函数极限的计算方法 毕业论文.doc

新乡学院2007级毕业论文论文题目：函数极限的计算方法姓 名 学 号 2007041101022 所在院系 数学系 专业名称 数学及应用数学 指导教师 指导教师职称 2011 年 3 月 1 日10目录内容摘要 1关 键 词 1abstract 1key words 11.引言12. 极限的计算方法 12.1四则运算法12.2函数连续性法22.3变量替换法32.4等价无穷小等换法42.5洛必达法则置换法42.6左右极限转化法52.7数列与函数极限转化法52.8适当放大缩小法62.9递归数列推导法72.10定积分前n项和综合法82.11泰勒公式转化法92.12导数定义法 10参考文献 11致 谢 12函数极限的计算方法 内容摘要:函数极限是数学分析的一个分支,广泛使用现有的科学技术和数学方法,解决实际中的问题,助决策人员选择最优方针和决策,本文主要探讨了函数极限的方法，从不同的角度，不同的例子给出各种不同的解题方法，而且给出它的解题思路，使其更明了.关 键 词: 函数极限 方法 思路abstract:limit of function is a branch of mathematical analysis, which is widely used in the existing science technology and mathematical method to solve practical problems and help decision-making person to choose optimal policies and guidelines. this paper mainly dicuss ways of solve limit of function, there are a lot of different ways of solve limit of function for different angles and different examples, there have a lot of ideas of solve limit of function,there is very clear.key words: limit of function method ideas1函数极限简介 函数极限是数学分析的一个重要的分支，它贯穿于整个数学分析的全部，从而可见函数极限的求出对我们的学习数学分析非常重要，而且函数极限的应用很广贯穿于经济,概率论等许许多多的方面. 2极限的计算方法 2.1四则运算法 例 1求思路:对和差积商形式的函数求极限自然会想到运用极限的四则运算法则来计算极限.解：原式=-1 2.2函数连续性法 例2求的极限思路: 设为初等函数,为的定义区间上的一点，则.(1)设在连续,按定义则有 .因此若不用定义可判断函数连续时,那么对连续函数求极限就是用代入法求函数值. (2)一切初等函数在定义域区间上连续,因此,若是初等函数, 属于其定义域区间,则.(3)设,若补充定义,则在连续.若又有在处连续,则由复合函数的连续性得.解：原式=9 2.3变量替换法 例3计算 设,则.(若把改为或,上述结论仍成立.)设,在连续,则.重要极限与变量替换法相结合可求极限:,极限过程改为其他情形也有类似结论.设,求型极限.转化为求型极限 .解：原式2.4等价无穷小等换法 例4求思路:当时,利用等等价无穷小来计算极限.若时，无穷小,(即),则.(等式两边其中之一极限存在或为,则另一也是且相等)该结论表明:在求极限过程中等价无穷小因子可以替换.利用等价无穷小因子替换求极限,可以大大减小计算量.但利用等价无穷小因子替换求极限应注意以下两点:只要求在求极限的乘除运算中使用等价无穷小因子替换.不要在求极限的加减运算中使用,再加减中等价无穷小的替换是有条件的.解:原式= 2.5洛必达法则置换法 例5求思路：对零比零，无穷比无穷等未定式的极限,常可用洛必达法则来计算若不存在也不为,不能说明不存在.,但即不存在.要验证应用法则的条件,例如,以下运算是错误的:事实上,这里不是型也不是型.若还是型或型,则可连续用洛必达法则,只要符合条件,一直可用到求出极限为止.其他类型的未定式（,等）先化成或型,再用洛必达法则.使用洛必达法则也要用到一些技巧,如结合应用变量替换,等价无穷小因子替换，极限的四则算法则，有确定非零极限的因子应先求出等.解：= = = = 2.6左右极限转化法例6求思路:利用左右极限极限等于函数极限求解,求分段函数在连接点出的极限,或函数表达式中含有左,右极限不相等的项(如时, ,)时,要分别求左右极限求得函数极限.根据定理:=a对于分段函数 考察是否存在就要分别求= 与 .解:注意:.因此极限为:=2.7数列与函数极限转化法例7求数列极限w=思路:若则当时,有.即若可看成某函数在一串点上的函数值:=,而则特别地,若,则 .求数列极限转化为函数极限的主要目的是为了用洛必达法则解:由得.用等价无穷小因子替换得w=引入（x0）,则w=2.8适当放大缩小法例8设a0为常数思路:如n个数之和不超过最大数乘n,不小于最小数乘n;分子与分母同为正数,把分母放大则分数值缩小;若干正数的乘积中,把小鱼1的因子略去则乘积放大,把大于1的因子略去则乘积缩小(1) 简单的放大缩小手段(2) 利用极限的不等式性质进行放大或缩小(3) 对积分的极限可利用积分的性质进行放大或缩小.解:先放大缩小后可以简化:而=由夹逼定理知:=2.9递归数列推导法例9设思路:数列如果满足递归方程是已知的一元连续函数,则称为递归数列,由递归数列知,由可求出,由可求出,以此类推可求出任意项,分两步走:(1):想证明递归数列收敛(常用单调有界数列必收敛),然后设,在对递归方程取极限得,最后解出即可.(2):先设对递归方程取极限后解得a再用某种方法证明.事实上递归数列的单调性与函数的单调性有关.解:显然.令则, ,于是在x0单调上升,从而是单调有界，故存在极限,对递归方程取极限得a=解得a= 因此: 2.10定积分前n项和综合法例10思路：在求某些特殊的极限时直接求求不出来可以将其化成定积分加以求解例如1.通过恒等变形化为可用极限四则运算的情形.2.取对数后变成项和数的数列;3.化为积分和利用定积分求极限;4.,用数值级数求和的方法解：记是在区间上的一个积分和。由于在上连续,故可积,于是.因此,我们对用适当放大缩小法,将求转化为求积分和的极限.因此又.于是由夹逼定理得 2.11泰勒公式转化法例11思路:利用泰勒公式求极限可以简化其过程,让其很容易求出.再求这类的极限时利用泰勒公式的带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式.设在处阶可导,则有带皮亚诺余项的阶泰勒公式():.现设,并以求得与的泰勒公式:,其中,则=.当,的泰勒公式易求,而,的导数计算较复杂时，可考虑用泰勒公式求极限.在应用方法时,必须熟记某些基本初等函数的泰勒公解:由题可得到=,=又所以=2.12导数定义法例12设则思路：设存在,若所求极限可化为如下类型:则按导数定义即是,由数列极限与函数极限的关系又可得其中我们必须熟记的函数导数:1.2.3.4.5.6.7.解：补充定义则有于是参考文献1:盛祥晓.高等数学辅导m.北京.清华大学出版社1983.8: 142148.2：华东师范大学数学系.数学分析m.上海.高等教育出版社.2007.5: 1517.3：李永乐.考研数学复习m.北京.国际上行出版社.2010.9: 180.4：茆诗松.概率论与数理统计教程m.上海. 高等教育出版社.2004.8：1519.5: 李永乐.考研历年这题解析m. 北京.国际上行出版社.2010.9: 1730.6:蔡子华.考研数学模拟试卷及精析m.北京.原子能出版社.2010.11: 1735.7：毛纲源.考研数学三考题型及其解题方法技巧归纳m.武汉.华中科技大学出版社.2003.10: 1517. 8:李永乐.考研数学最后冲刺135分m.北京.国家行政书院出版社.2010.10: 1319.9:李永乐.数学全程预测100题m.北京.新华出版社.2010.11: 1925.10:李正元.数学全程复习m.北京.新华出版社.2010.9: 1234. 致谢本文是在王永忠老师精心指导和大力支持下完成的。王老师以其严谨求实的治学态度，高度的敬业精神，兢兢业业、孜孜以求