圆的方程 任意角的三角函数

圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程 （1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；22rbyaxba, （2）一般方程 0FED 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为042FED2,EDFED4212 当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图042F 形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方 程， 需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线 ，圆 ，圆心 到 l 的距离0:CByAxl 22:rbyaxbaC, 为 ，则有 ； ；2bad相 离与lrd相 切与ld相 交与lr （2）过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到 该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a) 2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x 0， y0)，则过此点的切线方程 为(x 0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆 ，2121:byaxC222: RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线四条；rRd 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 时，两圆内含； 当 时，为同心圆。r0d 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、任意角的三角函数 1设 是一个任意角，它的始边与 x 轴的非负半轴重合，顶点在原点，终边与单位圆 的交点为 P(x，y) (1)y 叫做 的正弦，记作 sin_，即 sin_y； (2)x 叫做 的余弦，记作 cos_，即 cos_x； (3) 叫做 的正切，记作 tan_，即 tan (x0) yx yx 2三角函数的定义域如表所示： 三角函数 定义域 sin R cos R tan | k，kZ 2 3.三角函数的值在各象限的符号如图所示 4终边相同的角的同一三角函数的值相等，即 sin(k2)sin_ cos(k2) cos _ tan(k2)tan_ (其中 kZ) 5已知角 的终边位置，角 的三条三角函数线如图所示sin MP，cos OM ，tan AT. 6熟记各特殊角的三个三角函数值 角度 0 30 45 60 90 180 270 360 弧度 0 6 4 3 2 32 2 sin 0 12 22 32 1 0 1 0 cos 1 32 22 12 0 1 0 1 tan 0 33 1 3 不存在 0 不存在 0 知识要点一：对三角函数定义的理解 1三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制) 到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对 应三角函数的自变量是角 ，比值是角 的函数 2三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无 关，只由角 的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关 知识要点二：三角函数值在各象限内的符号 1三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内点的坐标的符号得出的 2对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切， 四余弦” 知识要点三：诱导公式一的理解及其应用 1公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等 2公式一的结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为 k2，右边 的角为 . 3公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求 02(或 0360)角的三角函 数值 知识要点四：三角函数线 1三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角 函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、 正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向 右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观， 为从几何途径解决问题提供了方便 2三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以 后学习三角函数的图象与性质的基础 二、同角三角函数的基本关系 7同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2cos 21； 商数关系式：tan . sin cos 8商数关系 tan 成立的角 的范围是|k ，kZ sin cos 2 知识要点一：公式的推导 1设 P(x，y)是角 的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义： xcos ，ysin ， tan ，及单位圆上的点到原点的距离为 1，可知 x2y 21，即 cos2sin 21，且 yx tan . yx sin cos 2由任意角的三角函数的定义也可求得 设 P(x，y)为角 终边上的任一点，|OP| r. 则 sin ，cos ，tan . yr xr yx 易知 sin2cos 2 1，tan . x2 y2r2 yx sin cos 知识要点二：公式应用时注意的问题 1公式成立的条件 sin2cos 21 对一切 R 均成立，tan 仅在 k (kZ) 时成立 sin cos 2 2同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精 髓在“同角”二字上，如 sin22cos 221， tan 8 等都成立，理由是式子中的角 sin 8cos 8 为“同角” 3使用平方关系 sin ，1 cos2 cos ， “”由角 所在象限来确定1 sin2 4对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用 如：sin 21cos 2，cos 21sin 2，1sin 2cos 2， sin tan cos ，cos ， tan 等 sin tan sin cos 一、选择题 . 圆 2()5xy 关于原点 (0,)P对称的圆的方程为 ( ) A. B. 225xy C. 22()()xy D. () 2. 若 1,P为圆 5 2yx 的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是（ ） A. 03yx B. 032yx C. 01yx D. 052yx 3. 圆 1 2 上的点到直线 的距离最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 21 4. 在坐标平面内，与点 (1,)A距离为 ，且与点 (3,)B距离为 的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 圆 04 2xy 在点 ),1(P处的切线方程为（ ） A. 3x B. 04yC. 0yx D. 023yx 二、填空题 6. 若经过点 (1,0)的直线与圆 32 2 相切，则此直线在 轴上的 截距是_ 7. 由动点 P向圆 2xy 引两条切线 ,PAB，切点分别为 0,6ABP ，则动 点 的轨迹方为_ 8. 圆心在直线 70上的圆 C与 y轴交于两点 (0,4)(,2),则圆 C的方程 为_ 三、解答题 9. 点 ,Pab在直线 01yx上，求 22ba的最小值. 10. 已知圆 C和 y轴相切，圆心在直线 03yx上，且被直线 xy截得的弦长为72 ，求圆 的方程. 一、选择题 1. A (,)xy关于原点 (0,)P得 (,)xy，则得 22()(5xy 2. A 设圆心为 (1,0)C，则 ,1,2CPABABkyx 3. B 圆心为 max2rd 5. B 两圆相交，外公切线有两条 6. D 24xy（ ） 的在点 )3,1(处的切线方程为 (12)34xy 二、填空题 1. 1 点 (,0)P在圆 02 2yx 上，即切线为 0 2. 24xy O 3. 2()(3)5 圆心既在线段 AB的垂直平分线即 3y，又在 270xy上，即圆心为 (,3)， 5r 三、解答题 1. 解： 22(1)()ab 的最小值为点 (1,)到直线 01yx的距离 而 3d ， 2min32ab . 4. 解：设圆心为 (,)t半径为 3rt，令 tdt 而 222797,1rd(3)(1)xy ，或 22(3)()9xy 【例 1】若 是第二象限角，则 的符号是什么？ sincos cossin 2 【例 2】 已知角 的终边经过点 P(4a,3a)(a0)，求 sin 、cos 、tan 的值 【例 3】 已知 cos ，求 sin ，tan 的值 35 【例 4】 求下列三角函数式的值 (1)sin 1320；(2)cos( )； (3)tan(945) 316 【例 5】 求下列各式的值 (1)a2sin(1350)b 2tan 405(ab) 2tan 7652abcos(1080) ； (2)sin( )cos tan 4. 116 125 【例 6】 求下列函数的定义域： (1)y ； (2)ylg(34sin 2 x)2cos x 1 【例 7】 已知 tan 3，求下列各式的值 (1) ； (2)2sin23sin cos . 3cos sin 3cos sin 【例 8】 已知 0，sin cos ，