2017年4月份学而思杯五年级数学试卷解析

1 绝密启用前 2017年第十一届北京市小学生综合能力测评（学而思杯） 五年级数学试卷 考试时间：90分钟 满分：150分 考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡 上，解答题答写在答题纸 上 第卷（填空题共104分） 考生须知：请将填空题答案填涂在答题卡 上 一、 填空题（共4道小题，每题5分，共20分） 1. 清明节是中国民间最重要的“八节”（上元、清明、立夏、端午、中元、中秋、冬至和除 夕）之一今年清明节是4月4日，那么，8和4的最大公因数是_ 【考点】最大公因数，数论 【难度】 【答案】4 【分析】8和4的最大公因数是4 2. 定义新运算 a b a b a b ，例如 3 2 3 2 3 2 5 那么，6 4 _ 【考点】定义新运算，计算 【难度】 【答案】20 【分析】 6 4 6 4 6 4 10 2 20 3. 下图中有_个三角形 【考点】几何计数，计数 【难度】 【答案】9 【分析】如图，有012、023 4. 薇儿有一些铅笔和钢笔 薇儿有_支铅笔 【考点】差倍问题，应用题 【难度】 【答案】12 【分析】设钢笔有x支，那么铅笔有 3 4 12 支铅笔 二、 填空题（共4道小题 5. 艾迪和薇儿进行一场计算比赛 的 1 2 ；薇儿答对第二题 有_张积分卡 【考点】分数应用题，应用题 【难度】 【答案】60 【分析】积分卡的总量为“1” 对应，原本共有 1 10 60 6 6. 下图是由14块尺寸相同的小正方体拼成的立体图形 提下，至少还需要_ 2 、013、045、056、046、078、089、079共9个三角形 ，其中铅笔的数量是钢笔的3倍，且铅笔比钢笔 3x支列方程：3 8 x x ，解得： x ，每题6分，共24分） ，以积分卡作为奖品艾迪答对第一题， ，奖励积分卡总量的 1 3 最终还剩10张积分卡 ，最终剩下的积分卡对应的分率是 1 1 1 1 2 3 6 张积分卡 在不移动图中已有小正方体的前 个同样大小的小正方体，才能拼成一个完整的实心正方体 4 0 9 87 65 321 多8支那么， 4因此薇儿有 奖励积分卡总量 那么，原本共 ，所以根据量率 3 【考点】正方体体积，几何 【难度】 【答案】13 【分析】一个完整的大正方体共有3 3 3 27 个小正方体，图中共有14个小正方体因此 还需要27 14 13 个小正方体 7. 我们把只由数字0和8组成的非零自然数叫做“球球数”，那么，能被15整除的最小 “球 球数”是 _ 【考点】整除特征与最值，数论 【难度】 【答案】8880 【分析】能被15整除的自然数，即既能被3整除也能被5整除的自然数根据5的整除特 征确定出“球球数”的个位数字一定为0又因为8除以3的余数为2，因此球球数至少需 要3个数字8，才能满足被3整除综上所述，最小的“球球数”是8880 8. 在下面的乘法数字谜中，两个乘数之和是_ 2 0 1 7 7 【考点】数字谜，组合 【难度】 【答案】240 【分析】 2 1 0 6 1 7 7 2 0 5 3 1 0 2 6 1 5 7 1 7 2 0 5 3 5 1 0 2 5 6 1 5 7 1 7 5 因此两个乘数之和是205+35=240 4 三、 填空题（共4道小题，每题7分，共28分） 9. 已知循环小数0. 25 27 N a 那么N=_ 【考点】循环小数，计算 【难度】 【答案】25 【分析】 25 0. 25 999 27 25 37 25 27 999 27 N a N a N a N a 25 4 1 37 25 4 1 37 a N a N ，由于37与25互质，因此 37 4 1a ，得 9a ，带 入得 25 4 9 1 25 37 N 10. 如下图，正方形内接于圆，以正方形边长为直径做两个半圆，已知正方形面积是18平 方厘米，那么图中阴影部分的面积是_平方厘米 【考点】圆与扇形，几何 【难度】 【答案】9 【分析】根据图中由正方形的面积可得 2 2 9 (2 ) 18 2 a a ，根据勾股定理可得 2 2 2 2 2 2 9a a r r a ，那么阴影面积是 2 2 2 1 1 1 2 2 9 4 4 2 r a a 平方厘米 a r r 5 11. 博士在纸上写出一个各位数字互不相同的三位数abc，艾迪在三位数前填上数字a，组 成的四位数aabc恰好是a的倍数；薇儿在三位数前填上数字b，组成的四位数babc恰 好是b的倍数；大宽在三位数前填上数字c，组成的四位数cabc恰好是c的倍数那 么三位数abc的最大值 是_ 【考点】整除特征，数论 【难度】 【答案】936 【分析】由于是求abc的最大值，那么不妨设 9a ，则有9 9 9 9 9bc b c b c 则 9b c ，枚举验证:8不能整除8981，7不能整除7972，6不能整除6963，5不能 整除5954，4不能整除4945，而3能整除3936，且6能整除6936，因此abc的最大 值是936 12. 下图的每个方格中填入1 6 中的一个数字，使得每行、每列和每个粗线宫内数字都不 重复，且每条线上的数都是回文数，例如：121、3443这样对称的数都叫做回文数那 么，四位数 _ABCD 【考点】数独 【难度】 【答案】6314 【分析】 D C B A 215 64 2 6 四、 填空题（共4道小题，每题8分，共32分） 13. 一个各位数字互不相同的五位数，如果万位，千位，百位的数字依次增大；百位，十位， 个位的数字依次减小，我们称这样的数为“宝塔数”那么符合条件的“宝塔数”有 _个 【考点】排列组合，计数 【难度】 【答案】1134 【分析】设这个五位数为abcde，则有a b c ， c d e 分为两类： 情况1：含有数字0，那么数字0一定在个位，共有 4 2 9 3 378 C C 种情况 情况2：不含数字0，那么共有 5 2 9 4 756 C C 种情况 因此共有378 756 1134 个宝塔数 14. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，C、D分别是AB的三等分点甲在 AC段和DB段的速度是3米/秒，在CD段的速度是2米/秒；乙的速度是4米/秒已 知甲乙第一次相遇地点和第二次相遇地点相距760米，那么AB两地的距离是_ 米 【考点】比例行程，行程 【难度】 【答案】1890 【分析】甲在AC段和DB段时，甲乙的速度比为3:4;甲在CD段时，甲乙的速度比1:2根 据时间一定，路程比等于速度比，相同的标号代表相同的时刻，将全程平均分为9等 分，如图： 从甲乙同时出发到时刻：甲走3份，乙走4份；从时刻到时刻：甲 走 2 3 份，乙走 4 3 份；从时刻到时刻：甲走 7 3 份，乙走 14 3 份，时刻甲到距A点1 3 4 1 23 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 21 5 62 DC BA 7 份的位置；从时刻到时刻：甲走3份，乙走4份；从时刻到时刻：甲走 12 7 份， 乙走 16 7 份在整个过程中，第一次相遇是在时刻，第二次相遇是在时刻时刻 与时刻相距 16 2 76 5 3 7 3 21 份，那么全程的距离为 76 760 9 1890 21 米 15. 定义 n M 为1, 2, 3, . , n的最小公倍数，例如： 3 1,2,3 6M ， 4 1,2,3,4 12M ， 8 1,2,3,4,5,6,7,8 840M ，若N是 100 M 的因数个数，那么N有_个奇因数 【考点】因倍质合，数论 【难度】 【答案】12 【分析】 6 4 2 2 100 1,2,3 ,99,100 2 3 5 7 11 13 97 M ，根据因数个数定理有： 21 21 2 6 1 4 1 2 1 2 1 1 1 2 3 5 7 N ，求N的奇因数时，不能含 有质因数2，所以N的奇因数共有 2 1 1 1 1 1 12 个 16. 如图，已知正六边形ABCDEF的面积是18平方厘米，分别以正六边形邻边对角线为边 向外作六个大正六边形，那么阴影部分面积是_平方厘米 乙 甲 DCA B F E D C B A 8 【考点】正多边形，几何 【难度】 【答案】150 【分析】根据图形的对称性，阴影面积可以分成6个部分，每部分的面积相等，因此只需要 算出其中一部分即可如图所进行图形分割，将正六边形ABCDEF平均分成18份， 那么每份的面积为 1 平方厘米则其中一个阴影面积是2 2 7 3 25 平方厘米，因 此总共阴影面积为25 6 150 平方厘米 第卷（解答题共46分） 考生须知：请将解答题解题过程及答案书写在答题纸 上 五、 计算题（共4道小题，每题4分，共16分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1） 1 1 1 666 666 666 2 3 6 （2） 1 1 1 120 1 2 2 3 3 4 【考点】（1）提取公因数，计算（2）分数裂项，计算 【难度】 【答案】（1）666 （2）90 【分析】（1）原式= 1 1 1 666 2 3 6 666 1 666 F E D C B A 1 2 32 3 3 3 3 3 3 1 9 （2）原式= 1 1 1 1 1 1 120 2 2 3 3 4 3 120 4 90 18. 解下列方程或者方程组，写出简要的解方程过程与方程的解： （1） 1 1 2 3 x x （2） 2 5 2 20 x y x y 【考点】方程，计算 【难度】 【答案】（1） 5x ； （2） 6 7 x y 【分析】（1） 1 1 2 3 x x 2 1 3 1 2 2 3 3 5 x x x x x （2） 2 5 2 20 x y x y 由 2 得： 4 2 10 2 20 x y x y 由 + 得： 5 30x 解得 6x 将 6x 带入到式中，解得 7y 综上所述：此方程组的解为 6 7 x y 10 六、 解答题（共2道小题，每题15分，共30分） 19. 如图一所示，梯形ABCD中ABCD且CD=2AB，E为BC边中点，连接AC和BD相 交于O点，连接AE与BD相交于P点 图一 图二 （1）三角形BCD的面积是三角形ABD面积的_倍（3分） （2）请求出AP：PE=_（4分） （3）请求出BP：PO=_（4分） （4）如图二所示，连接DE交AC于Q点，已知三角形DOQ与三角形QEC的面积差为 20，求出四边形OPEQ的面积（请写出简要过程）（4分） 【考点】比例模型，几何 【难度】 【答案】（1）2 （2）1:1 （3）3:1 （4）13 【分析】（1）三角形BCD与三角形ABD等高，因此 : : 2:1 BCD ABD S S CD AB ，那么三角 形BCD的面积是三角形ABD面积的2倍 （2）设梯形ABCD的总面积为1，根据第一问的结论可得 2 1 , 3 3 BCD ABD S S ，又因为E 是BC边的中点，因此 2 1 1 3 2 3 BDE S 根据风筝模 1 1 : : : 1:1 3 3 ABD BDE AP PE S S （3）已知 : 1:1; : 1:1 BE EC AP PE ，在三角形ABC中连接PC，根据燕尾模型，标出 份数，如图，得 : : 3:1 APB APO BP PO S S O P E D C BA Q O P E D C BA E D C B A P 11 （4）根据差不变原理： DOQ QEC DOQ DQC QEC DQC DOC DEC S S S S S S S S ，因此 20 DOC DEC S S 设梯形ABCD的总面积为1，根据梯形中的蝴蝶定理： : : : 1:2:2:4 AOB BOC AOD DOC S S S S ，因此 4 4 1 2 2 4 9 DOC S 另一方面 1 1 2 1 2 2 3 3 DEC DBC S S ，因此梯形ABCD的总面积是 4 1 20 180 9 3 在四边形ADEC 中 2 1 : : : 4:1 3 6 ADC AEC DQ QE S S ，在第（3）问中，可求得 1 1 1 3 12 36 APO S 由于E 是BC的中点，因此 1 2 ADE S ( 一半模型)最终四边形OPEQ的面积= AQE APO S S 1 1 1 180 13 2 1 4 36 20. n是一个自然数，若一串自然数从小到大排成一排： 1 2 3 4 , , , , . , l a a a a a （其中 1 1, l a a n ），满足任意两个相邻的自然数后者是前者的倍数，则称 1 2 3 4 , , , ,a a a a 5 , . , l a a 是n的一条因数链，l是该因数链的长度我们用L(n) 表示n的最长因数 链的长度 ，R(n) 表示n的最长因数链的条数 例如：当 6n 时，有 1,2,6 和 1,3,6 共2条最长因数链，所以有L(6)=3，R(6)=2 当 12n 时，有 1,2,4,12 、 1,2,6,12 和 1,3,6,12 共 3 条最长因数链，所以有 L(12)=4，R(12)=3 根据题意，解下列问题： （1）判断对错(每空1分，共4分)： L(4)=3 （ ） R(4)=2 （ ） L(20)=5 （ ） R(20)=3 （ ） （2）若n=1000，计算： L(n)= _（2分） 2 1 3 3 3 O E C B A P 12 R(n)=