同济大学概率论期末考题及答案

备用数据： , 0228 . 19 ) 9 ( , 7004 . 2 ) 9 ( , 2622 . 2 ) 9 ( 2 975 . 0 2 025 . 0 975 . 0 = = = t . 9878 . 0 ) 25 . 2 ( = 一、填空题(18 分) 1 、 已知随 机事件 B A, 满足 7 . 0 ) ( , 3 . 0 ) ( = = A P B A P ，则 = ) (AB P ， = ) ( B A P . 2 、 设一批 产品中一、 二、 三等品各占 60% 、30% 、10% ， 现 从中随机地取出一件， 结果发现取到的这件不是三 等 品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率 为 . 3 、 设 5 2 1 , X X X 独立且服从相同的分布， ( ) 1 , 0 1 N X . ( ) ( ) 2 5 4 2 3 2 1 X X X X X c Y + + + = .当常 数 c= 时,Y 服 从自由度为 的 F 分布. 二、(12 分) 两台机床加工同样的零件，第一机床加工的零件的不合格品率为 5% ， 第二台机床加工的零件的不合 格品率为 8%. 加工出来的 零件放在一 起, 已知第一 台机床加工 的零件数量 是第二台机 床加工零件 数量的两倍. 现 从两台机床加工的零件中随机地抽取了一个零件. (1) 求抽到的 这个零件是合格品的概率； (2) 若已知抽 到的这个零件是不合格品，求它是由第二台机床加工的概率. 三、(16 分) 设随机变量 ) , ( 2 1 X X 的联合概率函数为 1 X 2 X 0 1 2 0 0.25 0.10 0.30 1 0.15 0.15 0.05 定义随机变量 ) , max( 2 1 X X Z = . 求(1) 1 X 和 2 X 的边缘概率函数； (2) Z 的概率函数； (3) ) , ( 1 Z X 的联合概率函数； (4) ) (Z E ， ) (Z D 和 ) , cov( 1 Z X . 四、(16 分) 设随机变量 (,) XY 的联合密度函数为 ( ) + = 其它 , 0 1 0 , 4 5 ) , ( 2 2 x y y x y x f (1) 分别求 , XY 的边缘密度函数； (2) 试问： , XY 是否相互独立？请说明理由. (3) 求概率 ( ) 1 PX Y +. 五、 (12 分) 假 定某电视节目在上海市的收视率为 20% ， 有调查公 司准备在上海市随机调查 8100 户居 民家庭， 记 X 为被调查的 8100 户居民家 庭中收看该电视节目的户数. (1) 用中心极 限定理求概率 01 . 0 20 . 0 8100 X P 的近似值； (2) 如果调查 完成后发现 8100 户居民家 庭中有 1458 户收看该电视节目，问：你会相信该电视节目在上海市的收 视率为 20% 吗 ？请说明理由. 六 、(14 分)设某种材料的 抗压强度 X 服从正态分布 2 (, ) N ，现对 10 个试验件做 抗压试验， 得到试验数 据 10 2 1 , , , x x x ( 单位：公斤/ 2 m ) ，并由此算出 2124100 , 4600 10 1 2 10 1 = = = = i i i i x x . 分别求 和 的置信水平 0.95 的双侧 置信区间. 七、 (12 分) 设 n X X X 2 1 , 是取自总体 X 的简单随机样本. 总体 X 服从正态分布 2 (, ) N ，其中 2 , 均未知. 记 ) ( 2 X E = . (1) 分别写 出 2 , 的极大似然估计量； (2) 求 的极大似然估计量 ； (3) 问： 的极大似然估计量 是否为 的无偏估计？请说明理由. 备用数据： ( ) ( ) ( ) 22 0.99 0.995 0.995 0.005 0.995 2.326, 99 2.575, 99 66.510, 99 138.987. t = = = = 一、选择题(20 分) 1 、下列结论 哪一个不正确（ ） ( ) A 设 A,B 为任 意两个事件，则 ; ABAB = ( ) B 若 , AB = 则 A,B 同时发生 或 A,B 同时 不发生； ( ) C 若 , AB 且 , BA 则 ; AB = ( ) D 若 , AB 则 A-B 是不可能 事件. 2 、 设 ( ) , XY 的联合概率函数为 X Y 0 1 2 3 0 0.125 0.25 0.125 0 1 0 0.125 0.25 0.125 则（1 ） ( ) 1 3, 0 PY X 等于（ ） ( ) A 5 ; 8 ( ) 1 ; 2 B ( ) 3 ; 4 C ( ) 7 . 8 D （2 ） Z XY = + 的概率函数为 ( ) A Z 0 1 2 3 4 概率 0.125 0.375 0.25 0.125 0.125 ( ) B Z 1 2 3 4 概率 0.375 0.25 0.25 0.125 ( ) C Z 1 2 3 4 概率 0.125 0.25 0.25 0.375 ( ) D Z 0 1 2 3 4 概率 0.125 0.25 0.25 0.25 0.125 3 、 如果 22 , , EY EX 且 X 与Y 满足 ( ) ( ), DX Y DX Y += 则必有 （ ） ( ) A X 与Y 独立； ( ) B X 与Y 不相 关； ( ) ( ) 0 C DY = ； ( ) ( ) ( ) 0. DD X DY = 4 、若 ( ) ( ) 25, 36, D X DY = = X 与 Y 的相关系数 ( ) , 0.4, XY = 则 , XY 的协方差 ( ) , Cov X Y 等于（ ） ( )5; A ( )10; B ( )12; C ( )36. D 二、(12 分) 设 X,Y 为随 机变量，且 ( ) 3 0, 0 , 7 PX Y = ( ) ( ) 4 00 7 P X PY = = 求（1 ） ( ) ( ) min , 0 ; P XY = ，其中为未知参数，0 1. 其它 (1) 求 的极大似然估计 ； (2) 记 1 , = 求参数 的极大似然估计； （3 ）问：在 （2 ）中求得 的 的极大似然估计是否为 的无偏估计？请说明理由。 备用数据： (1.11) 0.8665, (2) 0.9772 = = , . 95 . 0 ) 645 . 1 ( = 22 0.975 0.025 0.975 (8) 2.31, (8) 2.18, (8) 17.50 t = = = 一、填空题( 共 12 分) 1 、 在区间(0,1) 中随机取出两个实数 Y X , ，记 5 , 6 A XYB XY = = = + . 则下列随机 变 量中不服从 2 分布的是 ( ) (A) ( ) + + 2 4 3 2 2 2 3 2 13 1 1 X X X ； (B) ( ) + + 2 4 2 2 1 2 5 6 61 1 1 X X X ； (C) ( ) ( ) + + + 2 4 3 2 2 1 2 3 4 45 1 2 3 13 1 1 X X X X ； (D) ( ) ( ) + + + 2 4 3 2 2 1 2 3 4 25 1 2 5 1 1 X X X X . 三、 (10 分) 在 一个袋中有 15 个相同的乒 乓球， 球上分别写有 1 ，2 ，.,15. 甲, 乙两人 先后从袋中不放回地 取出一个球. (1) 求甲 取到的球上的数字是 3 的倍数的概率； (2) 若已知甲 取到的球上的数字是 3 的倍数, 求乙 取到的球上的数字大于甲取到的球上数字的概率. 四、(12 分) 设随机变量 X 和Y 相互独立且服从相同的分布， X 服从区间0,2上的均匀分布， 记 Z XY = . (1) 求 Z 的密度函数 () fz ； (2) 求 ) (Z E 和 ) (Z D . 五、(16 分) 设随机变量 (,) XY 的联合密度函数为 = 其他 , 0 ; 1 0 , ) , ( 2 x y x k y x f (1) 求常数 k ； (2) 分别求 , XY 的边缘密度函数； (3) 求条件密 度函数 1 ( ), ( ) 4 YX XY f yx f x . 六、 (12 分) 某 汽车销售点每天售出的汽车数服从参数为2 的泊松分布,若一年365 天 这个销售点都经营汽车销售, 且每天出售的汽车数相互独立, 试用 中心极限定理求该汽车销售点一年中售出的汽车数大于 700 辆的概率. 七、 (12 分) 设某种新型塑料的抗压力 X 服从正态分布 2 (, ) N ，现对 9 个试验件做压力试验， 得到试验数据( 单 位：10MPa) ，并由此算出样本均值和样本方差分别为 2 457, 36 xs = = ，分别求 和 的置信水平 0.95 的双侧 置信区间. 八、 (14 分) 某 车间生产了一批产品, 现 要估计这批产品的不合格率 p , 随机抽 取了容量为n 的样本 12 , n XX X , 这里 = 件产品为 合格品。 ，取到的第 件产品为 不合格品； 取到的第 i i X i 0 , 1 (1) 求 p 的极大似然估计量 p ； (2) 问： p 的极大似然估计量 p 是否为 p 的无偏估计量？请说明理由. (3) 若抽查了 这批产品中的 100 件, 发 现其中只有 92 件合格品. 求这批产品的不合格率 p 的极大似然估计值. 备用数据： (0.833) 0.80 = ， (1.645) 0.95 = ， 22 0.95 0.05 0.95 (9) 1.8331, (9) 3.325, (9) 16.919 t = = = . 一、填空题( 共 18 分，每 小题 6 分) 1 、 已知 8 . 0 ) ( , 6 . 0 ) ( , 5 . 0 ) ( = = = A B P B P A P ，则 ( ) AB P = , ( ) B A P = ， () PA B = . 2 、 设随机变量 X 的概率密度为 成立的常数 = a ， X Y ln 2 = 的密度函数为 = ) (y f Y . 3 、 设 12 , n XX X 相互独立且服从相同的分布， = = = = n i i X n X X D X E 1 1 1 1 , 3 ) ( , 1 ) ( ， 则由切比雪夫不等式可 得 ( ) 1 1 X P ， = n i i X n 1 2 1 以概率收敛于 . 二、选择题(12 分) 1 、对于任意 二个随机事件 B A, ，则下列选项中必定成立的是 ( ) (A) 若 = AB ，则事件 A 和事件 B 相互独立 ；(B) 若 0 ) ( = AB P ，则 事件 A 与事件 B 互不相容 ； (C) 若 0 ) ( = A P ，则事件 A 和事件 B 相互独立 ； (D) 若 AB ，则事件 A 和事件 B 不相互独立 . 2 、对于任意 二个随机事件 B A, ，其中 1 ) ( , 0 ) ( A P A P ，则下列选项中必定成立的是( ) (A) ( ) ( ) A B P A B P = 是 B A, 独立的充分必要条件;(B) ( ) ( ) A B P A B P = 是 B A, 独立的充分条件非必要条件； (C) ( ) ( ) A B P A B P = 是 B A, 独立的必要条件非充分条件； (D) ( ) ( ) A B P A B P = 是 B A, 独立的既非充分条件也非必要条件. 3 、设随机变 量 X 的概率密度函数为 = 1 , 1 0 1 , 5 . 0 1 0 , 5 . 0 ) ( 2 2 x x e x e x F x x . 三、(10 分) 在某 外贸公司出口罐头的索赔事件中， 有 50% 是质量 问题引起的， 有 30% 是数 量短缺问题引起的， 有 20% 是包装问 题引起. 又已 知在质量问题引起的索赔事件中经协商解决的占 40% ， 数量 短缺引起的索赔事件中经协 商解决的占 60% ，包装问题引起的索赔事件中经协商解决的占 75%. 现在该公司遇到一出口罐头的索赔事件. (1) 求该索赔 事件经协商解决的概率； (2) 若已知该 索赔事件最终经协商解决，求该索赔事件不是由于质量问题引起的概率. 四、(12 分) 设随机变量 X 的 概率函数为 25 . 0 ) 1 ( ) 1 ( = = = = X P X P ， 5 . 0 ) 0 ( = = X P ，随机变量Y 服从 1 1, 3 B ，且 1 ) 0 ( = = XY P . (1) 求 (,) XY 的联合概率函数； (2) 求 ) (XY E 和 ) , cov( Y X ； (3) 问： Y X , 是否相