新课程理念下数学问题的变式探究与反思

新课程理念下数学问题的变式探究与反思 数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，新课程的基本理念又倡导积极主动、勇于探 索的学习方式。毋庸置疑，课堂是教学改革的主阵地，课本的探究和例题、习题给我们提供了丰富的素 材，如何用新课程的理念来改造，挖掘教材内容中适合学生探究的素材，研究什么？怎么研究？何时研 究？是摆在我们广大教师面前的一大问题，以下是笔者在执教人教 A 版选修 2-1 第二章圆锥曲线和方 程过程中在讲完椭圆和双曲线以后，针对书本探究材料，进行变式探究和反思的案例。 探究 ：点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是 ，(50),MB49 试求点 的轨迹方程，并由点 的轨迹方程判断轨迹的形状。与 2.2 例 3 比较，你有什么发现？MM （附 2.2 例 3 点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积(),A 是 ，试求点 的轨迹方程）49 这是人教版选修 2-1 中 2.3.1，第 55 页中的一个探究。探究问题的解决很容易， 的轨迹方程为M ，且例三的轨迹方程是 。思考：探究与例 3 的区别 21059xy (x5)21059xy (x5) 在于条件中 与 的区别，所以很自然想到两直线斜率乘积的正负区别即当斜率乘积为正的时候轨迹4 是双曲线方程，当斜率乘积为负且 时轨迹是椭圆方程。但它们应该属于同一种类型的题，我们不1x 妨先来探究其中一种，另一种由类比应该可得。从所求的轨迹方程可以看到两直线斜率的乘积恰好是所 求双曲线中的 ，而 两点恰好是双曲线的左右顶点，想到是否具有一般化呢？于是有如下变式：2ab,AB 变式一：点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是(0)a,AMB ，则点 的轨迹方程是 2baM21xyb x) 类比可得若点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是(0a, ，则点 的轨迹方程是 2ba(0)21xyb (xa) 思考：若斜率乘积为一个普通的常数 呢？则有如下变式(0)k 变式二：点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是a,AMB ，则点 的轨迹方程是(0)kM21xyk (xa) 可以看到变式二高度概括了变式一的两种情形，甚至包括当 时轨迹为圆方程的情形。而且当1k 时，A,B 是否为椭圆的长轴或短轴视 而定。接下去我们考虑点 A,B 在 轴上的情形。 y 变式三：点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是(0)b,AMB ，则点 的轨迹方程是 2baM21yxa 类比可得点 A,B 的坐标分别是 , ，直线 相交与点 ，且它们的斜率之积是(0)b, ，则点 的轨迹方程是 （注：此时 ） 2ba210xya (x)(0,)ab 结论：在轨迹是椭圆方程中，点 A,B 可能是椭圆的长轴也可能是短轴，但在双曲线方程中，点 A,B 就是双曲线实轴的顶点。 思考：如果把以上变式看做是原命题的话。那么它的逆命题是否成立呢？即已知双曲线方程和双曲 线上异于顶点的点，它们的斜率乘积满足什么条件呢？ 变式四：双曲线方程 ，曲线上的顶点为 点，点 为 21xyab (0,)ab(,0)(,)AaB M 异于顶点 A,B 的双曲线上一点，则 .2AMBk 若焦点在 轴上的双曲线得到y 变式五：双曲线方程： 曲线上的顶点为 为异于顶 21yxab (0,)b(0,)(,)AaB M 点 A,B 的双曲线上一点，则 .2AMBk 同样类比可得，椭圆方程 ， 椭圆上顶点 ，点 为异 21xyab(0,)ab(,0)(,)AaB 于顶点 A,B 的椭圆上一点，则 2AMBk 反思一：我们知道，如果，若 A,B 的坐标分别是 , ，点 满足， 则(0)aM1ABMk 的轨迹方程是圆。且过圆心的任何一条直径的两端点与点 的斜率乘积都为 ，那么类似的，双曲M 1 线上除了顶点 以外，还有没有其它过中心两点与 有这种关系呢？同理椭圆上除了长短轴上的顶点,AB 还有没有其它过中心的两点与 也有这种或其它关系呢？于是有如下大胆的猜想： 变式六：设双曲线方程 ， 若弦 A,B 过双曲线的中心 ，点 是双曲线 21xyab (0,)abO 上异于 A,B 的一动点，且 和 存在，试判断 是否为定值？并证明。AMkBAMBk 证明：如图所示设 则 ，00(,),)(,)xyxy0yx0BMykx 3 / 5 = = 又因为点 在双曲线上，所AMBk00yyxx2000(,),)(,)MxyABxy 以 ， 222200(1),(1)bbaa 则 2222 000()()()xxxy ba 所以得到 = 20AMBykx2a 若焦点在 轴上的双曲线得到y 变式七：设双曲线方程 ， 若弦 A,B 过双曲线的中心 ，点 是双曲线上 21yxab (0,)abOM 异于 A,B 的一动点，且 和 存在，AMkB2AMBk 同样类比可得：椭圆方程 ， ，弦 A,B 过椭圆的中心 ，点 椭圆上异与 A,B 21xyab(0,)abO 的一动点，且 和 存在则 = 。AMkBAMBk2 反思二：通过以上探究过程，充分感受到了这道书本探究给我们带来的数学魅力，也深刻体会到通 过反思又给我们带来很有价值的新问题，尝到甜头的我们但总觉得似乎还意犹未尽。似乎还有东西可挖 掘，因为通过变式六和七可以感觉到只要出现变量的平方差形式就可以得到一个定值，而平方差的形式 又马上想到点差法处理中点弦的问题，这又是一种思维上的突破！而中点弦不需要过双曲线的中心，双 曲线上任意两点的 的斜率为 ，要出现平方差形式必须出现 的形式，12(,)(,)AxyB21yx21yx 而这种形式显然是弦 的中点与双曲线的中心连线的斜率，于是不过双曲线的中心得弦也能产生以下 新的结论： 结论 1.、设双曲线方程 ， 弦 不过双曲线的中心，且 存在， 的 21xyab (0,)abABABk 中点为 ， 为坐标原点，则 MO2OMABk 证明：设 ，则12(,)(,)AxyB2121(,)xy 所以 = =OMABk1212yx21x 又因为点 在双曲线上，所以 ，12(,)(,)xy 222211(),()xxybybaa 则 2222111()()()xxyba 所以 2OMABk 结论 2、设椭圆方程椭圆方程 ， ，弦 不过椭圆的中心，且 存在， 21xyab(0,)abABABk 5 / 5 的中点为 ， 为坐标原点，则 ABMO2OMABbka 这两个结论的得出，意味着使用该结论可以处理以前用点差法来处理的中点弦问题现举例说明。 例 1.、 （第 62 页 B 组习题 4）已知双曲线 ，过点 能否作一条直线 ，与双曲线交 21yx(,1)Pl 与 A,B 两点，且点 是线段 的中点。PA 解：假设能作直线 ，由结论 1,则 ,所以 ，所以直线 ：l 2OPABkABkl 联立 得 ，该方程无实数根，所以不存在12(),10yxy即 210xy2x-4+3=0 直线 。l 例 2、 （第 49 页 A 组习题 8）已知椭圆 一组平行直线的斜率是 21,49xy32 （1） 这组直线何时与椭圆相交？ （2） 当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线。 解：（1）略 （3） 因为所有直线的平行线为 ，设中点为动点 则由结论 2 可得 ，则32(,)Mxy394OMk = ，所以所有的中点在直线 （在椭圆内部）OMk32y 一道书本的探究引出了这么多的变式和通过对变式的再反思，又得到两个结论，让我们感觉到书本 的教材值得挖掘，而且大有挖掘的素材，因为这堂课是在椭圆与双曲线都讲完以后进行的，所以其中的 一些书本习题都已经练过，通过