初中几何证明 题(精选多篇)

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 初中几何证明题( 精选多篇) 初中几何证明题 己知 m 是 abc 边 bc 上的中点，,d,e 分别为 ab,ac 上的点，且 dmem。 求证:bd+cede。 1. 延长 em 至 f,使 mf=em,连 bf. bm=cm, bmf= cme, bfmcem, bf=ce， 又 dmem，mf=em, de=df 而 dbf=abc+mbf= abc+acb -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 bd+bfdf， bd+cede 。 2. 己知 m 是abc 边 bc 上的中点， ,d,e 分别为 ab,ac 上的点，且 dmem 。 求证:bd+cede 如图 过点 c 作 ab 的平行线，交 dm 的 延长线于点 f;连接 ef 因为 cf/ab 所以，b=fcm 已知 m 为 bc 中点，所以 bm=cm 又，bmd=cmf 所以，bmdcmf 所以，bd=cf 那么， bd+ce=cf+ce 且，dm=fm 而，emdm 所以，em 为线段 df 的中垂线 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 所以，de=ef 在 cef 中，很明显有 ce+cfef 所以，bd+cede 当点 d 与点 b 重合，或者点 e 与 点 c 重合时，仍然采用上述方法，可以 得到 bd+ce=de 综上就有：bd+cede。 3. 证明因为dme=90，bmd 截取 bf=bc/2=bm=cm。连结 df,ef。 易证bmdfmd，cme fme 所以 bd=df，ce=ef。 在 dfe 中，df+efde，即 bd+cede。 当 f 点落在 de 时取等号。 另证 延长 em 到 f 使 mf=me，连结 df，bf。 mb=mc ，bmf=cme ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 mbf mce，bf=ce，df=de ， 在三角形 bdf 中，bd+bfdf， 即 bd+cede。 分析已知、求证与图形，探索证 明的思路。 对于证明题，有三种思考方式： 正向思维。对于一般简单的题目， 我们正向思考，轻而易举可以做出，这 里就不详细讲述了。 逆向思维。顾名思义，就是从相 反的方向思考问题。运用逆向思维解题， 能使学生从不同角度，不同方向思考问 题，探索解题方法，从而拓宽学生的解 题思路。这种方法是推荐学生一定要掌 握的。在初中数学中，逆向思维是非常 重要的思维方式，在证明题中体现的更 加明显，数学这门学科知识点很少，关 键是怎样运用，对于初中几何证明题， 最好用的方法就是用逆向思维法。如果 你已经上初三了，几何学的不好，做题 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 没有思路，那你一定要注意了：从现在 开始，总结做题方法。同学们认真读完 一道题的题干后，不知道从何入手，建 议你从结论出发。例如：可以有这样的 思考过程：要证明某两条边相等，那么 结合图形可以看出，只要证出某两个三 角形相等即可;要证三角形全等，结合所 给的条件，看还缺少什么条件需要证明， 证明这个条件又需要怎样做辅助线，这 样思考下去这样我们就找到了解题 的思路，然后把过程正着写出来就可以 了。这是非常好用的方法，同学们一定 要试一试。 正逆结合。对于从结论很难分析 出思路的题目，同学们可以结合结论和 已知条件认真的分析，初中数学中，一 般所给的已知条件都是解题过程中要用 到的，所以可以从已知条件中寻找思路， 比如给我们三角形某边中点，我们就要 想到是否要连出中位线，或者是否要用 到中点倍长法。给我们梯形，我们就要 想到是否要做高，或平移腰，或平移对 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 角线，或补形等等。正逆结合，战无不 胜。 如图，在三角形 abc 中，bd,ce 是高，fg 分别为 ed,bc 的中点，o 是外 心，求证 ao fg 问题补充： 证明:延长 ao,交圆 o 于 m,连接 bm,则:abm=90,且m=acb. aec=adb=90, eac=dab, 则 aecadb,ae/ad=ac/ab; 又ead=cab, 则 eadcab, 得aed=acb=m. aed+bam= m+ bam=90,得 aode.- 连接 dg,eg.点 g 为 bc 的中点,则 dg=bc/2; 同理可证 :eg=bc/2.故 dg=eg. 又 f 为 de 的中点,则 fgde.- - 所以,aofg. 已知梯形 abcd 中，对角线 ac 与 腰 bc 相等， m 是底边 ab 的中点，l 是 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 边 da 延长线上一点连接 lm 并延长交对 角线 bd 于 n 点 延长 lm 至 e，使 lmme。 ammb，lmme，albe 是 平行四边形， albe，al eb，ln/endn/bn。 延长 cn 交 ab 于 f，令 lc 与 ab 的 交点为 g。 。 ab 是梯形 abcd 的底边， bf cd，cn/fndn/bn。 由 ln/endn/bn，cn/fn dn/bn， 得： ln/endn/bn，lc fe，glmfe b。 由 aleb ，得： lagebf，almbem。 由 almbem，glm feb，得： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 almglmbem feb， algbef ，结合证得的 lagebf，albe ，得： alg bef， agbf。 acbc，cagcbf ，结 合证得的 ag bf，得：acg bcf， aclbcn 。 如图,三角形 abc 中,d,e 分别在 边 ab,ac 上且 bd=ce,f,g 分别为 be,cd 的 中点,直线 fg 交 ab 于 p,交 ac 于 q.求证:ap=aq 取 bc 中点为 h 连接 hf,hg 并分别延长交 ab 于 m 点，交 ac 于 n 点 由于 h，f 均为中点 易得： hmac,hnab hf=ce/2,hg=bd/2 得到： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 bmh=a cnh=a 又：bd=ce 于是得： hf=hg 在 hfg 中即得： hfg= hgf 即：pfm=qgn 于是在pfm 中得： apq=180- bmh- pfm=180- a- qgn 在 qng 中得： aqp=180- cnh-qgn=180- a- qgn 即证得： apq=aqp 在 apq 中易得到： ap=aq abcd 为圆内接凸四边形，取 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 dab，abc， bcd，cda 的内心 o，o，o，o求证：oooo 为矩形 1234 1234 已知锐角三角形 abc 的外接圆 o，过 b,c 作圆的切线交于 e，连结 ae，m 为 bc 的中点。求证角 bam=角 eac。 设点 o 为abc 外接圆圆心，连 接 op； 则 o、e 、m 三点共线，都在线段 bc 的垂直平分线上。 设 am 和圆 o 相交于点 q，连接 oq、ob。 由切割线定理，得：mb2 = qma ； 由射影定理，可得：mb2 = memo ； mqma = memo ， 即 mqmo = me ma ； 又 omq = ame ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 omq ame ， 可得：moq = mae 。 设 om 和圆 o 相交于点 d，连接 ad。 弧 bd = 弧 cd ， bad = cad 。 daq = moq = mae ， dae = mae - daq = mae = daq 。 bae = bad - dae = cad - daq = cam 。 设 ad、 be、cf 是abc 的高线， 则def 称为abc 的垂足三角形，证明 这些高线平分垂足三角形的内角或外角 设交点为 o， oeec，oddc ， 则 cdoe 四点共圆， 由圆周角定理， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 ode=oce 。 cf fc，ad dc， 则 acdf 四点共圆， 由圆周角定理， adf=acf=oce=ode， ad 平分 edf。 其他同理。 平行四边形内有一点 p，满足角 pab=角 pcb，求证：角 pba=角 pda 过 p 作 ph/da，使 ph=ad，连结 ah、bh 四边形 ahpd 是平行四边形 pha=pda，hp/=ad 四边形 abcd 是平行四边形 ad/=bc hp/=bc 四边形 phbc 是平行四边形 phb=pcb -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 又pab=pcb pab=phb a、 h、b、p 四点共圆 pha=pba pba pda 补充： 补充： 把被证共圆的四个点连成共底边 的两个三角形，且两三角形都在这底边 的同侧， 若能证明其顶角相等，从而即可 肯定这四点共圆 已知点 o 为三角型 abc 在平面内 的一点，且向量 oa2+bc2=ob2+ca2=oc2+ab2,，则 o 为三 角型 abc 的 只说左边 2 式子 其他一样 oa2+bc2=ob2+ca2 移项后平方差 公式可得 =化简 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 得 ba=ba 移项并合并得 ba=0 即 ba*2oc=0 所以 ba 和 oc 垂直 同理 ac 垂直 bo bc 垂直 ao 哈哈 啊是垂心 设 h 是abc 的垂心，求证： ah2+bc2=hb2+ac2=hc2+ab2 作 abc 的外接圆及直径 ap连 接 bp高 ad 的延长线交外接圆于 g， 连接 cg 易证 hcb=bcg， 从而hcd gcd 故 ch=gc 又显然有bap=dac ， 从而 gc=bp 从而又有 ch2+ab2=bp2+ab2=ap2=4r2 同理可证 ah2+bc2=bh2+ac2=4r2 学习总结：中考几何题证明思路 总结 几何证明题重点考察的是学生的 逻辑思维能力，能通过严密的”因为” 、 ” -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 所以”逻辑将条件一步步转化为所要证 明的结论。这类题目出法相当灵活，不 像代数计算类题目容易总结出固定题型 的固定解法，而更看重的是对重要模型 的总结、常见思路的总结。所以本文对 中考中最常出现的若干结论做了一个较 为全面的思路总结。 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底 边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被 交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶 点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到 线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边 距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于 第三边的直线分第二边所成的线段相等。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 9.同圆中等弧所对的弦或与圆心 等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的 弦相等。 10.圆外一点引圆的两条切线的切 线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径 分成的两段相等。 11.两前项相等的比例式中的两后 项相等。 12.两圆的内公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线 平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内 错角或平行四边形的对角相等。 5.同角 的余角相等。 6.同圆中，等弦所对的圆 心角相等，圆周角相等，弦切角等于它 所夹的弧对的圆周角。 7.圆外一点引圆的两条切线，圆 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 17 心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 9.圆的内接四边形的外角等于内 对角。10.等于同一角的两个角相等 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同 旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边所得 的线段对应成比例，则这条直线平行于 第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底 边的中线垂直于底边。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 18 2.三角形中一边的中线若等于这 边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角 互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一 条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线 垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等 的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。 五、证明线段的和、差、倍、分 1.作两条线段的和，证明与第三 条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于 第一条线段，证明余下部分等于第二条 线段。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 19 3.延长短线段为其二倍，再证明 它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半 等于短线段。 5.利用一些定理。 六、证明角的和、差、倍、分 1.作两个角的和，证明与第三角 相等。 2.作两个角的差，证明余下部分 等于第三角。 3.利用角平分线的定义。 4.三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和。 七、证明两线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相 等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦 心距小。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 20 6.全量大于它的任何一部分。 八、证明两角不等 1.同一三角形中，大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻 的任一内角。 3.在两个三角形中有两边分别相 等，第三边不等，第三边大的，两边的 夹角也大。 4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、 圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 九、证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比 例。2.利用内外角平分线定理。3.平行 线截线段成比例。4.直角三角形中的比 例中项定理即射影定理。 5.与圆有关的比例定理-相交弦 定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 以上九项是中考几何证明题中最 常出现的内容，只要掌握了对应的方法， 再根据题目中的条件进行合理选择，攻 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 21 克难题不再是梦想！ 证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底 边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被 交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶 点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到 线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边 距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于 第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆中等弧所对的弦或与圆心 等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的 弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的 切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 22 径分成的两段相等。 11.两前项相等的比例式中的两后 项相等。 。 13.等于同一线段的两条线段相等。 证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线 平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角 或平行四边形的对角相等。 5.同角的余角相等。 *6.同圆中，等弦所对的圆心角相 等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的 弧对的圆周角。*7.圆外一点引圆的两条 切线，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内 对角。 10.等于同一角的两个角相等。证 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 23 明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底 边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这 边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角 互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一 条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线 垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等 的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦的直径垂直于 弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 24 2.同位角相等，内错角相等或同 旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边所得 的线段对应成比例，则这条直线平行于 第三边。证明线段的和差倍分 2.在第三条线段上截取一段等于 第一条线段，证明余下部分等于第二条 线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明 它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半 等于短线段。 5.利用一些定理。 证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 25 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边。 4.在两个三角形中有两边分别相 等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 *5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦 心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 证明两角的不等 1.同一三角形中，大边对大角。 2.三角形的外角大于和它不相邻 的任一内角。 3.在两个三角形中有两边分别相 等，第三边不等，第三边大的，两边的 夹角也大。 *4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、 圆心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比 例。 2.利用内外角平分线定理。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 26 3.平行线截线段成比例。 4.直角三角形中的比例中项定理 即射影定理。 *5.与圆有关的比例定理-相交弦 定理、切割线定理及其推论。 6.利用比利式或等积式化得。 例 4. 已知：如图 4 所示， abac，。 a?90?，ae?bf，bd?dc 求证：fded 三. 证明一线段和的问题 例 5. 已知：如图所示在? 中， ?，bac、bca 的角平分线 ad、ce 相 交于 o。 abcb?60 求证：acae cd 例 6. 已知：如图所示，正方形 abcd 中，f 在 dc 上，e 在 bc 上，? 。 eaf45? 求证：efbe df 例 7 如图所示，已知? 为等边三 角形，延长 bc 到 d，延长 ba 到 e，并 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 27 且使 aebd，连结 ce、abc de。 求证：ec ed 浅谈初中几何证明题教学 学习几何对培养学生逻辑思维及 逻辑推理能力有着特殊的作用。对于众 多的几何证明题，帮助学生寻找证题方 法和探求规律，对培养学生的证题推理 能力，往往能够收到较好的效果，这对 学生证明中克服无从下手，胡思乱想， 提高解题的正确性和速度，达到熟练技 巧是有积极作用的。在几何证明题教学 中，我是从以下几方面进行的： 一、培养学生学会划分几何命题 中的“题设”和“结论”。 1、每一个命题都是由题设和结 论两部分组成的，要求学生从命题的结 构特征进行划分，掌握重要的相关联词 句。例：“如果 ?，那么?。 ”“若? ，则?” 等等。用“如果 ”或“若”开始的部分就是 题设。用“那么 ”或“则”开始的部分就是 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 28 结论。有的命题的题设和结论是比较明 显的。例：如果一个三角形有两个角相 等，那么这两个角所对的边相等。但有 的命题，它的题设和结论不十分明显， 对于这样的命题，可要求学生将它改写 成“如果?，那么?”的形式。例如：“对 顶角相等”可改写成： “如果两个角是对 顶角，那么这两个角相等”。 以上对命题的“ 题设 ”和“结论”划 分只是一种形式上的记忆，不能从本质 上解决学生划分命题的“ 题设 ”、 “结论”的 实质问题，例如：“ 等腰三角形两腰上 的高相等”学生会认为这个命题较难划 分题设和结论，认为只有题设部分，没 有结论部分，或者因为找不到“如果? ?，那么?”的词句，或者不会写成“ 如果? ?，那么?”等的形式而无法划分命题的 题设和结论。 2、正确划分命题的“题设” 和“结 论”，必须使学生理解每个数学命题都 是一个完整无缺的句子，是对数学的一 定内容和一定本质属性的判断。而每一 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 29 个命题都是由题设和结论两部分组成的， 是判断一件事情的语句。在一个命题中 被判断的“对象 ”是命题的 “题设”，也就 是“已知”。判断出来的“结果”就是命题 的“结论”，也就是“求证”。总之，正确 划分命题的“ 题设” 和“结论”，就是要分 清什么是命题中被判断的“对象” ，什么 是命题中被判断出来的“ 结果 ”。 在教学中，要在不断的训练中加 深学生对数学命题的理解。 二、培养学生将文字叙述的命题 改写成数学式子，并画出图形。 1、按命题题意画出相应的几何 图形，并标注字母。 2、根据命题的题意结合相应的 几何图形，把命题中每一个确切的数学 概念用它的定义，数学符合或数学式子 表示出来。命题中的题设部分即被判断 的“对象”写在“已知”一项中，结论部分 即判断出来的“ 结果” 写在 “求证”一项中。 例：求证：邻补角的平分线互相 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 30 垂直。 已知：如图aoc+boc=180 oe、of 分别是aoc、boc 的平 分线。 求证：oe of 三、培养学生学会推理证明： 1、几何证明的意义和要求 对于几何命题的证明，就是需要 作出一判断，这个判断不是仅靠观察和 猜想，或反通过实验和测量感性的判断， 而必须是经过一系列的严密的逻辑推理 和论证作出的理性判断。推理论证的过 程要符合客观实际，论证要有充分的根 据，不能凭主观想象。证明中的每一点 推理论证的根据就是命题中给出的题设 和已证事项，定义、公理和定理。换言 之，几何命题的证明，就是要把给出的 结论，用充分的根据，严密的逻辑推理 加以证明。 2、加强分析训练、培养逻辑推 理能力 由于命题的类型各异，要培养学 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 31 生分析与综合的逻辑推理能力，特别要 重视问题的分析，执果索因、进而证明， 这里培养逻辑思维能力的好途径，也是 教学的重点和关键。在证明的过程中要 培养学生：在证明开始时，首先对命题 竹：分析、推理，并在草稿纸上把分析 的过程写出来。初中几何证题常用的分 析方法有： 顺推法：即由条件至目标的定 向思考方法。在探究解题途径时，我们 从已知条件出发进行推理。顺次逐步推 向目标，直到达到目标的思考过程。 如：试证：平行四边形的对角线 互相平分。 已知：abcd，o 是对角线 ac 和 bd 的交点。 求证：ca=oc、ob=od 分析： 证明：四边形 abcd