江苏省南京市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题含答案

1 南京清江花苑严老师 高 一 数 学 第一学期期末 调研测试卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1 已知集合 M x|0 x 2， N 1， 0， 1， 2，则 M N 2 计算： lg4 lg52 的值 是 3 函数 f(x) (x 2) 1 2 的定义域 是 4 已知 tan 2，则 tan( 4) 的值 是 5若函数 f(x) cosx |2x a| 为偶函数，则实数 a 的值是 6 已知向量 a (1， 2)， b ( 2， 1) 若向量 a b与向量 ka b 共线，则 实数 k 的值 是 7 已知角 的终边经过点 P(12， 5)， 则 sin( ) cos( ) 的值 是 8 已知 函数 f(x) log2(2 x)， x 1， 2x， x 1， 则 f ( 2) f (log23) 的值是 9 在 ABC 中，若 tanA 1，则角 A 的取值范围是 10 在 平行四边形 ABCD 中 ， AB a， AD b若 |a| 2， |b| 3， a 与 b 的夹角为 3， 则 线段 BD 的长度为 11 已知 (0， 2)，且满足 sin 2 3cos2 sincos 2，则 tan 的值是 12 已知函数 f(x) sin(x 3) ( 0)， 将函数 y f(x) 的图象向左平移 个单位长度后 ， 所得图象 与原函数图象重合 ， 则 的最小值 是 13 如图 ， 已知 函数 f(x)的图象为折线 ACB (含端点 A， B)， 其中 A( 4， 0)， B(4， 0)， C(0， 4)， 则不等式 f(x) log2(x 2) 的解集是 14 若 m 0，且关于 x 的方程 (mx 1)2 m x 在区间 0， 1 上 有且只有一个 实数解 ， 则实数 m 2 南京清江花苑严老师 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在 答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知向量 a (1， 2)， b ( 3， 4) （ 1）求 向量 a b 与 向量 a 夹角的 大小 ； （ 2）若 a (a b)， 求 实数 的值 16 （本小题满分 14 分） 已知函数 f(x) Asin(x ) ( A 0， 0， 0 ) 的图象如图所示 （ 1）求 A， ， 的值； （ 2）若 x 2， 12， 求 f(x)的值域 (第 16 题图 ) y x 6 12 2 O 3 南京清江花苑严老师 17 （本小题满分 14 分） 已知 sin 4 3 7 ， ( 2， 0) （ 1）求 cos(4 )的值； （ 2） 若 sin( ) 3 314 ， (0， 2)，求 的值 18 （本小题满分 16 分） 如图 ， 已知 OPQ 是半径为 1， 圆心角为 3 的扇形 ， 点 A 在弧 PQ 上 (异 于 点 P， Q)， 过点 A 作 AB OP， AC OQ， 垂足分别为 B， C 记 AOB ， 四边形 ACOB 的周长为 l （ 1）求 l 关于 的函数关系式 ； （ 2）当 为何值时， l 有最大值，并求出 l 的 最大值 O P Q A B C （第 18 题图） 4 南京清江花苑严老师 19 （本小题满分 16 分） 如图 ， 在矩形 ABCD 中 ， 点 E 在边 AB 上，且 AE 2 EB M 是线段 CE 上一 动点 （ 1） 若 M 是线段 CE 的中点 ， AM m AB nAD ， 求 m n 的值 ； （ 2） 若 AB 9， CA CE 43，求 (MA 2MB ) MC 的最小值 20 （本小题满分 16 分） 如果函数 f(x)在定义域内存在区间 a， b，使得 该 函数在区间 a， b上的 值域为 a2， b2，则 称函 数 f(x)是该定义域上的 “ 和谐函数 ” 南京清江花苑严老师 （ 1）求证：函数 f(x) log2(x 1)是 “ 和谐函数 ” ； （ 2）若函数 g(x) x2 1 t (x 1)是“和谐函数”，求实数 t 的取值范围 M E D C BA (第 19 题图 ) 5 南京清江花苑严老师 高一数学 参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 0， 1 2 1 3 2， ) 4 3 5 0 6 1 7 713 8 5 9 (4， 2) 10 7 11 3 12 2 13 ( 2， 2) 14 (0， 1 3， ) 注：第 1、 3、 13 题的答案必须是集合或区间形式，第 9、 14 题可以用不等式表示；其它题严格按标 准执行。 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 15（本小题满分 14 分） 解 （ 1） 因为 a (1， 2)， b ( 3， 4)， 所以 a b ( 2， 6)， 所以 |a b| ( 2)2 62 2 10， |a| 5， (a b) a 2 12 10 4 分 记向量 a b与 向量 a的 夹角 为 ， 从而 cos (a b) a|a b| |a| 2 2 6 分 因为 0， ，所以 4， 即 向量 a b与 向量 a的夹角 为 4 8 分 （ 2） 因为 a (a b)，所以 a (a b) 0， 即 a2 a b 0， 所以 5 ( 3 8) 0， 12 分 解得 1 14 分 注：第 (1)问 8 分，计算出数量积 2 分，求两个向量模各 1 分，求夹角余弦 2 分，求出角 2 分，不交 代向量夹角的范围或错误扣 1 分；第 (2)问 6 分，列出关系式 4 分，解出 得 2 分 16 （本小题满分 14 分） 解 （ 1） 设函数 f(x)的最小正周期为 T， 由图象知： A 2， 14T 6 ( 12) 4， 所以周期 T ， 从而 2T 2 4 分 因为 函数 图象过 点 ( 12， 2)，所以 sin( 6 ) 1 6 南京清江花苑严老师 因为 0 ，所以 6 6 56 ， 所以 6 2， 解得 23 因此 A 2， 2， 23 8 分 （ 2） 由 （ 1） 知 f(x) 2sin(2x 23 ) 因为 x 2， 12，所以 3 2x 23 56 ， 10 分 所以 3 2 sin(2x 2 3 ) 1， 从而函数 f(x)的值 域为 3， 2 14 分 注：第 (1)问 8 分，指出 A 得 1 分，求出周期得 2 分，求出 得 1 分，列出求 的关系式 2 分，求 出 得 2 分，；第 (2)问 6 分，指出相位范围得 2 分，求出 sin(2x 23 )的范围得 2 分，求出值域得 2 分 17 （本小题满分 14 分） 解 （ 1）因为 sin 4 3 7 ， ( 2， 0)， 所以 cos 1 sin2 1 4849 17 2 分 从而 cos(4 ) cos4cos sin4sin 2 2 1 7 2 2 ( 4 3 7 ) 2 4 6 14 6 分 （ 2） 因为 ( 2， 0)， (0， 2)， 所以 ( 2， 2) 8 分 因为 sin( ) 3 314 ， 所以 cos( ) 1 sin2( ) 1 ( 3 314 )2 1314 10 分 从而 sin sin( ) sin( )cos cos( ) sin 3 314 17 1314 ( 4 3 7 ) 3 2 12 分 因为 (0， 2)，所以 3 14 分 7 南京清江花苑严老师 法二 :因为 sin( ) 3 314 ， 所以 4 3 7 cos 1 7sin 3 3 14 8 分 从而有 2sin 8 3cos 3 3，又 sin2 cos2 1， 解得 cos 12， sin 3 2 或 cos 23 98， sin 55 98 3(舍去 ) 12 分 因为 (0， 2)，所以 3 14 分 注：第 (1)问 6 分，求出 cos 的值得 2 分 (公式 1 分，结果 1 分 )，求 cos(4 )共 4 分， (公式 2 分， 结果 2 分 )；第 (2)问 8 分，指出 的范围列出关系式 2 分，求出 cos( )得 2 分，求出 sin 得 2 分 (公式 1 分，结果 1 分 )，最后根据 的范围，求 的值 2 分 第 (2)问，用解法二，列出关系式得 2 分，解出两解，每一组解 2 分，若列出方程直接得出 sin 与 cos 之一，并没有消元的过程，最后结果正确，扣 4 分，仅给 4 分。 18（本小题满分 16 分） 解 （ 1） 在直角三角形 OAB 中，因为 OA 1， AOB ， 所以 OB cos， AB sin 2 分 在直角三角形 OAC 中，因为 POQ 3，所以 AOC 3 ， 从而 OC cos(3 )， AC sin(3 ) 4 分 所以 l sin cos sin(3 ) cos(3 )， (0， 3) 7 分 （ 2） 由（ 1）知， l sin cos sin(3 ) cos(3 ) sin cos ( 32 cos 12sin) (12cos 32 sin) 3 1 2 sin 3 3 2 cos ( 3 1)(12sin 3 2 cos) ( 3 1)sin( 3)， (0， 3) 12 分 因为 (0， 3)，所以 3 (3， 23 )， 所以 当且仅当 3 2，即 6 时， l 取得最大值 3 1 答： 当 6 时， l 取得最大值，最大值为 3 1 16 分 注：第 (1)问 7 分，求出 OB， AB， OC， AC各 1 分，写出 l的表达式 2 分，定义域 1 分； 8 南京清江花苑严老师 第 (2)问 9 分，将 l化为 ( 3 1)sin( 3)得 5 分，求出最值 3 分，答 1 分 19 （本小题满分 16 分） 解 （ 1） 因为 M 是线段 CE 的中点 ， AE 2 EB ， 所以 AM AE EM AE 12EC AE 12(AC AE ) 12(AC AE ) 12( AB AD 23AB ) 56 AB 12AD m AB nAD ， 因为 AB 与 AD 不共线， 所以 m 56， n 12，则 m n 43 7 分 （ 2）在 矩形 ABCD 中 ， CA AB AD ， CE CB BE AD 13 AB ， 所以 CA CE ( AB AD )( AD 13 AB ) 13 AB 2 43AB AD AD 2 13 AB 2 AD 2 因为 AB 9， CA CE 43， 所以 13 AB 2 AD 2 13 92 AD 2 43， 解得 |AD | 4， 即 AD BC 4 在 Rt EBC 中 ， EB 3， BC 4， 则 EC 5 11 分 因为 AE 2 EB ， 所以 MA 2MB (ME EA ) 2(ME EB ) 3ME EA 2EB 3ME 13 分 设 ME t， 0 t 5 所以 (MA 2MB )MC 3MEMC 3t(5 t) 3(t2 5t) 3(t 52)2 754 ， 0 t 5 因此当且仅当 t 52 时， (MA 2MB )MC 有最小值 754 ， 从而 (MA 2MB ) MC 的最小值为 754 16 分 解法二 :建立如图直角坐标系，则 A(0， 0)， E(6， 0)， B(9， 0)，设 C(9， m)， m 0 则 CA ( 9， m)， CE ( 3， m)， M E D C BA (第 19 题图 ) 9 南京清江花苑严老师 CA CE 27 m2 43，所以 m 4 3 分 所以 C(9， 4)， 因为 M在线段 CE上， 设 CM CE ， 0 1 M(x， y)，则 CM (x 9， y 4)， CE ( 3， 4)， x 9 3， y 4 4，所以 x 9 3， y 4 4即 M(9 3， 4 4) 5 分 所以 MA (3 9， 4 4)， MB (3， 4 4) MA 2MB (9 9， 12 12)， MC (3， 4)， (MA 2MB )MC 272 27 482 48 75(2 ) 75( 12)2 754 ， 0 1 8 分 所以当且仅当 12时， (MA 2MB )MC 有最小值 754 ， 从而 (MA 2MB ) MC 的最小值为 754 9 分 注：第 (1)问 7 分，将 AM 用 AB 与 AD 线性表示，得 4 分，指出 m， n并求出 m n的值 3 分，不交代 AB 与 AD 不共线，扣 1 分； 第 (2)问 9 分，求出 AD 的长得 3 分，求出 EC的长得 1 分，得出 MA 2MB 3ME 得 2 分， 列出 (MA 2MB ) MC 的函数关系式得 2 分，求出最值得 1 分 用坐标法 (解法二 )，求出 C点坐标 (即求出 m 值 )得 3 分，得出 M点坐标得 2 分， 列出函数关系式得 3 分，求出最值得 1 分 20 （本小题满分 16 分） 解 （ 1） 函数 f(x) log2(x 1)的定义域为 ( 1， )，且在 ( 1， )上单调递增 考察函数 F(x) f(x) x2 log2 (x 1) x2， x ( 1， ) 因为 F(0) log2 1 0 0，取 a 0，则 F(a) 0，即 f(a) a2； 2 分 F(1) log2 2 1 0，取 b 1，则 F(b) 0，即 f(b) b2 4 分 因为 f(x)在 a， b上单调递增， 所以 f(x)在区间 a， b上的值域为 f(a)， f(b)，即为 a2， b2 10 南京清江花苑严老师 所以函数 f(x) log2 (x 1)是 ( 1，