北航研究生数理统计试题

一、 （6 分，A 班不做）设 x1，x 2，x n 是来自正态总体 的2(,)N 样本，令 ， 12223456()()xTx 试证明 T 服从 t-分布 t（2） 二、 （6 分，B 班不做）统计量 F-F(n,m)分布，证明 。11 (,)FFnm的 （ 01） 的 分 位 点 x是 三、 （8 分）设总体 X 的密度函数为 (1),0(;) xpx其 他 其中 ，是位置参数。x 1，x 2，x n 是来自总体 X 的简单样本， 试求参数 的矩估计和极大似然估计。 四、 （12 分）设总体 X 的密度函数为 ， 1xep(;) 0 ,px，其 它 其中 是未知参数。x 1，x 2，x n 是来自总,0,已 知 ， 体 X 的简单样本。 （1）试求参数 的一致最小方差无偏估计 ； （2） 是否为 的有效估计？证明你的结论。 五、 （6 分，A 班不做）设 x1，x 2，x n 是来自正态总体 的简单样本，y 1，y 2，y n 是来自正态总体 的简21(,)N 2(,)N 单样本，且两样本相互独立，其中 是未知参数，221, 。为检验假设 可令210122:, :H 则上述假设检验问题等价于, 1,2. ,iiizxyn 这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变01:, :,H 换后样本 z1，z 2， zn，在显著性水平 下，试构造检验上述问题 的 t-检验统计量及相应的拒绝域。 六、 （6 分，B 班不做）设 x1，x 2，x n 是来自正态总体 的简单样本， 已知， 未知，试求假设检验问题20(,)N0 的水平为 的 UMPT。21:, :H 1.统计量 Tt（n）分布，则统计量 T2 的 （01）分位点 x （PT2x=）是（ ） A. B. C. D 21()tn12()tn12()tn 21()tn 2.设随机变量 XN(0，1)，YN(0 ，1)，则（ ） A. 服从 t-分布 B.X2+Y2 服从 -分布2Y 2 C. X2 和 Y2 都服从 -分布 D. X2/Y2 服从 F-分布2 4.假设总体 X 服从两点分布，分布率为 PX=x=p x(1-p)1-x，其中 x=0 或 1，p 为未知参数，X1,X2,，Xn 是来自总体的简单样本， 则下面统计量中不是充分统计量的是（ ） A. B. C. D. 1i niX1iniX1iniX1iniXp 1. 设 X1,X2,，Xn 是来自总体 N(0， )的简单样本,则常数2 c=_时统计量 服从 t-分布（ ） ，其自由度为 12miiniimcX1mn _ 2. 设 X1,X2,，Xn 是来自总体 N( ， )的简单样本,其中 已知。22 则在满足 P =1- 的均值 的置信度为 1- 的置信区Xaba 间类 : ,b 常数中区间长度最短的置信区间为(), 3. 设 X1,X2,，Xn 是来自总体 N( ， )的简单样本, 已知，则2 的无偏估计 ， 中较优的是()2 2211()nkSX21(nkSX 4在双因素实验的方差分析中，总方差 的分解中包含误差平方和T ，则 的自由度为（ ） 2.1()pqrEijkijijSxES 三， （12 分）设 X1,X2,，Xn 来自指数分布 的简 10()xef 单样本，试求参数 的极大似然估计 ，它是否是无偏估计？（2） 求样本的 Fisher 信息量；（3）求 的一致最小方差无偏估计;(4) 问 是否是 的有效估计？ 五 （6 分，A 班不做） 设某切割机切割金属棒的长度 X 服从正态分布，正常工作时，切割 每段金属棒的平均长度为 10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正 常，随机抽取 15 段进行测量，得平均样本值 =10.48cm，样本方差x s2=0.056cm2。在显著性水平 =0.05 下，试问该切割机工作是否正 常？（ 0.950.9750.950.9751.64,1.6,(14).631,(4)2.18zzt t ） 六 （6 分，B 班不做）设 XN( ， ), 已知，X1,X2, ，Xn 来2 自 X 的样本，并设 的先验分布为 N( , ), 已知，则可知均2 值 的 Bayes 估计为21nX 试通过此例说明 Bayes 估计的特点。 七 （B