关于高等几何方法解决初等几何问题的研究 数学系毕业论文.doc

关于高等几何方法解决初等几何问题的研究摘要及关键词（abstract and keyword）摘要 高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它对初等几何具有指导作用。本文阐明了高等几何和初等几何的关系，并利用高等几何的思想方法，将已知初等几何命题进行变换，以实例说明高等几何的点线结合命题对初等几何的问题的研究。关键词 高等几何；初等几何；几何命题；变换reserch the higher geometry method solution primary geometry question abstract high wait several is make use of klein.lawrence r.of the standpoint definition of the transformations geometry, see surname in europe several under this standpoint project image several of the son is several, it is several to elementary grade have a function of instruction.this text clarified high wait the relation of several and elementary grade several, and make use of high wait several of thought method, will have already known the elementary grade is several set question to carry on transformation, with solid the example explain is high to wait several of order line to combine to set question several to the elementary grade of the research of problem.keyword higher geometry；elementary geometry；geometry proposition；counterchange目录 引言1第一章 高等几何与初等几何的关系11.1几何学11.2高等几何与初等几何的密切关系1第二章 高等几何方法变换初等几何命题22.1利用仿射变换22.2利用射影变换32.3利用交比4第三章 高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用4结论6参考文献7致谢7 前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。1 高等几何与初等几何的关系1 1 几何学数学史家认为:几何学是从丈量土地，测量容积和制造器皿等生产实践活动中产生和总结出来的.根据历史记载几何论证大体上开始于古希腊时代，大约是公元前七世纪左右，相当于我国春秋时期这时人类已开始使用铁器，生产力的发展促使文化也相应地得到发展.社会出现了从事脑力劳动的知识阶层，其中有一些人开始尝试把人类祖先从生产实践中总结出来的几何知识从理论上加以系统整理，并进一步总结和提高，在这方面最有贡献的是希腊数学家欧几里得.他创造性地把全部的几何内容总结起来，这就是公理化思想的开始.他的几何原本成为传播几何知识的标准范本，因而人们把大家熟悉的几何称为欧氏几何.但欧几里得几何原本的逻辑缺点是公理不够，直到1899年德国数学家希尔伯特著几何基础一书，提出了欧氏几何的完整的公理系统.不同 的 公 理体系可以建立不同的几何学.如将欧氏几何的希尔伯特公理体系的平行公理换成罗巴切夫斯基平行公理(即过已知直线外任一点可引两条直线与已知直线平行)其余公理保持不变，便得到罗氏几何.在黎曼公理体系下(即过已知直线外一点没有任何直线与已知直线平行)就得到黎曼几何.也就是说任何几何学和几何定理都是相对于某种公理系统而言的.我们把罗氏几何与黎曼几何统称为非欧几何.在 19 世纪 初期还产生了几何学的又一分支:射影几何(高等几何).1872年克莱因在爱耳兰根大学宣读了现在大家叫做“爱耳兰根纲领”的演说，在这篇演说中，给出了欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何在射影几何基础上的新的解释.这三种几何表面上互相矛盾，相互排斥，但它们在射影几何中得到统一，都是射影几何的子几何.这样一来射影几何和初等几何研究相互联系起来了.1 2 高等几何与初等几何的密切关系由上面知道高等几何与初等几何是有关系的.下面从四个方面来说明它们之间的关系.1.可居高临下地看待初等几何几何学的研究，除了由欧几里得创建的公理化观点外还有克莱因的群论观点.在群论观点下，几何学是研究在相应的变换群下图形保持不变的性质和量的科学。即每一种几何学对应着一个变换群，图形在该变换群下保持不变的那些性质和量，就是这几何学研究的对象.我们知道初等几何是以欧氏几何为其学习内容的.用变换群的观点看，欧氏几何学就是研究正交变换下的图形不变性质和不变量的几何学.由于正交变换群是相似变换群的子群，相似变换群是仿射变换群的子群，而仿射变换群又是射影变换群的子群.因而所对应的几何学从研究的范围讲是:射影几何（仿射几何。相似度量几何）欧氏几何.而从研究的内容来看，欧氏几何研究的对象不仅包括度量性质和度量不变量，而且包括相似性质和相似不变量，仿射性质和仿射不变量，射影性质和射影不变量.即射影几何，仿射几何，相似度量几何，欧氏几何.我们了解了这些关系才能全面地正确地掌握欧氏几何的内容，同时在研究欧氏几何许多具体问题时，我们才可以居高临下的看待这些问题.2.初等几何部分内容的理论依据如立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为依据的，著名的“九树十行”问题是以巴卜斯定理为基础的.还有些在中学难以讲透的问题在高等几何中得到彻底讲清楚，如:非退化二次曲线需每三点不共线的五点才能唯一确定，为什么圆只要不共线的三点就能确定，就是这样一个问题.3.用高等几何的方法可给出初等几何的简捷证明我们知道在高等几何中，经过适当的仿射变换，任意一个三角形(平行四边形、梯形、椭圆)可变为正三角形(正方形、等腰梯形、圆)，那么对有关仿射性质的一些命题，将命题中的一般图形用仿射变换变为特殊图形，如果所给命题在特殊图形中成立，则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等即可推出该命题在原图形中也成立.在证 明 一 些共点或共线问题时，可以利用“投影到无穷远”的方法，把相交直线投影成平行直线，在投影后的图形中，容易证明共点或共线问题，再利用中心投影保持结合性不变的性质，使原命题得证.还有利用笛沙格定理及其逆定理证明共线点和共点线的问题;利用交比证明有关圆的问题;利用调和比的性质证明有关平分线段、平分角以及比例线段的问题等等.4.为初等几何构造新的命题许多初等几何是以高等几何为其背景的.掌握了高等几何知识并摸透它与初等几何知识之间的联系，就能构造出形式多样、内容丰富的初等几何新问题，如1978年全国中学数学竞赛第二试的第一题“四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段”.以及另一题目“已知与一直线l平行的一条线段ac,今要求只用直尺，不用圆规平分线段ac，熟悉高等几何的人立即可以看到，这二题都是以完全四点形的调和性质为背景的.2 用高等几何方法变换初等几何命题利用高等几何的观点和思想方法，将已知初等几何命题进行变换，获得相关的其他初等几何命题，具有重要的意义。2 1 利用仿射变换例1. 命题：“正方形abcd的一组邻边上有e，f两点，且ef/ac。则aed和cfd面积相等“（见图1）图1 将此命题作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，使正方形abcd对应平行四边形abcd,e对应e,f 对应f。在正方abcd中(见图1)，显然有aed cfd，由于两个多边形面积之比为仿射不变量，所以在平行四边形abcd中，aed和cfd面积相等。于是可得另一命题“平行四边形abcd的一组邻边上有e,f 两点，且ef / ac，则aed和cfd面积相等”(见图2).例 2. 命 题:“从圆上一点e作ep垂直于自己直径ab,p 为垂足，圆在e处的切线与在a,b处切线分别交于c,d，则ad,bc,ep共点，且ep被交点平分，(见图3)。此命题显然为真，令ad,bc交于t，因为bdt act，于是dt/ta=ca/db，又ce = ca, bd = de，所以dt/ta = de/ec，从而et/bd/ca。又ep土ab,ep / b d/ /ca即共点得证明。ep被交点平分亦易证。作一仿射对应，若经仿射对应后的记号不变，于是可得另一命题“从椭圆上一点e作直径ab的共扼弦ep与ab交于p，圆在e处的切线分别与在a,b处的切线分别交于c,d ，则ad,b c,e p共点，且ep被交点平分。，(见图4)，根据仿射性质，此命题亦为真。 22 利用射影变换例 3命 题 :“平行三直线分别交两平行的直线得三平行四边形，这三平行四边形的对角线交点共线且所在直线平行于一组对边”(见图5)。此命题显然为真。在图6中，设过点s的三直线分别交过点t的二直线两与于al,b 1,c 1;a 2,b 2,c2。作一中心射影，使直线st成为无穷远直线，若各点在中心射影后的记号不变经过中心射后alcl/a2c2; aia2/blb2/cic2;这样o,p ,q成为三平行四边形的对角线交点，故有o,p,q共线且所在直线与alc1,a2c2平行，即o,p,q与aic1,a2c2的无穷远点共线，(见图5)。由于射影对应保持结合不变，所以中心射影前的四点t,o,p,q也共线。于是可得另一命题共点三直线分别交共点两直线得三四边形这三四边形的对角线交点与相交两直线交点共线(见图6), 例4命题:“已知be/ c f,bc 交be,c f分别于b,c，圆与be,b c,c f分别相切于e,d ,f ,b f交ec于t，dt/be/cf,(见图7)。此命题显然为真，因为bet fct，于是ct/te= c f/be，cd=cf,bd=bct/te=cd/db,从而dt/be/cf。即得证明。将 图 8所 示，abc的旁切圆切边bc于d,切边ab和ac的延长线于e和f,b f交ec于t，作一射影变换，若各点在射影变换后的记号不变，使射影变换后，abc的旁切圆为一圆，ef变为圆的直径，a为垂直于直径ef的直线相对应的无穷远点。(见图7)。于是可得另一命题“abc的旁切圆切边bc于d，切边ab和ac的延长线于e和f，设t是直线bf与ce的交点，则点a,d,t共线。”由原命题得此命题亦为真。 23 利用交比例 5. 命 题:“一个角的两边与这个角的内外角平分线调和共扼”。在图9中，c,d顺次为 (a,b)的内外角平分线，作直线1与d平行，则1c。，若1交a,b, c。于a,b,t，于是oab为等腰三角形，因此at = tb令1与d的无穷远点为p 故(ab,t p) =一1所以(ab,cd)=一1。图10所示，c,d顺次为(a,b)的内外角平分线，直线1与a,b,c, d 分别交于a,b ,t ,p .由于(ab,cd)=(ab,t p)，而bp= -pb，所以at p b= btap，即at/bt = ap/pb。于是可得初等几何中的角平分线性质定理。 3 高等几何的点线接合命题对初等几何的指导作用众所周知，无论是在教学实践中，还是在测绘、筑路、架桥、通讯等工程实践中，不可回避地常遇到不可及点等实际问题。要解决此类问题就牵涉到几何学中共线点和共点线问题，这类问题的证明，对于初等几何乃至平面或空间解析几何来说是比较难的，有时甚至是不可能的。但是如果用高等几何的方法证明这类命题，就要方便得多，简单得多，下面通过实例加以印证。例1 如图1 所示，设三直线a1a2，b1b2，c1c2共点于s，a1a2，b1b2，c1c2分别交两直线ox，oy 于a1，b1，c1与a2，b2c2。设b1c2 b2c1 = l，c1a2 c2a1 = m，a1b2 a2b1 = n. 求证：l，m，n，o 四点共线。证明：将直线os 投影到无穷远直线，并作出图11 的对应图形，用带“”的字母示原字母的象。 a1a2，b1b2，c1c2交于s，ox，oy 共点o a1a2b1b2c1c2，oxoy且a1，b1，c1在ox上a2，b2，c2在oy上。由平面几何易知l，m，n三点共线，且所在直线平行于a1，b1，c1所在直线，所以o是l，m，n所在直线上的无穷远点。又由于中心射影保同素性和接合性，所以l，m，n，o 四点共线。 图11 图此例实际上也是巴卜斯定理的特例，这里不再赘证。例2 试证三角形的三条中线共点。证明：此题若用初等几何的方法来证是相当费力的，现在用高等几何的方法来证明，同时为例3 做一个铺垫。如图12 所示，ad，be，cf 分别为abc 的三边bc，ca，ab 上的中线，所以efbc，deab，dfac设ef bc = p，de ab = q，df ac = r在abc 与def 中，对应边的交点p，q，r共线于无穷远直线，则由代沙格定理的逆定理可知，对应定点的联线ad，be，cf 共点。 图12 图13例3 如图13 所示，直线交abc 的三边或其延长线于l，m，n，若直线am，bn，cl 交成一个三角形pqr，求证：aq，br，cp 三直线共点。证明：利用中心射影将l，m，n 所在的直线投射到无穷远直线并作图3 的对应图形。 l，m，n是无穷远点， abqr，bcpr，capq四边形abcr与bcap都是平行四边形 pa = bc = ar a是pr的中点同理，b 是p q的中点，c是qr的中点，即aq，br，cp是pqr三边上的中线。由例2 可知，它们必交于一点s。由于中心射影保同素性和接合性，故aq，br，cp 交于一点s。 图结论高等几何是数学专业的一门重要的基础理论课。高等几何的涵义较为广泛。我国现在开设的高等几何课内容上以射影几何为主，兼顾其他，方法上采用代数法兼综合法而侧重代数法。目的旨在使学生系统接受射影几何而主要又是实射影平面几何的基本知识，认识射影空间的基本特性，研究方法和几何学的本质，深化几何空间的概念，为进一步学习近代数学奠定基础。从理论和实践的结合上学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，确认几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。,我们明白了高等几何与初等几何的内在联系，扩大了关于几何学的眼界，了解到初等几何在几何学中所处的地位，就有助于我们从几何学的全局与整体来理解和分析初等几何教材，就能对初等几何中的许多问题作透彻的理解，使我们获得驾驭教材的本领，减少教学中的盲目性，避