2011高考数学一轮课件 优化方案新人教A版(理科) 第四章 解三角形应用举例(打包三套)
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2011高考数学一轮课件 优化方案新人教A版(理科) 第四章 解三角形应用举例(打包三套),高考,数学,一轮,课件,优化,方案,新人,理科,第四,三角形,应用,利用,运用,举例,打包
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第 8课时 解三角形应用举例 基础知识梳理 1有关概念 (1)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 仰角 俯角 如图所示 基础知识梳理 (2)方位角：从正 方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角 (3)坡角：坡面与 面的夹角叫坡角 (4)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之 叫做坡比 基础知识梳理 比 水平 北 2解斜三角形在实际中的应用 解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识解题的一般步骤是： (1)分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等 (2)根据题意画出示意图 基础知识梳理 (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答 (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍 基础知识梳理 1两座灯塔 与海岸观察站塔 ，灯塔 0 ，则灯塔 的 ( ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 10 D南偏西 10 答案： B 三基能力强化 2在某次测量中，在 点的仰角是60 ， 0 ，则 ) A 10 B 50 C 120 D 130 答案： D 三基能力强化 3如图所示，为了测量某障碍物两侧 A、 定下列四组数据，不能确定 A、 ) A ， a， b B ， ， a C a， b， D ， ， b 答案： A 三基能力强化 4我舰在敌岛 相距 12海里的 现敌舰正由岛 0 的方向以 10海里 /小时的速度航行，我舰要用 2小时追上敌舰，则需要的最小速度为_ 答案： 14海里 /小时 三基能力强化 5如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A， ，测得 0 ， 75 ，120 m，这条河的宽度为 _ 答案： 60 m 三基能力强化 有关距离测量问题，主要是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两点测量，隔着某一障碍物两点测量等由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题通常是根据题意， 课堂互动讲练 考点一 测量距离 从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解解题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷 课堂互动讲练 课堂互动讲练 例 1 (2009年高考辽宁卷 )如图， A、 B、C、 B、 量船于水 课堂互动讲练 面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 、 3 0 ， 于水面 C 处测得 点的仰角均为 6 0 ， 0 . 1 k m 、 D 间距离与另外哪两点间距离相等 ， 然后求 B 、D 的距离 ( 计算结果精确到 0 . 0 1 2 1 . 4 1 4 ， 6 2 . 4 4 9 ) 课堂互动讲练 【思路点拨】 计算 在 计算 求得 课堂互动讲练 【解】 在 ， D A C 30 ， A D C 6 0 D A C 3 0 ，所以 0 . 1 . 又 1 8 0 60 6 0 60 ，故 边 中垂线，所以 在 ，i n Cs i n 以 AC s i n 6 0 s i n 1 5 3 2 D 3 2 620 0 . 3 3 ( k m ) 故 B 、 D 的距离约为 0 . 3 3 k m . 【 规律小结 】 求距离问题一般要注意： (1)基线的选取要准确恰当 (在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例 1中的 (2)选定或创建的三角形要确定 (3)利用正弦定理还是余弦定理要确定 课堂互动讲练 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度；这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决 课堂互动讲练 考点二 测量高度 课堂互动讲练 例 2 某人在山顶 500 、 B，测得目标 7 ，俯角为 30 ，同时测得目标 8 ，俯角是 45 ，求山高 (设 A、 算结果精确到 0.1 m) 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 结合题意画出图形 用山高 在底面三角形中借助余弦定理列方程 解方程 求出高 h 【 解 】 画出示意图 课堂互动讲练 课堂互动讲练 设山高 h ，则 A P Q 、 B P Q 均为直角三角形， 在图 中， P A Q 30 ， P B Q 4 5 . a n 3 0 3 h ， a n 4 5 h . 在图 中， A Q B 57 7 8 1 3 5 ， 2 5 0 0 ， 课堂互动讲练 所以由余弦定理得 2 BQ c o s A Q B ， 即 2 5 0 02 ( 3 h )2 2 3 h h c o s 1 3 5 (4 6 ) h 25004 6 9 8 4 . 4 ( m ) 因此所求山高约为 9 8 4 . 4 m. 【 规律小结 】 (1)依据题意画图是解决三角形应用题的关键本例中，既有方位角 (它是在水平面上所成的角 )，又有俯角 (它是铅垂面上所成的角 )，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解； 课堂互动讲练 (2)由本例可知，方位角是相对于在某地而言的，因此在确定方位角时，必须先弄清是哪一点的方位角从这个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差 课堂互动讲练 测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了 课堂互动讲练 考点三 测量角度 课堂互动讲练 例 3 在海岸 A 处 ， 发现北偏东 4 5 方向 ， 距 A 处 ( 3 1) n m i l e 的 在 A 处北偏西 7 5 的方向 ， 距离 A 处 2 n m i l e 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n m i l e / h 的 速度追截走私船此时，走私船正以10 n 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在 可先在 C，再在 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船， 则有 10 3 t ， 10 t ， 在 ， 3 1 ， 2 ， 120 ， 由余弦定理，得 2 AC c o s ( 3 1)2 22 2 ( 3 1 ) 2 c o s 1 2 0 6. 6 ， 课堂互动讲练 且 s i n s i n 263222. 4 5 . 正北方向垂直 90 3 0 1 2 0 . 在 ，由正弦定理，得 s i n s i n 0 t s i n 1 2 0 10 3 t12， 30 ， 即缉私船沿东偏北 30 方向能最快追上走私船 【 名师点评 】 首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 课堂互动讲练 1利用正、余弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化，即 a2b 2c 22要熟记三角形的面积公式 课堂互动讲练 考点四 解三角形的综合问题 S 12ab s i n C 12bc s i n A 12ac s i n B 是两边及其夹角正弦值的乘积的一半 课堂互动讲练 例 4 ( 解题示范 ) ( 本题满分 12 分 ) 在 ， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边 ， 且满足 b2 ( 1 ) 求角 A 的值 ； ( 2 ) 若 a 3 ， 设角 B 的大小为 x ， A B C 的周长为 y ， 求 y f ( x )的最大值 课堂互动讲练 【思路点拨】 利用 计算 c o s A 角 A 利用正弦定理计算 b ， c 周长 y 求得最值 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) c o s A 2. 2 分 又 0 A ， A 3. 4 分 ( 2 ) bs i n xas i n A， b as i s i n x 332 s i n x 2 s i n x . 6 分 同理： c as i n As i n C 2 s i n (23 x ). 8 分 课堂互动讲练 y 2 s i n x 2 s i n (23 x ) 3 2 3 s i n ( x 6) 3 . 10 分 A 3， 0 x 23， x 6 (6，56) ， 当 x 62，即 x 3时， ym 3 3 . 12 分 【 误区警示 】 (1)不能正确表示b， c.(2)忽略了 (3)不能利用三角函数的单调性 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )已知向量 a( b (62设函数 f() ab. (1)求函数 f()的最大值； 课堂互动讲练 高考检阅 ( 2 ) 在锐角三角形 ， 角A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， f ( A ) 6 ， 且 A B C 的面积为 3 ， b c 2 3 2 ， 求 a 的值 课堂互动讲练 解： ( 1 ) f ( ) a b s i n ( 6 s i n c o s ) c o s ( 7 s i n 2 c o s ) 6 s i 2 c o 8 s i n c o s 4 ( 1 c o s 2 ) 4 s i n 2 2 4 2 s i n ( 2 4) 2 4 分 f ( ) m 4 2 2. 6 分 课堂互动讲练 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可得 f ( A ) 4 2 s i n ( 2 A 4) 2 6 ， s i n ( 2 A 4) 22. 因为 0 A 2， 所以42 A 434， 2 A 44， A4. 8 分 课堂互动讲练 S 2bc s i n A 24 3 ， 6 2 ， 10 分 又 b c 2 3 2 ， 2 bc c o s A ( b c )22 2 22 (2 3 2 )2 12 2 2 6 2 22 10 ， a 10 . 12 分 1解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等 (2)根据题意画出示意图 规律方法总结 (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答 (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍 规律方法总结 2解斜三角形实际应用举例 (1)常见的几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 (2)解题时需注意的几个问题 要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角； 要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决 规律方法总结 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 - 1 - 1 (2010 年江南十校质检 )在三角形 ， A 120， 5，7，则 ) 析： 选 5 10AC 49 ，由正弦定理得 35，故选 A. 2在 B 45， C 60， c 1，则最短边的边长是 ( ) A. 63 B. 62 D. 32 解析： 选 A.由 b 63 ， 最短边是 b. 3某人在 C 点测得塔顶 A 为南偏西 80，仰角为 45，此人沿南偏东 40方向前进 10 米到 D，测得塔顶 0，则塔高为 ( ) A 15 米 B 5 米 C 10 米 D 12 米 解析： 选 塔高为 h， 在 45， 则 h. 在 30，则 3h， 在 120， 10， 由余弦定理得： 2 即 ( 3h)2 102 2h 10 5h 50 0，解得 h 10或 h 5(舍 ) - 2 - 4在 命题 p： 题 q： 么命题 _条件 解析： 命题 p： A B C a b 成立 答案： 充分必要 和轮船 2 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n h、 15 n h，则下午 2 时两船之间的距离是_n 解析： 如图，由题意可得 50， 30. 而 2 502 302 2 50 30 ( 12) 2500 900 1500 4900， 70. 答案： 70 6 (2009 年高考宁夏海南卷 )如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A、 B、 知 50 m， 120 m，于 D 80 m，于 E 200 m，于 C 处测得水深 110 m，求 解： 如图作 . - 3 - 解： 如图作 ，交 . 302 1702 10 298(m)， 502 1202 130(m)， ( 902 1202 150(m) 在 余弦定理的变形公式，得 F 1302 1502 102 2982 130 150 1665. 1 1如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为 34，设 为坡角，那么 ) 析： 选 B.因 34，所以 45. 2在 A， ) A直角 三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 解析： 选 2 A)2 A， 2 AB，A 3如图，若 B 2，内切圆的半径为 r，则 ) A. 2 B 1 C. 22 D. 2 1 解析： 选 D. r a b a 1， 4 (a b)22 ， (a b)2 8. a b 2 2， r 2 4一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是每小时 ( ) A 5 海里 B 5 3海里 C 10 海里 D 10 3海里 2 解析：选 题意有0， 5，所以 5 ，从而A=10，在直角三角形 ，得 ，0(海里 /小时 ) 5如图，当甲船位于 其正东方向相距 20海里的 船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 船立即朝北偏东 角的方向沿直线前往 B 处救援 ，则 ) A. 217 B. 22 C. 32 14 解析： 选 ， 20， 10， 120，由余弦定理有 2 202 102 2 20 10 700， 10 7，再由正弦定理得 20 0 7 217 ， 2 77 . 所以 0 12 2 77 32 217 5 714 . 午 10 时到达灯塔 5、距塔68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为 ( ) 2 海里 /时 B 34 6海里 /时 3 2 海里 /时 D 34 2海里 /时 解析： 选 题意知 5 45 120， 45. 在 正弦定理，得 683222 34 6. 又由 所用时间为 14 10 4(小时 )， 船的航行速度 v 34 64 172 6(海里 /时 ) 7如图， 交于点 O， 外接圆的直径为 1，则 _ 解析： 在 正弦定理得 ， 正弦定理得 2R 2. 答案： 2 8如图，在四边形 ，已知10， 14， 60， 135，则 _ 解析： 在 x，则 2D 142 102 210x整理得 10x 96 0，解之得 16， 6(舍去 ) 在 正弦定理： 16 8 2. 答案： 8 2 9一船以每小时 15 速度向东航行，船在 A 处看到一灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到达 B 4 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_解析： 如图，依题意有 15 4 60， 30， 45， 在 由正弦定理得 60 解得 30 2( 答案： 30 2 10 (2009 年高考山东卷 )已知函数 f(x) 2a，所以 B 4或 B 34 . 当 B
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