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H F E D A CBG F E D A B C F E D A B C F E D A B C 分类讨论 1 已知:在等边ABC 中,点 D、分别为边 AB、BC 、AC 的中点,点 G 为直线 BC 上一动点,当点 G 在 CB 延长线上时,有结论“在直线 EF 上存在一点 H,使得 DGH 是等边三角形”成立(如图 ) ,且当点 G 与点 B、E、C 重合时,该结论也一定成立 问题:当点 G 在直线 BC 的其它位置时,该结论是否仍 然成立?请你在下面的备用图中,画出相应图形并证 明相关结论 解: 图 图 2 2 已知:如图,在梯形 ABCD 中,ADBC,BC=3AD (1)如图,连接 AC,如果三角形 ADC 的面积为 6,求梯形 ABCD 的面积; (2)如图,E 是腰 AB 上一点,连结 CE,设 BCE 和四边形 AECD 的面积分别为 和1S ,S 且 ,求 的值;213SBEA (3)如图,AB=CD,如果 CEAB 于点 E,且 BE=3AE, 求B 的度数 解:(1) (2) (3) 3 3 如图,AOC 在平面直角坐标系中,AOC=90 ,且 O 为坐标原点,点 A、C 分别在 坐标轴上,AO=4,OC=3,将AOC 绕点 C 按逆时针方向旋转,旋转后的三角形记为 CAO (1) 当 CA 边落在 y 轴上(其中旋转角为锐角)时,一条抛物线经过 A、C 两点且与直线 AA 相交于 x 轴下方一点 D,如果 =9,求这条抛物线的解析式;AODS (2) 继续旋转CAO,当以 CA为直径的P 与(1)中抛物线的对称轴相切时,圆心 P 是 否在抛物线上,请说明理由 解:(1) 4 如图,已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧) ,与 y 轴3492xy 交于点 C。 (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求直线 BC 的函数解析式; 4 (3)点 P 是直线 BC 上的动点,若POB 为等腰三角形,请写出此时点 P 的坐标。 (可直 接写出结果) 5.已知点 H(-1,2)在二次函数 y= x2-2x+m 的图象 C1 上. (1)求 m 的值; (2)若抛物线 C2:y = ax2bxc 与抛物线 C1 关于 y 轴对称,且 Q1(-2,q 1) 、Q 2(- 3,q 2)在抛物线 C2 上,则 q1 q2(用“=” 、 “” 、 “” 、 “” 、 “”填空 ) (3)设抛物线 C2 的顶点为 M,抛物线 C1 的顶点为 N,请问在抛物线 C1 或 C2 上是否存在 点 P,使以点 P、M 、N 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,说明理由 6如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 经过点 A(-2,0)和原点 O,cxay32 顶点是 D. (1)求抛物线 的解析式;cxay32 A B O C x y 5 y xO A B (2)在 x 轴的上方的抛物线上有点 M,连接 DM 与线段 OA 交于 N 点,若 =2:1,ODNMS: 求点 M 的坐标; (3)若点 H 是 x 轴上的一点,以 H、A、D 为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一个顶点 F 在 y 轴上,写出 H 点的坐标。 (直接写出答案,不要求计算过程). 7 如图,在直角坐标系中,O 为原点点 A 在 x 轴的正半轴上, 点 B 在 y 轴的正半轴上,tan OAB=2二次函数 的2ymx 图象经过点 A、B,顶点为 D (1)求这个二次函数的解析式; (2)将OAB 绕点 A 顺时针旋转 900 后,点 B 落到点 C 的位置将上述二次函数图象沿 y 轴向上或向下平移后经过点 C请直接写出点 C 的坐标和平移后所得图象的函数解析式; (3)设(2)中平移后所得二次函数图象与 y 轴的交点为 B1, 顶点为 D1点 P 在平移后的二次函数图象上,且满足 PBB1 的面积是PDD 1 面积的 2 倍,求点 P 的坐标 x y A -1 1 -1 1 O 6 8 某服装店老板到厂家选购 A、B 两种品牌的服装,若购进 A 品牌的服装 5 套,B 品牌的 服装 6 套,需要 950 元;若购进 A 品牌的服装 3 套,B 品牌的服装 2 套,需要 450 元. (1) 求 A、B 两种品牌的服装每套进价分别为多少元? (2) 若销售 1 套 A 品牌的服装可获利 30 元,销售 1 套 B 品牌的服装可获利 20 元,根 据市场需求,服装店老板决定,购进 B 品牌服装的数量比购进 A 品牌服装数量的 2 倍还多 4 套,且 B 品牌服装最多可购进 40 套,这样服装全部售出后,可使总的 获利不小于 1200 元,问有几种进货方案?如何进货? 9 如图所示,在平面直角坐标中,四边形 OABC 是等腰梯形,BCOA,OA=7,AB=4, COA=60,点 P 为 x 轴上的个动点,但是点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP, D 点是线 段 AB 上一点,连 PD. (1)求点 B 的坐标; (2)当点 P 运动到什么位置时,OCP 为等腰三角形,求这时点 P 的坐标; (3)当CPD=OAB,且 = ,求这时点 P 的坐标.AD85 7 23 (本小题满分 7 分) 解:(1)在梯形 ABCD 中, ADBC, 又 ADC 与ABC 等高,且 BC=3AD, , ,ADCBS36ADC . 1 分24SB形 (2) 方法 1:连接 AC,如图, 设AEC 的面积为 ,则 ACD 的面积为 S2-S3,3 由(1)和已知可得 1233S;(). 解得:S 1=4S3 14 AEC 与BEC 等高, 4 分AE1B 方法 2:延长 BA、CD 相交于点 F,如图 ADBC,FADFBC, , 91)CD(S2BA 设 =a,则 =9a, =8a,3FADSFD21 8 又 , a, a , =a.213S54116S3 EFC 与CEB 等高, . 87EBF123C 设 FE=7k,则 BE=8k,FB=15k , FA= FB=5k. AE=7k-5k=2k31 . 4 分AEB4 (3)延长 BA、CD 相交于点 M. 如图, ADBC,MADMBC, .31BACD MB=3MA. 设 MA=2x,则 MB=6x . AB=4x. BE=3AE, BE=3x,AE=x. BE=EM=3x,E 为 MB 的中点 . 又 CEAB , CB=MC. 又 MB=MC, MBC 为等边三角形. 图 B=60. 7 分 24 (本小题满分 7 分) 证明:连接 DE、EF、DF. (1)当点 G 在线段 BE 上时,如图, 在 EF 上截取 EH 使 EH=BG D、 E、F 是等边ABC 三边中点, DEF、 DBE 也是等边三角形且 DE= AB=BD.21 在DBG 和 DEH 中,EHBG60M DBG DEH. DG=DH. BDG= EDH. BDE=GDE+ BDG=60, GDH=GDE+EDH=60 在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形. .3 分 (2)当点 G 在射线 EC 上时,如图, 在 EF 上截取 EH 使 EH=BG 由(1)可证DBGDEH. DG=DH,BDG= EDH. BDE=BDG-EDG=60, GDH=EDH-EDG=60. F E C A D B H F E D A CB G H F E D A CB G 9 在直线 EF 上存在点 H 使得DGH 是等边三角形. 6 分 (3)当点 G 在 BC 延长线上时,如图,与(2)同理可证,结论成立. 7 分 综上所述,点 G 在直线 BC 上的任意位置时,该结论成立. .解:(1)在 RtAOC 中,AO=4,OC=3,AC=5. 由旋转可知 . .5AC 2OCA A(-4,0) ,C(0,3) , (0,-2). 可求得直线 的解析式为 .x1y 抛物线与直线 交于点 D,设点 D(x,y) ,9SAOD . 解得 .)y(21 29y 将 代入 ,得 x=5. x1 D(5, ).9 抛物线过 A、C、D 三点, 可求得抛物线的解析式为 3 分3x41y2 (2)由 得对称轴为 .3x41y2 P 与抛物线的对称轴相切,可有两种情况: 情况 1:如图,过点 P 向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点 E,交 y 轴于点 F, 点 P 到对称轴的距离 PE 等于P 的半径, 即 PE= ,PF=2. CF= .2523FC2 FO=CO-CF= . P (2, ) . 3 点 P 的坐标满足 ,3x41y2 点 P 在抛物线上. 6 分 情况 2:如图,过点 P向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点 ,交轴于点 .EF 同理可求得点 .)9,( 点 坐标不满足抛物线 , 3x41y2 此点 P不在抛物线上. 10 (说明:以上答案仅供参考,若有不同解法,只要过程和解法都正确,可相应给分) (本小题满分 7 分) 解:(1)当 y=0 时,得方程 ,解得 x= 1 或 x = 4,-2 分34902x 所以点 A、B 的坐标分别为(1 ,0 ) ,( 4, 0)-4 分 当 x =0 时,y=3,所以点 C 的坐标为 (0, 3)-5 分 (2)设直线 BC 的函数解析式为 y=kx+b -6 分 由(1)可得 ,解得 -2 分bk340 34bk 所以直线 BC 的函数解析式为 y= x + 3-4 分 (3)P 1(2, ) ,P 2( , ) ,P 3( , ) ,P 4( , ) -7 分56151258296 1)点 H( ,2)在抛物线 上,2yxm 2=( ) .(1)m . 1 分m (2)q 1q 2. 2 分 由(1)知,C 1: yx()x .2) C 1 的对称轴为:直线 ,顶点坐标为:(1, ).x2 抛物线 C2: 与 C1: 关于 y 轴对称,2ybc21yx C 2 的解析式为: 2() . 3 分x 又Q 1( ,q1), Q2( ,q2)在抛物线 C2 上,且在对称轴 的左侧,3x q 1q 2. 11 F A B C DE P (3)存在这样的点 P,使以 P,M,N 为顶点的三角形是直角三角形. 由上述可知:M( , ) ,N (1, ).122 当 M 为直角顶点时,点 P 在 C1 上. 当 时, .1xy P( ,2). 4 分 当 N 为直角顶点时, 点 P 在 C2 上. 当 时, .1xy P(1,2). 5 分 当 P 为直角顶点时, P(0, ). 6 分 综上可知:点 P 的坐标为( ,2)或(1,2)或(0, ). 1 .解: (1)作 DF BC,F 为垂足. 当 PC=6 时, 由已知可得,四边形 ABFD 是矩形, FC=6, 点 P 与点 F 重合,又 ,DB 此时点 E 与点 B 重合.-2 分. (2)当点 P 在 BF 上( 即 )时,246x. ,90,90DPEBFB ,即EPtantaDFBPmxy624 .-4 分.)1430(12 当点 P 在 CF 上(即 )时,同理可得 .-5 分.6x )1430(12xmy BC A B C 12 综合以上知: .6014301242 ) ( 其 中( ) ,) ( 其 中( xxmy (3)能找到这样的 P 点.-6 分. 当点 E 与点 A 重合时, ,此时点 P 在线段 BF 上,EB 有 ,)1430(12x 整理得, . 2mx 假设在线段 BC 上能找到两个不同的点 满足条件 ,即方程有两个不相等的正根,21P与 首先要 ,然后应有 0.22(30)4(1)02815mx 由 解得: ,由于 .又 , -7 分.8m80.9 (3)解法二: 能找到这样的 P 点.-6 分. 当点 E 与点 A 重合时, ,90PD 点 P 在以 AD 为直径的圆上,设圆心为 Q,则 Q 为 AD 的中点. 要使在线段 BC 上能找到两个不同的点 满足条件,21P与 只要使线段 BC 与Q 相交,即:圆心 Q 到 BC 的距离 d 满足 ,20AD ,BCAD/.md , -7 分 92180 如图所示,在平面直角坐标中,四边形 OABC 是等腰梯形,BCOA,OA=7,AB=4, COA=60,点 P 为 x 轴上的个动点,但是点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP, D 点是线 段 AB 上一点,连 PD. (1)求点 B 的坐标; (2)当点 P 运动到什么位置时,OCP 为等腰三角形,求这时点 P 的坐标; 13 QP F E D CB A (3)当CPD=OAB,且 = ,求这时点 P 的坐标.ABD85 九解答题(本题满分 8 分) 25设点 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点, 、F 是 BC 边上一点,线段 DE 和 AF 相 交于点 P,点 Q 在线段 DE 上,且 AQ/PC. (1) 证明:PC=2AQ; (2) 当点 F 为 BC 的中点时,试比较 和梯形 APCQ 面积的大小关系,并对你的PC 结论加以证明。 14 x y y x y x H A A A FD AH FD F D O O OH 24.解: (1)由于抛物线 经过点 A 和点 O,所以有cxay32 解出.0,34Ca.0,C 解出抛物线的解析式是 .-2 分.xy32 (2)由抛物线 知其顶点 D 的坐标是( ).x32 3,1 设点 M 的坐标是( ),且 0.0,y 由于 =2:1,即ODNS: 2121DMy 所以 .-3 分.:My: 由于 所以 .,3D3M 将 代入 中,得 ,2Myxy231 所以满足条件的点 M 有两个,即 .-5 分.)2,()(21M (3)满足条件的 H 点有 3 个,它们分别是 .-8 分.01,03HH 15 25解: (1)延长 DE,CB 相交于点 R,作 BM/PC.-1 分. AQ/PC, BM/PC, .AQMB/ .E 是 AB 的中点,D、E、R 三点共线, .BM, .AQ .-3 分 . 同理 .EDRB .C,/PM 相似比是 .,21 .-4 分.AQB2 另解:连结 AC 交 PQ 于点 K,- 1 分. 易证 KE,CD -2 分. .21PAQ/ .-3 分. .21KC ,即 PC=2AQ-4 分.PA (2)作 BN/AF,交 RD 于点 N.-5 分. .RBNF KAB C DE FP Q M R QP F E D CB A 16 是 BC 的中点,RB=BC,F .RB32 .PN 易证 .EA . .-6 分.FB32 因 PFC(视 PC 为底)与梯形 APCQ 的高的比等于 中 PC 边高的比易知即等于PQCF与 PF 与 AP 的比,于是设 PFC 中 PC 边的高 =3k,梯形 APCQ 的高 =2k.再设 AQ=a, 则 PC=2a.1h2h =3ka, = . 12ahSPFC )(梯 形 ASAPCQ22kaa3)(1 因此 .-7 分.梯 形 22 (本题满分 5 分) 解:(1)设 A 种品牌的服装每套进价为 x 元,B 种品牌的服装每套进价为 y 元, 由题意得: 2 分4502396yx 解得 7510yx 答:A、B 两种品牌的服装每套进价分别为 100 元、75 元. 3 分 (2)设 A 种品牌的服装购进 m 套,则 B 种品牌的服装购进( 2m+4)套. 根据题意得: 120)4(20 N R QP F E D CB A 17 解得 16m184 分 m 为正整数,m=16、17、18 2m +4=36、38、40 答:有三种进货方案 A 种品牌的服装购进 16 套,B 种品牌的服装购进 36 套. A 种品牌的服装购进 17 套, B 种品牌的服装购进 38 套. A 种品牌的服装购进 18 套, B 种品牌的服装购进 40 套. 5 分 七、解答题(本题满分 7 分) 23解:(1)作 BQx 轴于 Q. 四边形 OABC 是等腰梯形, BAQ=COA=60 在 RtBQA 中,BA=4, BQ=ABsinBAO=4s

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