北京大学2006年数学分析

北京大学 2006 年数学分析考研试题 一 确界存在原理是关于实数域完备性的一种描述，试给出一个描述实数域完备性的其它定 理，并证明其与确界存在原理的等价性。 二 设函数 ，求 在 处二阶带 Peano32(,)61fxyxy(,)fxy2,) 余项的 Taylor 展开；问 在 上哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，(,)fR 说明理由。 三 设 ，23(,)5Fxyxy （1）证明方程 在 上确定唯一的隐函数 ；,0(,)()yfx （2）求 的极值点。()fx 四 计算第二型曲面积分 ，其中曲面 是椭球面222xdyzxzdy 外侧。 221xyzabc 五 证明广义积分 收敛，并计算此积分。0sinxd 六 设 是定义在 上， 固定时，对 连续，设 取定，(,)fxy(,),Dabcxy0(,)xab 对于任意 ，极限 收敛。证明：二重极限c0lim()xfyg 对任意 ，极限 在 上一致收敛。00lim(,)(xyfgy,cd0li,)(xfyg,cd 七 若函数 在区间 上有界，给出证明 在 上 和的极限()fx,ab()f,abRiemn 收敛的 Cauchy 准则。1()01liniiif 八 设 是 上一致连续函数列，满足存在常数 ，使得对于任意()nfx,)M 和 ，恒有 ，假定对 中任意区间 都有()nfx,(nfxM(,),ab ，证明：对任意区间 以及 上绝对可积函数lim0bad,cd,cd ，恒有 。()hxlim()0bnafxhd 九 设存在一区间 使得两个 Fourier 级数 和,01(cosin)2naxb 都在 上收敛，并且其和函数在 上连续且相等，01(cosin)2nx,ab,a 问对于任意自然数 ， 是否成立？如成立，请证明；如不成立，加上什,nna 么条件后能保证成立，说明理由。 十 设 在 上内闭 可积，证明：广义积分 绝对可积的充()fx0,)Riem0()fxd 分必要条件是：对于任意满足 的单调递增序列 ，级数0,nxn 绝对收敛。10()nxfd 北京大学 2006 年数学分析考研试题解答 一 、书上有。 二、 解 ，2(,)36fxy ，,f ， ， ， 2(,)6fxy2(,)fxy2(,)3fxy ， ， ，(,)7f(,)1f(,)8f ， ， ， 2(,)12fx(,2)3fxy2(,)2fy2 22,7816()()fyxyoxy 2360fxy 解之得： 或 ， 1274xy 得驻点 ， ，1(,)2(,2) 在 点，7(,)4 ， 21(,)30fAx ， 27,4fBy ， 21(,)0fC ，22315AB 不为极值点，17(,)4 在 点，2, ，2(,)12fAx ，,3fBy ， 2(,)2fC ， ，21(3150AB120A 所以 在 处取得极大值。(,)fxy,) 三 、证明 （1）显然当 时， 满足方程 ，0x5y(0,)Fy 对每一 ， 是关于 的三次多项式，必有实根，存在 ，满足0x(,)Fy ()x ，(,)y 又 ，2,310xyx 于是 关于 是严格单调递增的，所以存在唯一的 ，使得(,)F ()fx ， ，(,)0Fxf()5f 即方程 在 上确定唯一的隐函数 ；(,)0xy()yfx （2）当 时， ，3(,)2xy ， 32() 01Ffxxy 在 内无极值点，()f0,) 当 时， ，x3(,2Fxy ， 32() 01fxy 在 内无极值点，()fx,0) 由 ，lim5xf0li()5xf 可知 在 处达到极大值，所以 的极大值点为 。() ()fx0x 四 、解 由高斯公式，得 。222(2)xdyzxzdyyzd 五、 证明 由 ，1001sinsisinxxxdd 由 Dirichlet 判别法，可知 收敛，显然 收敛，1ix10ix 所以 收敛，0sinxd 对 ，考虑 ，由 Abel 判别法，可知此积分关于 一致收k0sinkxed 0k 敛， 所以 在 上连续。0si()kxFe0, 对 ， ， ，k1000incoskxkxdeydcoskxkxeye 关于 一致收敛，积分可以交换次序，0cosxey, 于是 11000coskx kxddyeyd 2 ，1arctnk 故 。000 sinlim()lit2kkxdF 六、 证明 充分性 设极限 在 上一致收敛，由0li(,)(xfyg,cd 及题设000()(,)(,)(,)(gyfxyffxyfgy 条件知， 在 处连续，由0 ，即得二重极限0(,)(,)()(fxyfxygyg ；00lim(,)(xyfgy 必要性 对每一 ，由 ， ，存在 ，当0,ycd00li(,)(xyfy0y ，(,)xD ， ，0yx0y 有 ，0(,)(fxyg 在上式中，固定 ，让 取极限，则得 ，0x0()g ，0(,)(,) 2fyfyy0yO 显然 覆盖了 ，00,(,)yycd,cd 利用有限覆盖定理，可得，对上述 ，存在 ，当 ，0(,)xyD ，对任意 ，有 ，0x,c(,)(2fxyg 即得 在 上一致收敛。0lim(,)(xfygd 七、 解 对任意 ，存在 ，对任意分割 ，0012.nxxb 任取 ， ，1,ii,2.in 对任意分割 ，任取 ， ，01Nyyb1,jjjy,.N 当 ，max,.ii 时，都有12jjy ，111()()nNiijji jfxfy 八 、证明 任意固定区间 ，任取定 上的可积函数 ，对任意,cd,cd()hx ，存在阶梯函数 ，使得 ，0()gx()dcgxhd 由题设条件可知 ，lim0dncf()()()()d dn ncc cfxhxhxfx ，()()ddnccMgfg 即得 。lim()0dncfxh 九 、 十 证明 必要性 设 绝对可积，则 存在，必有 存在，必有0()fxd0()fxd0lim()Afxd 对于任意满足 的单调递增序列 ， 存在，级0,nxnxn 数 收敛，10()nxf 由 ，得 收敛，即 绝对11()()nnxxfdfd10()nxfd10()nxfd 收敛，必要性得证。 充分性 由题设条件，可知对于任意满足 的单调递增序列 ，级0,nxnx 数 收敛，从而 收敛，要证 收敛，只需证10()nxfd0()fd0()fd 收敛，存在阶梯函数 ，使得10()nf ()hx ，11()2nnfd(0,2.) 在每个区间 上，选取 ，(,1)n011.knnxx 使得 在 上同号，)hx1ii10()niiknxidhd 10()niikxihd1 10 0()()n ni ii ik kx xi ifxfd 110(