上海市静安区2017届高三质量调研（二模）数学试题含答案

上海市静安区 2016学年度第 二 学期 期中教学质量检测 高三数学试卷 试卷共有 20道试题，满分 150分考试时间 120分钟 一、 填空题（ 55分）本大题共有 11 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5分，否则一律得零分 1 已知集合 0 32| 则 _ 2 若 实数 x ， y 满足约束条件,092,0 的最大值等于 _ 3 已知 7)(开式中 3x 的系数为 84，则正实数 a 的值为 . 4 盒中装有形状 、 大小完全相同的 5 个球 ， 其中红色球 3 个 ， 黄色球 2 个 若从中随机取出 2 个球 ， 则所取出的 2 个球颜色不同的概率为 _ 5 设 )( R 上的奇函数 当 0x 时 ， x 22)( (b 为常数 )， 则 )1(f 的值为 _ 6 设 分别为直线（ t 为参数）和曲线 C ：s co 为参数）的点，则 最小值为 7 各项均不为零的数列 n 项和为 对任意 *Nn ， )2,(11 的法向量 若实数 k 的取值范围是 _ 8 已知正四棱锥 的棱长都相等 ， 侧棱 中点分别为 M 、 N ， 则截面 底面 成的二面角的余弦值是 _ 9 设 0a ，若对于任意的 0x ，都有 11 ，则 a 的取值范围是 _ 10 若适合不等式 5342 x 的最大值为 3，则实数 k 的值为 _ 11 已知 11)(，数列 a，对于任意 *Nn 都满足 )(2 nn ，且 01820 ，则20172016 的值为 _ 二 、 选择题（ 20 分） 本大题共有 4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 12 已知 , 则“33lo g lo 是“ 21()21( ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 13 已知复数 z 满足 1i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为 （ ） A i B 1 C 1 D i 14 当 21,0k 时， 方程 1 根的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 15 曲线 C 为：到两定点 )0,2(M 、 )0,2(N 距离乘积为常数 16 的动点 P 的轨迹 以下结论正确的个数为 （ ） （ 1）曲线 C 一定经过原点； （ 2）曲线 C 关于 x 轴对称，但不关于 y 轴对称； （ 3） 的面积不大于 8； （ 4）曲线 C 在一个面积为 60 的矩形范围内 A 0 B 1 C 2 D 3 三、 解答题（本题满分 75分） 本大题共有 5题，解答下列各题必须 在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 16 （本题满分 12分，第 1小题 6分，第 2小题 6分） 如图，等腰 t ， 2 点 C 是 中点， 绕 在的边逆时针旋转一周 （ 1）求 旋转一周所得旋转体的体积 V 和表面积 S ； （ 2）设 时针旋转至 旋转 角为 ，且满足，求 17 （ 本题满分 14分，第 1小题 7分，第 2小题 7分 ） 设函数 s o s)( （ 1）求函数 )(的最大值和最小正周期； （ 2）设 A 、 B 、 C 为 的三个内角，若31B，413 18 （本题满分 15分，第 1小题 6分，第 2小题 9分） 某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为 70 万 元 ，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚 3 万元，以后每月增加 2 万元 如果从 今年一月起 投资500 万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本 据测算， 添加回收净化设备并 投产后的前 5 个 月中的累计生产净收入)(生产时间 n 个月的二次函数 2)( （ k 是常数），且前 3 个月的累计生产净收入可达 309 万，从第 6 个月开 始，每个月的生产 净收入都与 第 5 个月 相同 同时，该厂不但不受处罚，而且还 将 得到环保部门的一次 性奖励 100 万元 （ 1）求 前 8 个 月的累计生产净收入 )8(g 的值； （ 2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入 19 （本题满分 16分 ，第 1小题 7分，第 2小题 9分） 设点 1F 、 2F 是平面上左、右两个不同的定点， 21 ，动点 P 满足： 22121 6)c o | （ 1）求证：动点 P 的轨迹 为椭圆； （ 2）抛物线 C 满足： 顶点在椭圆 的中心； 焦点 与椭圆 的右焦点重合 设抛物线 C 与椭圆 的一个交点为 A 问： 是否存在正实数 m ，使得 21的边长为连续自然数 若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由 20 （本题满分 18分，第 1小题 4分，第 2小题 7分，第 3小题 7分） 已知等差数列 n 项和为91 a ， 2a 为整数，且对任意 *Nn 都有5 （ 1）求 （ 2）设341 b， 为偶数为奇数)2(,1（ *Nn ），求 n 项和 （ 3）在（ 2）的条件下，若数列 N()21()1( *5122 是否存在实数 ，使得数列 若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由 静安 区 2016学年度第 二 学期 期中教学 质量检测 高三数学试卷评分标准与答案 一、 1 3 2 ； 2 12； 3 2； 4 35； 5 3 655； 7 ,01, ； 8 2 55 ； 9 ,42 10 8； 11212 二 、 12 A； 13 C； 14 C； 15 B 三、 16 解： （ 1） 3412231 2 V; 3 分 32223222221 S 3 分 （ 2）如图建立空间直角坐标系，得 x y z 0,0,2A ， 1,0,0C ， 2,0,0B 由三角比定义，得 0,s D 1 分 则， 1,0,2 2,s c o 2 分 02c o 得21， 0,2 )， 2 分 所以，3432 或 1 分 16 解：（ 1）因 为 o s)( 2 2c o o o s 4 分 ， 1 分 所以，函数 )(的最大值为2 31，最小正周期 2 分 （ 2）由4132s 得 2332C ， 3 分 解得，2C （舍去） 2 分 因此，31c 2 分 18 解：（ 1）据题意 30933)3( 2 解得 100k ， 2 分 第 5 个月的净收入为 )5(g 109)4( g 万元， 2 分 所以， 8521093)5()8( 元 2 分 （ 2） ）（），（ 5.)4()5()5()5( 5100)(2即），（），（5201 0951 00)( 2 2 分 要想投资开始见效，必须且只需 22 )1(3701 0 05 0 0)( 04 0 068)( 2 2 分 当 5,4,3,2,1n 时， ,04 0 0681 0 0 22 即 200)16( 成立； 1 分 当 5n 时， ,04 0 068201 0 9 2 420)41( 2 分 验算得， 9n 时， 420)41( 1 分 所以，经过 9 个月 投资开始见效 1 分 19 解：（ 1）若点 21 、 构成三角形则 |2|c ， 2 分 221221222121 6)|2|1(| 2 分 整理得 2221 16|)|(| ，即 )024(4| 21 1 分 若点 21 、 不构成三角形，也满足 )024(4| 21 1 分 所以动点 P 的轨迹为椭圆 1 分 （ 2）动点 P 的轨迹方程为 134 2222 2 分 抛物线的焦点坐标为 )0,(m 与椭圆的右焦点 2F 重合 假设存在实数 m ，使得 21的边长 为连续自然数 因为1 2 1 2| | | | 4 2 | |P F P F m F F ， 不妨设 | 12| 1 )(12|,2| *221 2 分 由抛物线的定义可知 12| 2 ，解得 1 1 分 设点 A 的坐标为 ),1( ， 134 )1()1(422222 2 分 整理得 03227 2 解得 舍）(71m 1 分 所以存在实数 3m ，使得 21的边长为连续自然数 1 分 20 解：（ 1）设 d ，由题意得0065 ,4959 d 2 分 22 1 分 112 na n 1 分 （ 2）当 n 为偶数时， )2(1 1 分 当 n 为奇数时 )3( n ， )()()(154321 1421 222 3241)41(434 12 1 当 1n 时也符合上式