北京四中---高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算

高中数学高考综合复习 专题三十九 复数的概率与运算 一、知识网络 二、高考考点 1.虚数单位 的定义与 的方幂的周期性应用； 2.复数的四则运算，特别是除法法则下“实化分母”的运算； 3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件的应用； 4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。 三、知识要点 （一）复数的概念 为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即 ； （2）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。 在这样的规定下 1定义： （1）形如 a+bi(a，bR)的数，叫做复数，通常用字母 z 表示，即：z=a+bi(a，bR) 将复数表示成 a+bi(a，bR)形式，叫做复数的代数形式，其中 a 与 b 分别叫做复数 a+bi 的实部与虚部，全体复数 构成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示。 （2）分类： 对于复数 z=a+bi(a，bR)，当 b=0 时，z=a 是实数；当 b0 时，z=a+bi 叫做虚数；其中当 a =0 时且 b0 时，叫做 纯虚数。 复数 （3）相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。 即如果 a, b ,c d R，那么 a + bi=c+ di a=c, b=d 特例：a + bi =0 a=0,b=0 提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，即如果所给两 个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。 （4）几何意义 注意到复数 z=a + bi (a，b R)与有序实数对（a, b）之间存在的一一对应关系，将复数 z=a + bi (a，bR)用点 Z（a, b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。 认知： 在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z（a, b ） 其中点 Z 是复数 z 的一个几何意义。 实轴上的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数（但要注意：虚数上的长度单位是 1，而不是 ）。 （二）复数的运算 1复数的加法与减法 （1）法则：两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减）， 即：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. （2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何 2复数的乘法与除法 （1）乘法 乘法法则 规定复数的乘法按照如下法则进行： 设 3 即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把 换成-1，并且把实部或虚部分别合并。 运算律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何 （2）除法 除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足 或 操作程序 两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是 1）将两个复数的商写成分式形式； 2）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以“实化分母”； 3）将上述所得结果化简整理。 即 共轭复数 1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 复数 z 的共轭复数记作 ，即若 z=a+bi(a,bR),则 =a-bi. 特例：任一实数的共轭复数为自身： 2）性质： 其一： 设 z=a+bi(a,bR)，则有 （此为除法运算时实数化分母的依据）； 其二： （三）数系的扩充 1数系的扩充过程 反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表 点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充 分展示了数学这一“辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。 （四）复数集 C 中的实系数一元二次方程 （1）求根公式 对于实系数一元二次方程 ， 当判别式 时，方程的求根公式为 ，即 （2）认知 当 时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。 对于 时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一 元二次方程， 失去判别作用，但韦达定理仍然适用。 四、典例剖析 例 1当实数 a 分别取何值时，复数 （1） 分别为实数，虚数，纯虚数，零； （2） 在复平面内的对应点位于第四象限。 解：利用复数的分类与几何意义 5 复数 （显然 ） （1）由（a+1）(a6)=0 得 a=1 或 a=6（此时实部有意义）， 当 a=1 或 a=6 时，z 为实数； 由(a+1)(a6) 0 得 a 1 且 a 6 注意到这里 a 7 当 a 7 且 a 1 且 a 6 时，z 为虚数； 解得 a=4， 当 a=4 时，z 为纯虚数； 解得 a=1， 当 a=1 时，z=0 。 （2）解不等式组 得 ， 时复数 z 的对应点在复平面的第四象限。 点评：必须特别注意所给复数存在的条件，本题中的 a 7。 例 2已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 ，求 x 与 y。 解：注意到 y 是纯虚数，故设 ，则代入已知等式得 整理得 根据两复数相等的充要条件得 ， 由此解得 所求 点评：这里问题的实质是在复数集中解方程，一般是从设出有关复数的代数形式切入，利用两复数相等的充要条件， 将所给问题转化为解实数集上的方程组，进而由此获得原方程的解。 提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得 错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。 例 3已知复数 求 k 的值。 解： ， 由 的表示形式得 k=2 即所求 k=2 点评： (i) 对于两个复数 、 ，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此， 、 能够比较大小 ， 均为实数。 （ii）虚数不能与 0 比较大小，更无正负之分，因此， 对于任意复数 z， 且 R ； 且 R 。 例 4若方程 有实根，求实数 m 的值，并求出此实根。 解：设 为该方程的实根，将其代入方程得 由两复数相等的定义得 ， 消去 m 得 ， 故得 7 当 时得 ，原方程的实根为 ； 当 时得 ，原方程的实根为 。 点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根代入方程利用两复数相等的充要条件 求解。 例 5设复数 ，且 ，求实数 a，b 的值。 解： ， 将 代入 得 ， 即 由两复数相等的定义得 解得 . 所求实数 。 点评： （1）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需要在入手前细细斟酌，果断敲定； （2）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如 等。 例 6设 z 为纯虚数，且满足 ，求 z 解法一： 由题意设 ，则 代入已知条件得 又 ，故得 解法二： 由 z 为纯虚数得 ， 又 ，故得 ，即 。 例 7：已知 ，复数 的虚部减去它的实部的差为 ，求 w2 的值。 解：由 得 . 依题意得 . 又 ,故得 . ， . 例 8：已知复数 z 满足 ，且 z 的对应点在第二象限，求 a 的取值范围。 解：设 ， 。 由 得 对应点在第二象限，故有 9 又由得 由得 ， 即 ， ， 于是由，得 ， 即 再注意到 a0. 于是将，联立解得 z=1+2i. 解法二（利用已知条件设复数）： 注意到 的对应点在第一象限的角平分线上，故设 ， 由 得 ， z=1+2i. 解法三（利用已知条件构造关于 z 的方程）： 注意到 ， 设 则 z 为虚数， 即 ， 关于 z 的一元二次方程有虚根， 利用求根公式解得 ， 又 z+1 的对应点在第一象限的角平分线上， 且 由得 ， 11 解之得 代入得 z=1+2i. 点评：三种解法各有所长，各自从不同侧面开阔学生的视野与思维。 例 10求同时满足下列两个条件的所有复数： （1） ； （2）z 的实部与虚部都是整数。 解：设 ，则 由题意 ， y=0 或 （）当 y=0 时， ， ， 由 得 注意到当 x0 时， ， 此时式无解。 （）当 时，由 得 又这里 x，y 均为整数 x=1， 或 x=3， ， 或 于是综合（）（）得所求复数 z=1+3i，1-3i，3+i，3-i. 例 11 （1）计算 （2）已知 ， ，求 的值。 （3）已知 ，求 的值； （4）已知 ，求 的值。 解： （1）原式= （2）由已知得 ， 原式= 点评： （）认知 i 的方幂的基本性质，有利于化简或求值： 即 i 的方幂具有周期性，且最小正周期为 4。 （）当单值代入目标式比较复杂时，刻意认知目标，先去求某些式子的值，进而整体代入，此为条件求值的基本 方略。 下一例题我们仍运用这一方略求值。 解：（3）由已知得 x+1=2i. 解法一： 两边平方得 即 ， 13 又 u 除以 的商式为 ，而余式为 10， =0+10=10。 解法二： 注意到 x+1=2i，对 u 进行配方得 ， = （4） ， 两边平方得 ， 又用 去除 的商式 ，余式为 2z+1， 点评：认知已知，认知目标，而后从已知式入手去构造目标中某个板块的值，进而整体代入，这种整体思想常常在 求值问题中运用，请同学们注意领悟，实践。 例 12 （1）关于 x 的方程 在复数集中的一个根为-2i，求 a+b 的值。 （2）若一元二次方程 有虚根 ，且 ，试判断 a，b，c 所成数列的特征。 解： （1） 解法一： 将 代入方程得 由于 ，故有 ， 解法二： 注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是 由韦达定理得 ，解得 （2）解：设 则 为方程的另一虚根。 ， 由 得 又由韦达定理得 ， 由得 ， ， 即 a，b，c 成等比数列。 五、高考真题 （一）选择题 1.（2005全国卷 A）复数 =（ ） A. i B. i C. D. 分析：直接法，原式 ，应选 A。 15 2.（2005重庆卷） （ ） A. i B. i C. D. 分析：原式 ，应选 A。 3.（2005山东卷） （ ） A. i B. i C. 1 D. 1 分析：原式 ，应选 D。 4.（2005湖南卷）复数 的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. i 分析： ，应选 B 5.（2005湖北卷） （ ） A. 2-i B. 2+i C. 2-i D. 2+i 分析：原式 （实化分母） ，应选 C. 6.（2005福建卷）复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. 1-i D. 1+i 分析： ， ，应选 B。 7.（2005辽宁卷）复数 ，在复平面内， z 所对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：对 z 施行通分，实化分母得 z=-1+i， 应选 B。 8.（2005浙江卷）在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：先简得 ，故应选 B。 9.（2005全国卷 B）设 a,b,c,dR，若 为实数，则（ ） A. B. C. D. 分析：注意到 i， 由题设得 bc-ad=0，应选 C。 10.（2005天津卷）若复数 ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 6 分析：由题意设 ， 则有 由两复数相等的充要条件得 由此解得 a=-6,m=3，应选 C。 11.（2005江西卷）设复数 ，若 为实数，则 x=（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 17 分析： ， 由 得 x+2=0，即 x=-2，故应选 A。 12.（2005广东卷）若 ，其中 ，则 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 分析：由已知式得 故得 ，应选 D。 （二）填空题 1.（2005北京卷）若 ，且 为纯虚数，则实数 a 的值为