高等数学曲线积分与曲面积分习题课非常有用

一、主要内容 二、典型例题 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 2/28 2/28 （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 3/28 3/28 曲线积分 曲线积分 曲面积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定 义 定 义 计算 计算 定 义 定 义 计算 计算 联系 联系 联系 联系 （一） 曲线积分与曲面积分 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 4/28 4/28 曲线积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定 义 = = n i iii L sfdsyxf 1 0 ),(lim),( + L dyyxQdxyxP ),(),( ),(),(lim 1 0 iii n i iii yQxP += = 联 系 dsQPQdyPdx LL )coscos( +=+ 计 算 + = dtf dsyxf L 22 , ),( 三代一定 )( + = + dtQP QdyPdx L ),(),( 二代一定 (与方向有关) 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 5/28 5/28 与路径无关的四个等价命题 条 件 在单连通开区域 D上 ),(),( yxQyxP 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + L QdyPdxD 与路径无关内在)1( =+ C DCQdyPdx 闭曲线,0)2( QdyPdxduyxUD +=使内存在在 ),()3( x Q y P D = ,)4( 内在 等 价 命 题 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 6/28 6/28 曲面积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定 义 = = n i iiii sfdszyxf 1 0 ),(lim),( xyi n i iii SRdxdyzyxR )(),(lim),( 1 0 = = 联 系 + RdxdyQdzdxPdydz 计 算 一代,二换,三投( 与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) += dSRQP )coscoscos( dszyxf ),( += xy D yx dxdyzzyxzyxf 22 1),(, dxdyzyxR ),( = xy D dxdyyxzyxR ),(, 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 7/28 7/28 定积分 曲线积分 重积分曲面积分 计算 计算 计算 G r e e n 公 式 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 8/28 8/28 点函数)(,)(lim)( 1 0 MfMfdMf n i i = = .)()( , 1 = b a dxxfdMf baR 时上区间当 .),()( , 2 = D dyxfdMf DR 时上区域当 积分概念的联系 定积分 二重积分 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 9/28 9/28 = dVzyxfdMf R ),()( , 3 时上区域当 .),()( , 3 = dszyxfdMf R 时上空间曲线当 .),()( , 3 = S dSzyxfdMf SR 时上曲面当 曲面积分 曲线积分 三重积分 .),()( , 2 = L dsyxfdMf LR 时上平面曲线当 曲线积分 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 10/28 10/28 计算上的联系 )(,),(),( )( )( 2 1 面元素= ddxdyyxfdyxf b a xy xy D )(,),(),( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf b a xy xy yxz yxz = += b aL dsdxyxyxfdsyxf )(,1)(,),( 2 曲线元素 = b aL dxdxxyxfdxyxf )(,)(,),( 投影线元素 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 11/28 11/28 + += xy D yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 22 1),(,),( = xy D dxdyyxzyxfdxdyzyxR ),(,),( 其中 dsRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( += + dsQPQdyPdx L )coscos( +=+ )( 曲面元素ds )( 投影面元素dxdy 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 12/28 12/28 理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系 )()()()()( xfxFaFbFdxxf b a = = 牛顿-莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 )()( 的正向沿 LQdyPdxdxdy y P x Q L D += 格林公式 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 13/28 13/28 3.三重积分与曲面积分的联系 += + + RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( + + += RdzQdyPdx 斯托克斯公式 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 14/28 14/28 = D L dxdykArotsdA )( rr r r = D L dxdyAdivdsnA r r r )( Green公式 ,Guass公式 ,Stokes公式之 间的关系 = dSnArotdSA )( r r = + RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx = dvAdivdsnA r r r )( dv z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz )( + + = + =+ D L dxdy y P x Q QdyPdx )( + =+ D L dxdy y Q x P PdyQdx )( 或 推广 推广 为平面向量场)(MA r 为空间向量场)(MA r 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 15/28 15/28 梯度 k z u j y u i x u gradu rrr + + = 通量 旋度 环流量 z R y Q x P Adiv + + = r += RdxdyQdzdxPdydz k y P x Q j x R z P i z Q y R Arot rrrr )()()( + + = += RdzQdyPdx 散度 （三）场论初步 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 16/28 16/28 例1 计算 += L dyyxdxxyxI )()2( 422 , 其中 L为由点 )0,0(O 到点 )1,1(A 的曲线 xy 2 sin = . 思路 : += L QdyPdxI x Q y P x Q y P = 0 =+= L QdyPdxI += ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭合 非闭 闭合 = D dxdy y P x Q I )( 非闭 补充曲线或用公式 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 17/28 17/28 解 xxyx yy P 2)2( 2 =+ = 知 xyx xx Q 2)( 42 =+ = , x Q y P = 即 += 1 0 4 1 0 2 )1( dyydxx故原式 . 15 23 = x y o 1 1 A += dyyxdxxyxI )()2( 422 由 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 18/28 18/28 例2 计算 += L xx dymyedxmyyeI )cos()sin( , 其中 L为由点 )0,(a 到点 )0,0( 的上半圆周 0, 22 =+ yaxyx . 解 myemyye yy P xx = = cos)sin(Q yemye xx Q xx cos)cos( = = x Q y P 即 (如下图) 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 19/28 19/28 x y o )0,(aA M dxdy y P x Q D AMOA = )( = D dxdym , 8 2 a m = 0)(0 0 += medx x a AO ,0= 0 8 2 = a m . 8 2 a m = = + AMOA AOAOAOL I = AMOA AO I 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 20/28 20/28 曲面面积的计算法 S Dxy ),( yxfz = x y o z = dSS += xy D yx dxdyzz 22 1 dsyxfS BAL = ),( ),( dxyyxf b a += 2 1),( z x o y ),( yxfz = s L A B a b 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 21/28 21/28 曲顶柱体的表面积 + += L D yx dsyxf dffS ),( )11( 22 x z y o ),( yxfz = L D 如图曲顶柱体， 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 22/28 22/28 例3 求柱面 1 3 2 3 2 =+ yx 在球面 1 222 =+ zyx 内 的侧面积. 解 由对称性 = = L L dsyx zdsS 22 1 8 ,1: 3 2 3 2 =+ yxLQ ) 2 0( ,sin ,cos 3 3 = = t ty tx 参数方程为 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 23/28 23/28 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt = + = tdttttS cossin3sincos18 2 0 66 = tdtttt cossincossin324 2 0 22 = = 2 0 22 cossin324 tdtt . 2 33 = 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 24/28 24/28 在第一卦限部分的上侧为平面 为连续函数其中 计算 1 ,),(,),( ),(2),( =+ + += zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxfI 例 x y o z 1 1 1 解 利用两类曲面积分之间的关系 ,1,1,1 = n r Q 的法向量为 . 3 1 cos, 3 1 cos, 3 1 cos = 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 25/28 25/28 dszzyxfdzdxyzyxf dydzxzyxfI ),( 3 1 ),(2 3 1 ),( 3 1 + += += dszyx )( 3 1 = xy D dxdy31 3 1 . 2 1 = 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 26/28 26/28 向量点积法 ,1,),(: yx ffyxfz = 法向量为设 += RdxdyQdzdxPdydzI dxdyffRQP yx 1, = = dsnA 0 r r , = dxdydzdxdydzRQP .1, dxdyffRQPxoy yx 面投影在将 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 27/28 27/28 所截部分的外侧被平面锥面 为其中计算 2,1 , 22 2 =+= += zzyxz dxdyzxdzdxydydzI 例 解 , , 22 22 yx y f yx x f y x + = + = Q D 利用向量点积法 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 28/28 28/28 = 2 1 2 2 0 rdrrd . 2 15 = = dxdyz 2 += xy D dxdyyx )( 22 dxdy yx y yx x zxyI + + = 1, 2222 2 41: 22 + yxD xy 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 29/28 29/28 例6 计算曲面积分 yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 += , 其中 是由曲线 )31( 0 1 = = y x yz 绕 y轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于 2 . 解 22 1 0 1 xzy y x yz += = = 轴旋转面方程为绕 (如下图) 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 30/28 30/28 x y z o 1 3 2 * + = * I且有 dxdydz z R y Q x P )( * + + = + yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18( 2 += 欲求 += dxdydzyyy )4418( = dv + = xz D xz dydxdz 3 1 22 + = 3 1 2 0 2 0 2 dydd 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 31/28 31/28 = 2 0 3 )2(2 d ,2= = * 2 )31(2 dzdx ,32= )32(2 =I故 .34= 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 32/28 32/28 一、 选择题: 1、 设 L为 2 3 0, 0 = yxx ,则 L ds4 的值为( ). (A) 0 4x ， (B) ,6 (C) 0 6x . 2、 设 L为直线 0 yy = 上从点 ),0( 0 yA 到点 ),3( 0 yB 的 有向直线段,则 L dy2 =( ). (A)6; (B) 0 6y ; (C)0. 3、 若 L是上半椭圆 = = ,sin ,cos tby tax 取顺时针方向,则 L xdyydx 的值为( ). (A)0; (B) ab 2 ; (C) ab . 测验题 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 33/28 33/28 4、设 ),(,),( yxQyxP 在单连通区域 D内有一阶连续 偏导数,则在 D内与 + L QdyPdx 路径无关的条件 Dyx y P x Q = ),(, 是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设 为球面 1 222 =+ zyx , 1 为其上半球面,则 ( )式正确. (A) = 1 2 zdszds ; (B) = 1 2 zdxdyzdxdy ; (C) = 1 22 2 dxdyzdxdyz . 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 34/28 34/28 6、若 为 )(2 22 yxz += 在 xoy面上方部分的曲面 , 则 ds等于( ). (A) + r rdrrd 0 2 2 0 41 ;(B) + 2 0 2 2 0 41 rdrrd ; (C) + 2 0 2 2 0 41 rdrrd . 7、若 为球面 2222 Rzyx =+ 的外侧,则 zdxdyyx 22 等于( ). (A) xy D dxdyyxRyx 22222 ; (B) 2 xy D dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 . 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 35/28 35/28 8、曲面积分 dxdyz 2 在数值上等于( ). (A) 向量 iz 2 穿过曲面 的流量； (B) 面密度为 2 z 的曲面 的质量； (C) 向量 kz 2 穿过曲面 的流量 . 9、设 是球面 2222 Rzyx =+ 的外侧, xy D 是 xoy面 上的圆域 222 Ryx + ,下述等式正确的是( ). (A) = xy D dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； (B) +=+ xy D dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ； (C) = xy D dxdyyxRzdxdy 222 2 . 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 36/28 36/28 10、若 是空间区域 的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A) + 外侧 dxdyyzdydzx )2( 2 = + dxdydzx )22( ； (B) + 外侧 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = + dxdydzxx )123( 22 ； (C) + 内侧 dxdyyzdydzx )2( 2 = + dxdydzx )12( . 高等数学十 高等数学 高等数学 十 十 37/28 37/28 二、计算下列各题: 1、求 zds,其中 为曲线 = = = , ,sin ,cos tz tty ttx )0( 0 tt ； 2、求 + L xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其中 L为上 半圆周 222 )( ayax =+ , 0y ,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求 + 222 zyx ds 其中 是界于平面 Hzz