2011高考数学一轮课件 优化方案新人教A版(理科) 第四章 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(打包三套)
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第 6课时 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用 基础知识梳理 1简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解析式 振幅 周期 频率 相位 初相 y x ) (A0， 0)， x 0， ) A T 2 f 1T 2 x 基础知识梳理 y x )一个周期内的简图 用五点法画 y x )一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示 . 基础知识梳理 x 0 2 x y x ) 0 A 0 A 0 2 32 2 32 2 在上表的三行中，找五个点时，首先确定哪一行的数据？ 基础知识梳理 【思考 提示】 第一行，即先使 x 0 ，2， ，32， 2 ，然后求出对应的 x 的值 3函数 y y x )的图象的步骤 基础知识梳理 三基能力强化 1 函数 y 3 s i n (12x 3) 的周期 ， 振幅依次是 ( ) A 4 ， 3 B 4 ， 3 C ， 3 D ， 3 答案： A 三基能力强化 答案： D 2 ( 教材习题改编 ) 把函数 y 2 x6) 的图象向左平移6个单位，所得图象的函数解析式为 ( ) A y 2 x 3) B y 2 x 6) C y x D y co s2 x 三基能力强化 3 ( 2 0 0 9 年高考山东卷改编 ) 将函数 y s i n 2 x 的图象向右平移4个单位 ， 再向上平移 1 个单位 ， 所得图象的函数解析式是( ) A y c o s 2 x B y 2 c o C y 1 s i n ( 2 x 4) D y 2 s i 答案： D 三基能力强化 4若函数 f(x) x )的图象关于 值是 _ 答案： k 2 ( k Z ) 5 (2009年高考江苏卷 )函数 y x)(A、 、 为常数，A0， 0)在闭区间 ， 0上的图象如图所示，则 _. 答案： 3 三基能力强化 课堂互动讲练 考点一 作已知函数的图象 用 “ 五点法 ” 作正 、 余弦函数的图象要抓住四点 ： ( 1 ) 化为正弦型 y A s i n ( x ) 或余弦型 y A c o s ( x ) ； ( 2 ) 周期T 2| |； ( 3 ) 振幅 A ( A 0) 最大值 A 和最小值 A ； ( 4 ) 列出一个周期的五个特殊点 课堂互动讲练 例 1 已知函数 y s i 3 c o x R . ( 1 ) 作出函数的简图 ； ( 2 ) 写出函数的振幅 、 周期 、 初相 、 最值 课堂互动讲练 【思路点拨】 转化为一个角的三角函数 列表 描点 连线 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) y s i 3 c o 2(12s i 2c o 2 s i n (3) 列表： 课堂互动讲练 x 23 3437310330 2 32 2 y 0 2 0 2 0 描点画图，如图 课堂互动讲练 把 23，103 之间的图象向左 ， 右扩展 ， 即可得到它的简图 ( 2 ) 振幅为 2 ， 周期为 4 ， 初相是3， 最大值为 2 ， 最小值为 2. (1)平移变换 沿 “左加右减 ”法则； 沿 “上加下减 ”法则 课堂互动讲练 考点二 三角函数的图象变换 (2)伸缩变换 课堂互动讲练 沿 x 轴伸缩时 ， 横坐标 x 伸长( 0 1 ) 为原来的1倍 ( 纵坐标 y 不变 ) ； 沿 y 轴伸缩时 ， 纵坐标 y 伸长 ( A 1 )或缩短 ( 0 0 ，| |2)的图象的一部分如图所示 ： (1)求 f(x)的表达式； (2)试写出 f(x)的对称轴方程 课堂互动讲练 【思路点拨】 ( 1 ) 函数的最大值为 3 ，最小值为 1 ，周期 T ，从而 A ， b ， 可求，再代入 (6， 3) ，可求 值 (2)根据 y 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 由图象可知，函数的最大值 M 3 ，最小值 m 1 ， 则 A 3 ( 1 )2 2 ， b 3 12 1 ， 又 T 2(23 6) ， 2T22 ， f ( x ) 2 s i n ( 2 x ) 1 ， 将 x 6， y 3 代入上式，得 s i n (3 ) 1 ， 课堂互动讲练 3 2 2 k ， k Z ， 即 6 2 k ， k Z ， 6， f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1. ( 2 ) 由 2 x 62 k ( k Z ) 得 x 612k ， k Z ， 课堂互动讲练 f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1 的对称轴方程为 x 612k ， k Z . 【名师点评】 在确定 值时，也可用五点法确定，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的第一零点 ( ， 0) 作为突破口 具体如下： 课堂互动讲练 “ 第一点 ” ( 即图象上升时与 x 轴的交点 ) 为 x 0 ； “ 第二点 ” ( 即图象的“ 峰点 ” ) 为 x 2； “ 第三点 ” ( 即图象下降时与 x 轴的交点 ) 为 x ；“ 第四点 ” ( 即图象的 “ 谷点 ” ) 为 x 32； “ 第五点 ” 为 x 2 . 例 3已知不变，求 f(x)的对称中心 课堂互动讲练 互动探究 解： 由例题可知 f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1. 令 2 x 6 k ，得 x 12k Z ) ， f ( x ) 2 s i n ( 2 x 6) 1 的对称中心为 ( 1212k ， 1) ， k Z . 将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点： (1)审题：把问题提供的 “条件 ”逐条地 “翻译 ”成 “数学语言 ”； (2)描点画图，建立数学模型； (3)求出三角函数解析式； (4)利用函数的性质进行解题 课堂互动讲练 考点四 三角函数模型的应用 课堂互动讲练 例 4 (解题示范 )(本题满分 12分 ) 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离 为 0.8 m,60秒转动一圈，图中 时针转动 角到 h. (1)求 间的函数关系式； (2)设从 过 B，求 h与 求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 课堂互动讲练 【 思路点拨 】 (1)以圆心 用三角函数的定义求出点 之间的关系可求 (2)把 用 的函数关系式即可 课堂互动讲练 课堂互动讲练 【解】 ( 1 ) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以 始边， 2， 2 分 课堂互动讲练 故点 B 的坐标为 ( 4 . 8 c o s ( 2) , 4 . 8 s i n ( 2) ， h 5 . 6 4 . 8 s i n ( 2) . 6 分 ( 2 ) 点 A 在圆上转动的角速度是30， 故 t 秒转过的弧度数为30t ， h 5 . 6 4 . 8 s i n (30t 2) ， t 0 ， ). 10 分 课堂互动讲练 到达最高点时， h 1 0 . 4 m. 由 s i n (30t 2) 1 得30t 22， t 30 ， 缆车到达最高点时，用的最少 时间为 30 秒 . 12 分 【 规律小结 】 在解答过程中易出现求得 错误，导致错误的原因是没有理解三角函数的定义 课堂互动讲练 (本题满分 12分 )某昆虫种群数量在 1月 1日时低至 700只，而在当年 7月 1日时高达 900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化 (1)求出种群数量关于时间 ； (2)画出种群数量关于时间 高考检阅 课堂互动讲练 解： ( 1 ) 设所求的函数解析式 为 y A s i n ( t ) B ，则 B 700 9002 8 0 0 ， A 1 0 0 ，且 T 12 2， 3 分 6， 图象过点 ( 0 , 7 0 0 ) ， 故有 1 0 0 s i n (6 0 ) 8 0 0 700 ， 6 0 2 k 2 2 k 2，k Z. 5 分 课堂互动讲练 取绝对值最小的，故 2. 所求的函数解析式为 y 1 0 0 s i n (6t 2) 800 1 0 0 c o 800. 8 分 (2)其图象为： 课堂互动讲练 规律方法总结 1 三角函数的对称中心与对称轴方程 ( 1 ) 正弦函数 y s i n x 的对称中心是( k ， 0) ， 对称轴方程是 x k 2， k Z ； ( 2 ) 余弦函数 y c o s x 的对称中心是( k 2， 0) ， 对称轴方程是 x k ， k Z ； ( 3 ) 正切函数 y t a n x 的对称中心是(k 2， 0) ， k Z . 2三角函数的图象变换 在图象变换时，提倡先平移后压缩 (伸展 )，但先压缩 (伸展 )后平移也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 图象变换要看 “变量 ”起多大变化，而不是 “角 ”变化多少例如：函数 y 规律方法总结 规律方法总结 象向右平移6个单位 ， 得到的图象表达式应是 y s i n 2 ( x 6) ， 而不应该是 y s i n ( 2 x 6) ； 再如 ， 将 y s i n ( x 6) 的图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ， 得到的函数图象表达式应是y s i n (6) ， 而不应是 y s i x 6) 随堂即时巩固 点击进入 课时活页训练 点击进入 - 1 - 1 (2008 年高考全国卷 )若动直线 x a 与函数 f(x) g(x) 、 |最大值为 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 解析： 选 B.| | 2a 4) ， |MN|2， 故选 B. 2 (2009年高考湖南卷 )将函数 y (0 0)，在 6. (1)求 f(x)的对称轴方程； (2)求 f(x)的单调递增区间 解： (1)f(x) 32 1232 x 6) 32. 令 2x 6 2，将 x 6代入可得： 1， f(x) x 6) 32， 对称轴方程为 2x 6 2(k Z)， 即 x 126(k Z) (2)由 22 2x 6 22(k Z)可得 单调增区间为 3， 6(k Z) - 1 - 1 (2009 年高考天津卷 )已知函数 f(x) x 4)(x R， 0)的最小正周期为 ，为了得到函数 g(x) 要将 y f(x)的图象 ( ) A向左平移 8个单位长度 B向右平移 8个单位长度 C向左平移 4个单位长度 D向右平移 4个单位长度 解析： 选 ，则 2T 2， f(x) x 4)， g(x) y f(x)的图象向左平移 8个单位长度时， y (x 8) 4 x 2) y x 3)在区间 2， 上的简图是 ( ) - 2 - 解析： 选 A.令 x 0 得 y 3) 32 ，淘汰 B， D.由 f( 3) 0，f(6) 0，淘汰 C，故选 A. 3如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 s t s 6t 6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( ) A 2 s B s C 0.5 s D 1 s 解析： 选 22 1，故选 D. 4 (2009 年高考全国卷 )若将函数 y x 4)(0)的图象向右平移 6个单位长度后，与函数 y x 6)的图象重合，则 的最小值为 ( ) 析： 选 y x 4)的图象向右平移 6后得到 y ( x 6) 4 x 6 4)的图象又因为 y x 6)， 令 4 6 6 12 6 k(k Z)，得 的最小值为 12. 5若函数 y x ) m(A0， 0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为 2，直线 x 3是其图象的一条对称轴 ，则它的解析式是 ( ) A y 4x 6) B y 2x 3) 2 C y 2x 3) 2 D y 2x 6) 2 解析： 选 A m 4 A m 0 A m 2，又22 4，故 f(x) 2x ) 2，而 x 3是函数图象的一条对称轴，故有 f(3) - 3 - 23 ) 2 4 或 0，即 3 ) 1 56 (k Z)，故f(x) 2x 6) 2 或 f(x) 2x 56 ) 2，故只有 D 符合条件 6设函数 f(x) x 3)，则下列结论正确的是 ( ) A f(x)的图象关于直线 x 3对称 B f(x)的图象关于点 (4， 0)对称 C把 f(x)的图象向左平移 12个单位，得到一个偶函数的图象 D f(x)的最小正周期为 ，且在 0， 6上为增函数 解析： 选 ， B 选项检验知命题错； C 平移后解析式为 f(x) (x 12) 3 x 2) 其为偶函数，命题正确； x 0， 6时 2x 3 3， 23 ，此时函数在区间内不单调，故选 C. 7已知函数 f(x) 3)，如果存在实数 得对任意实数 x，都有 f( f(x) f(则 |最小值是 _ 答案： 4 8 (2009 年高考宁夏海南卷 )已知函数 y x )(0， 0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 _ 解析： f(x) 3 32x 6)， 图象向左平移 n(n0)个单位， 得 f(x n) 2x n 6)，则当 n 取得最小值 56 时，函数为偶函数 答案： 56 10 (2009 年高考重庆卷 )设函数 f(x) ( 20)的最小正周期为 23 . (1)求 的值； (2)若函数 y g(x)的图象是由 y f(x)的图象向右平移 2个单位长度得到，求 y g(x)的单调增区间 解： (1)f(x) 21 2 2x 4) 2. 依题意得 22 23 ，故 32. (2)依题意得 g(x) 2(x 2) 4 2 2x 54 ) 2. 由 22 3x 54 22(k Z) 解得 234 x 23712(k Z) - 5 - 故 g(x)的单调增区间为 234， 23712(k Z) 11据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上，按月呈 f(x) x ) B 的模型波动 (x 为月份 )，已知 3 月份达到最高价 8 千元， 7 月份价格最低为
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