） 设正实数 ,足 223 4 0x x y y z ， 则当 2 1 2x y z的最大值为 （ ） (A)0 (B)1 (C) 94(D)3 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题 第 21题为必考题，每个考生都必须 做 答。第 22题 、 第 23题为选考题，考生根据要求 做 答。 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 （ 13） 已知等比数列 1 3 2 455,24a a a a ，则6a_ （ 14） 已知 3s i n ( )63 ， 则 co s( 2 )3 _ （ 15） 设实数 , 02000 ， 若目标函数 ( 0 , 0 )z a x b y a b 的最大值为 10，则 22的最小值为 _ （ 16） 已知函 数 ( ) | |xf x xe m（ ）有三个零点，则 m 的取值范围为 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知 中， 内角为 A B C， ， ，相应的对边为 , 2220a a b b （ ） 若6B ，求角 C （ ） 若 2 , 1 43，求 的面积 （ 18）（本小题满分 12 分） 某市春节期间 7 家超市广告费支出元）和销售额元）数据如下： 超市 A B C D E F G 广告 费支 出 4 6 11 13 19 销售 额 2 40 44 52 53 54 （） 若用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 与 x 的线性回归方程 （ ） 若用二次函数回归模型拟 合 y 与 x 的关系，可得回归方程： 2 0 . 1 7 5 2 0y x x ，经计算 二次函数回归模型和线性回归模型的 2R 分别约为 请用 2R 说明选择哪个 回归 模型更合适，并用此模型预测 A 超市 广告费支出 3 万元时 的销售额 参考数据： 77 2118 , 4 2 , 2 7 9 4 , 7 0 8i i y x y x 参考公式： 1221 ,y n x yb a y b xx n x （ 19）（本小题满分 12 分） 如图 ，三棱柱1 1 1 B C中，1 =90， M 是 中点，1 2A C C B C C （） 求证：平面1平 面11 （ ） 求点 M 到平面11 （ 20）（本小题满分 12 分） 设1F、2 2 14x y的左、 右焦点 （）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且12 54F ，求点 P 的坐标； （）设过定点 (0,2)M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ，且 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( , )xf x e a x b a b R 在 处的切线方程为 2 （ ） 求函数 () （ ）若 k 为整数，当 0x 时， ( ) ( ) 1k x f x x 恒成立，求 k 的最大值（其中 () () 请考生在第 22 题 和第 23 题中任选一题做答， 做答 时请在答题卡的对应答题区写上题号， 并 用 2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 c o s （ ） 求曲线 C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （ ） 设直线 l 与曲线 C 交于 ,点 P 的直角坐标为 1,0 ， 试求当4时， B 的值 . （ 23） （ 本小题满分 10 分 ） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 1.f x x x （ ） 若 ，恒有 成立，求实数 的取值范围； （ ） 若 ，使得 2 20m m f t 成立，求实数 t 的取值范围 . 惠州市 2017 届高三模拟考试 数学（文科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B A A D C B D B B 1.【解析】因为 = 0,4B ， 选 B 2.【解析】 z i z i ， 选 D 3.【解析】 (0) 2f 4a . ( 2) 2 ， 选 C 4.【解析】总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个， 选 B 5.【解析】 由题意可得 3 1 ，计算 2e ， 选 A. 6.【解析】经验证 1, 2, 3, 4, 5N 必须返回， 6N 时通过， 选 A. 7.【解析】 3A B A C A B A C ，两边平方可得3，A = 9()2C A A B C A 8.【解析】化简可得： 2 2 2 26 4 7 5( ) ( ) 0a a a a ，即6 4 7 52 ( ) 2 ( ) 0d a a d a a ， 560 ，10 0S， 选 C. 9.【解析】 1( ) c o x ， () 1x ，则 (1) 0f ， 选 B . 10.【解析】设 1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，由条件 3B 容易得到 123 ，又因为直线 l 过抛物线的焦点 212 4y y p ，解得 1 2 3( 3 , 2 3 ) , ( , )33, 3k 选 D. 11.【解析】由三视图可知该几何体为棱长均为 2 的正三棱柱，设球心为 O ,小 圆的圆心为1 ,小圆的半径为 r ，则 2 2 211O R r O O，即 2227( 3 ) 133R ， 283S ， 选 B 12.【解析】 2234z x x y y ，又 ,为正实数，2234x y x yz x x y y 114 43 23xy 1 ，当且仅当 2时等号成立，因此当 时， 2，此时 2 2 23 4 2z x x y y y ，因此，22 1 2 1 1 1x y z y y y 21( 1 ) 1 1y ，当且仅当 1y 时等号成立，因此 2 1 2x y z的最大值为 1 ， 故选B. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 11614. 1315. 251316. 10e，13.【解析】由1 3 2 455,24a a a a ，可得16112, 2 1 6a q a . 14.【解析】 2 1c o s ( 2 ) 1 2 s i n ( )3 6 3 . 15.【解析】因为 a0， b0，所以由可行域得，当目标函数 z 点 (4,6)时取最大值，则 4a 6b 几何意义是直线 4a 6b 10 上任意一点到点 (0,0)的距离的平方，那么最小值是点 (0,0)到直线 4a 6b 10 距离的平方，即 最小值是2513. 16.【解析】 问题 转化为 |xy x e y m与 有三个交点时， m 的取值范围。 |xy 的图象如下： 10m e， 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. （本小题满分 12 分） 解：（ ） 由已知 22206B a a b b ，结合正弦定理 得 ： 22 s i n s i n 1 0 , ， A或 1（ 舍 ） 4分 0 , ,23A A C 6 分 （ ） 由 2220a a b b ， 可得 2 8 分 由题意及余弦定理可知： 22 196a b a b ，与 2 联立， 解得 4 7 , 2 7 10 分 1 s i n 1 4 32a b C 12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （ ） 1221y n x n x 22 7 9 4 7 8 4 2 1 . 77 0 8 7 8 3 分 2 8 . 4a y b x 5 分 y 关于 x 的线性回归方程是 1 8 6 分 （ ） 0 0 ,二次函数回归模型 更合适 9 分 当 3x 万元时，预测 A 超市销售额为 元 12 分 19（本小题满分 12 分） 证： （ ）由 平面 平面 由 M 是 中点 ，则 又 B A，则 平面 又 平面 以 平面 平面 6 分 （ ）设 点 M 到平面 距离为 h， 由题意可知 22 2， S 2 3， S 2 2 由（ ）可知 平面 ， 1 3 1 3 hS 所以， 点 M 到平面 距离 h 2 33 12 分 20. （本小题满分 12 分） 解：（ ）易知 2a ， 1b ， 3c 1( 3,0)F ，2( 3,0)F设 ( , )Px y ( 0, 0)则 2212 5( 3 , ) ( 3 , ) 3 4P F P F x y x y x y ， 2 分 又 2 2 14x y，联立22227414y ，解得22113 34 2y ，3(1, )2P 5 分 C 1B 1A 1 ）显然 0x 不满足题设条件可设 l 的方程为 2y ，设11( , )A x y，22( , )B x y 联立 2 2 2 2 2 21 4 ( 2 ) 4 ( 1 4 ) 1 6 1 2 042x yx k x k x k xy k x 12 21214xx k ，12 21614k 6 分 由 22( 1 6 ) 4 ( 1 4 ) 1 2 0 221 6 3 (1 4 ) 0 ， 24 3 0k ，得 2 34k 7 分 又 为锐角 c o s 0 0A O B O A O B ， 1 2 1 2 0O A O B x x y y 8 分 又 21 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) ( 2 ) 2 ( ) 4y y k x k x k x x k x x 1 2 1 2x x y y 2 1 2 1 2(1 ) 2 ( ) 4k x x k x x 2 221 2 1 6( 1 ) 2 ( ) 41 4 1 4 2221 2 (1 ) 2 1 6 41 4 1 4k k 224 ( 4 ) 014 21 44 k 10 分 综 可知 23 44 k， k 的取值范围是 33( 2 , ) ( , 2 )22 12 分 21. （本小题满分 12 分） 解：（ ） xf x e a ， 由已知得 1f ，故 1，解得 1a 又 f ，得 l n 2 l n 2 l n 2 ，解得 2b 2 分 2xf x e x ，所以 1xf x e 当 0x 时， 0 ；当 0x 时， 0 所以 0 ， ，递减区间为 ,0 4分 （ ）法一 1k x f x x ，及 1xf x e 整理得 11e ，当 0x 时恒成立 令 1 01x ， 221e 6 分 当 0x 时， 0 , 1 0 ； 由（ ）知 2xf x e x 在 0 ， 上为增函数， 又 21 3 0 , 2 4 0f e f e 8 分 所以存在 0 1,2x 使得 0002 = 0xf x e x ，此时 00= +2 00,， 0 ；当 0 ,时， 0 所以 000002m i 2 , 31x g x 10 分 故整数 k 的最大值为 2 . 12 分 法二 1k x f x x ，及 1xf x e 整理得， 10xk x e k 令 10xg x k x e k x ， 1 xg x k x e =0得， =1 6 分 当 1k 时，因为 0x ，所以 0 ， 0+， 上为减函数， 0 1 0g x g 8 分 0)(),1,0(1 ，当 ， )(增函数。 时),1( 0)( )(减函数。 1)1()( 1m a x k 由已知 1 10 10 分 令 1 11kh k e k