【高等数学】期末考试复习资料知识点复习考点归纳总结.doc

电大考试电大小抄电大复习资料2033【高等数学】期末复习资料 高等数学基础课程教学及考核要求第一部分 教学内容和教学要求一、函数、极限与连续（10学时）（一）教学内容函数：常量与变量，函数的定义函数的表示方法：解析法，图示法、表格法函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量及其性质，两个重要极限连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点，初等函数的连续性重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念（二）教学基本要求1.理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值。 2.了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。3.熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。4.了解复合函数、初等函数的概念。5.会列简单应用问题的函数关系式。6.了解极限的概念，会求左右极限。7.了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质。8.掌握极限的四则运算法则.9.掌握用两个重要极限求一些极限的方法。10.了解函数连续性的定义。11.了解函数间断点的概念。12.知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质。二、一元函数微分学（22学时）（一）教学内容导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，高阶导数微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理的叙述导数应用：函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，最大值、最小值问题重点：导数概念和导数的计算，极值难点：导数的应用（二）教学基本要求1.理解导数与微分概念(微分用 dyydx 定义)，了解导数的几何意义。会求曲线的切线方程。知道可导与连续的关系。2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。3.熟练掌握复合函数的求导法则。4.掌握隐函数的微分法。5.知道一阶微分形式的不变性。6.了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。7.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论。会用拉格朗日定理证明简单的不等式。8.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念。9.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。知道极值点与驻点的区别与联系。10.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点。11.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。三、一元函数积分学（22学时）（一）教学内容不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表积分法：第一换元积分法，分部积分法定积分：定积分的定义及几何意义。定积分的性质，积分中值定理。原函数存在定理，牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元积分法、分部积分法。广义积分。积分的应用：求平面曲线围成图形的面积，旋转体(绕坐标轴旋转)体积重点：积分概念与计算，在几何上的应用难点：积分的计算及其应用（二）教学基本要求1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系。2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法。3.了解定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和定积分的性质。4.了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数。5.熟练掌握牛顿莱布尼兹公式，并熟练地用它计算定积分。6.掌握定积分的换元积分法和分部积分法。7.了解无穷积分收敛性概念，会计算较简单的无穷积分。8.会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。第二部分 课程考核 本课程的考核对象是中央广播电视大学专科开放教育建筑施工与管理、水利水电工程管理等专业的学生。本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的形式。考核成绩由平时作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分及格。其中平时作业成绩占考核成绩的20，期末考试成绩占考核成绩的80。考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次。有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题和应用题，解答题包括计算题和应用题，解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种类型分数的百分比为：单项选择题20，填空题20，解答题60。期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。 第三部分 样卷一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1. 设函数的定义域为，则函数的图形关于（ ）对称。a bx轴 c. y轴 d.坐标原点2. 当时，变量（）是无穷小量 a b c d3. 设，则a b c d4. a b c d 二、填空题（每小题4分，共20分）1. 函数的定义域是（ ）2. 函数的间断点是（ ）3. 曲线在（1，2）处的切线斜率是（ ）4. 函数的单调减少区间是（ ）5. =（ ）三、计算题（每小题11分，共44分）1. 计算极限2. 设，求3. 计算不定积分4. 计算定积分四、应用题（本题16分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 高等数学基础学习指导 第一部 函数、极限与连续第一章 函数1. 理解函数的概念，了解分段函数。能熟练地求函数的定义域和函数值 要掌握函数的两要素定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题： （1）掌握求定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式非负，等等。例1：求函数的定义域解：的定义域是，的定义域是，但由于在分母上，因此，而当时，所以。函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，故定义域为且，也可以表示为（2）理解函数的对应关系f的含义：f表示当自变量取值为x时，因变量y的取值为f（x）。例如，对于函数，f表示运算： 于是，例2：设求解：由于中的表达式是x+1，可将等式右端表示为 说明f表示运算： 因此，（3）会判断两函数是否相同从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量所用字母无关。例3：下列函数中，哪两个函数是相等的函数：ab解：a中的两个函数当时对应规则相同，但定义域不同，故它们是不相等的函数；而b中的两个函数定义域相同，对应规则也相同，故它们是相等的函数。（4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法例4：设，求函数定义域及解：函数的定义域是2. 了解函数的基本属性（单调性、奇偶性、周期性和有界性）基本属性中以奇偶性为主，单调性将在导数应用部分讨论。判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1） 若，则为偶函数（2） 若，则为奇函数也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。例5：下列函数中，（ ）是偶函数 a bc d解：根据偶函数的定义以及奇函数奇函数是偶函数的结论，可以验证a中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数，因此a正确。我们所做的选择题都是单选题，既然a正确，那么其他的选项都是错误的。3. 熟练掌握六种基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形在微积分中常要用到，要熟悉基本初等函数的主要特征，例如指数函数和对数函数当时单调递增，时单调递减；正弦函数和余弦函数都是以为周期的有界函数，时奇函数，是偶函数，等等。4. 了解复合函数、初等函数的概念例6：将初等函数分解成基本初等函数的四则运算或复合运算。解：第二章 极限与连续1. 了解极限的概念，会求左右极限 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念。函数在点处有：存在的充分必要条件是与都存在且 2. 掌握极限的四则运算法则。掌握求极限的一些方法求极限的常用方法有（1）利用极限的四则运算法则（2）利用重要极限（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）（4）利用连续函数的定义例1：求下列极限：（1） （2） （3） （4）解：（1）利用重要极限，得 （2）利用第一重要极限和四则运算法则计算 （3）利用第一重要极限和四则运算法则计算 （4）利用因式分解，消去零因子，再利用极限和四则运算法则计算 3. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量得运算性质 无穷小量就是以0为极限得变量。无穷小量得和与乘积都是无穷小量；无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量；无穷小量的倒数是无穷大量。 例2：下列变量中，是无穷小量的为（ ） a b. c d. 解：a：因为时，的极限不存在，所以不是无穷小量 b：因为时，所以是无穷小量 c：因为时，此时，所以不是无穷小量 d：因为当时，当时，所以不是无穷小量4. 了解函数的连续性和间断点的概念 函数在点连续，即等式成立，要会判断某点的连续性，会求函数的间断点。例3：当k（ ）时，在x0处连续。 a. 0 b. e c.2 d.1解：函数在点x0连续，则存在。此时有 而 由此得出ke，而当ke时，所以当ke时，f（x）在x0出连续。正确的选项是b例4：函数得间断点是（ ）解：在点x0处有 而因故不存在。因而f（x）在x0处不连续。而当x0时，由初等函数的性质可知是连续的。综上得出的间断点是x05. 知道初等函数在其有定义的区间内连续的性质初等函数在其定义域内是连续的。 第二部 一元函数微分学第三章 极限与连续1. 理解导数与微分的概念理解导数定义时，要解决下面几个问题：（1）熟记导数定义的极限表达式（2）会求曲线的切线方程（3）知道可导与连续的关系（函数在一点可导则一定连续，函数在一点连续不一定可导）例1：设，则（ ）a.1 b. c.0 d.不存在解：如果单看求极限，很难求出结果。但是若令，则当时，有，联系到，可得故正确的选项是a例2：极限a. 1 b. c. d.不存在解：这个极限的表达式是导数的定义，即有 故正确的选项是b例3：设在处可导，且，则 a.不存在 b. c.0 d.1解：因为已知在处可导，且，将看成，看成。则就是在处的导数，故 故正确选项是b例4：曲线在点处的切线方程是（ ） a. b. c. d. 解：根据导数的几何意义知，是曲线在点处的切线斜率，故切线方程是即故正确的选项是a例5：函数在点处的导数值解：因为，所以2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握求导数方法具体方法有:（1） 利用导数（或微分）的基本公式（2） 利用导数（或微分）的四则运算法则（3） 利用复合函数微分法（4） 利用隐函数求导法则例6：求下列导数或微分（1）设，求（2）设，求（3）设是由方程确定的函数，求（4）设，求解：（1）由导数四则运算法则 （2）设，则有由复合函数求导法则 （3）等式两端同时对x求导，可得 整理得 （4）由导数四则运算法则 3. 了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法例7：已知，则 a. b. c. d. 解：直接利用导数的公式计算:故正确的选项是b例8：已知函数的微分为，则 a.0 b. c.2 d.解：由于函数的微分为，故，于是故正确的选项是c 第四章 导数的应用1. 掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系通常的方法是利用一阶导数的符号判断单调性，也可以利用已知的基本函数的单调性进行判断。例1：在指定区间内，函数y=( )是单调增加的。 a. b. c. d.解：这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。a中正弦函数，它的图形在指定区间内是波浪形的，因此不是单调增加函数。b中是指数函数，故它是单调减少函数c中是幂函数，它在指定区间内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。根据排除法可知正确答案应是d。也可以用求导法验证：因为在指定区间，有 正确的选项是d例2：函数的单调增加区间是（ ）解：用求导的方法，因为令，则，则函数的单调增加区间是例3：函数的驻点是（ ）解：根据驻点的定义，令，得例4：函数得极小值点是（ ）解：因为函数在点处连续但导数不存在，且当或时，。所以点是函数的极小值点2. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。例5：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h，与底半径r满足 圆柱体的体积公式为 将代入得求导得令得，并由此解得，即当底半径为，高时，圆柱体得体积最大。例6：求曲线上的点，使其到点a（3，0）的距离最短。解：曲线上的点到点a（3，0）的距离公式为 与在同一点上取到最大值，为计算方便求的最大值点，将代入得 令求导得 令得。并由此解出，即曲线上的点和点到点a（3，0）的距离最短。例7：欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x，高为h，用料为y，由已知 令，解得是唯一驻点，且说明x6是函数的极小值点，所以当，用料最省第三部 一元函数积分学 第五章 不定积分 1. 理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系这里主要解决下面几个问题：（1） 什么是原函数？ 若函数的导函数是，即，则称函数是的原函数（2）原函数不是唯一的 由于常数的导数是0，所以若是的原函数，则都是的原函数（其中c是任意常数）（3）什么是不定积分？ 原函数的全体（其中c是任意常数）称为的不定积分，记为 （4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系 不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即 例1：在某区间上，如果是的一个原函数，c为任意常数，则下列等式成立的是（ ）a. b. c. d.解：如果是的一个原函数，则都是的原函数，故有即正确的选项是c例2：如果，则 a. b. c. d.解：根据不定积分的性质知 故正确选项是d例3：设是的一个原函数，则 a. b. c. d. 解：因为是的一个原函数，即有 故有 故正确选项是c例4：设的一个原函数是，则 a. b. c. d. 解：因为的一个原函数是，故故正确的选项是b例5：设函数，则（ ）a. b. c. d.解：因为，故，于是 故正确的选项是b例6：已知，则 a. b. c. d.解：对两端求导，得故，正确的选项是c例7：试证明与是同一函数的原函数证明：因为 所以与是同一函数的原函数2. 熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分（2）第一换元积分法（凑微分法）（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分 幂函数与指数相乘 幂函数与对数函数相乘 幂函数与正（余）弦函数相乘例8： a. b. c. d. 解：两种方法，其一是凑微分直接计算：其二是求导计算：四个备选答案中都含有项，对它求导 与被积函数比较可知，是的原函数正确的选项是b例9：计算下列积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）由凑微分法 （2）由凑微分法 （3）由凑微分法 （4）由分部积分法 （5）由分部积分法 （6）由分部积分法 第六章 定积分及其应用1. 了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数 称为被积函数的变上限定积分，若将其记为，则当连续时，可导，即 上式也被称为原函数存在定理。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：若是奇函数，则有若是偶函数，则有例1：若是的一个原函数，则下列等式成立的是（ ） a. b. c. d. 解：由牛顿莱布尼兹公式可知，正确的选项是b例2：已知，那么常数 a. b. c. d. 解：因为故，即正确的选项是a例3： a. b. c. d. 解：根据变上限定积分的性质可