离散非线性系统的控制问题 毕业论文.doc

离散非线性系统的控制问题1 绪论本章主要介绍离散非线性系统的控制问题以及三种常用的离散非线性系统的通用模型：神经网络模型、volterra级数模型、带外生变量的非线性自回归滑动平均模型（naramx），然后是自适应backstepping方法的简单介绍，最后是课题的意义和本文内容的大致安排。1.1 离散非线性系统的控制近几年来，非线性连续系统越来越多的受到人们的广泛关注，并得到一些重要的研究成果。但是专家们对离散非线性系统的研究却很少，重要的原因是处理非线性采样数据时遇到了很大的困难。第一，系统在采样以后不再保持输入和反馈线性化中的仿射性质，第二，对于纯离散非线性系统，为了得到全局稳定性，都对非线性项加了线性增长条件限制，即使不存在采样问题，但也只能得到很少的结果。这主要是因为在离散时间系统中，主要的理论工具不能应用的条件之一是未知参数乘上一个不具有线性增长条件的非线性。同样的问题在对连续系统中虽然也会遇到，但是lyapunov设计分析方法可以克服这一问题。对于离散非线性系统，我们也希望利用lyapunov分析方法，但这也是很难实行的。因为连续lyapunov函数的一个关键性质是我们可以选择它，使它的导数对参数误差是线性的，并且对参数估计的导数也是线性的，而离散lyapunov函数的差分不具备这种关键性的性质在我们身边，非线性现象无处不在，科学界较为精确的实验结果和分析表明，任何一个实际存在的物理系统都是非线性的，非线性是事物的本质。那么也就是说，线性是对非线性的一种近似或者简化，或者说线性现象只是非线性现象的特例。随着科学技术与生产力的迅猛发展，控制领域的研究对象越来越复杂化，随之出现了一些经典控制理论无法解决的问题。研究非线性系统的运动问题的理论是非线性控制理论16。也就是研究非性系统的输出与输入的关系问题，主要包括以下两个方面的问题：一是在已知输入确定时，系统的输出将如何变化，这称为系统分析问题，是基础和手段；二是如何使系统的输出按所希望的方式运动，这称为系统综合问题，是目的。外加非线性和固有非线性是控制系统的非线性的两种形式。一般用来降低系统成本或者改善系统品质而引入的非线性的是外加非线性。受控对象的自有非线性又称为固有非线性，一般对控制系统的品质具有很多不良影响。非线性系统（即具有非线性环节或特性的系统）广泛存在于工程实际中，虽然线性控制理论在工程实际应用中取得了巨大的成功，但由于非线性系统可能存在不满足叠加原理、极限环、多平衡点等特点，导致非线性系统的控制遇到了相当大的困难，所以一项非常艰巨的任务即对非线性系统控制问题的研究，摆在科学家的面前。据知早在1940年以前就已经出现了对非线性控制问题的研究，早期研究的方法主要有：描述函数法，适用于含有动态传递函数环节和静态非线性的环节相串联的反馈控制系统的分析；相平面分析法，对二阶非线性系统可分区线性化；谐波平衡法，研究强迫振荡和自由振动问题；摄动方法，研究极限环问题。在这一时期已经产生lyapunov方法，但是研究者们对该方法的研究仍不够深入，所以在当时只探讨了lyapunov方法在非线性系统控制中应用的可能性问题。二十世纪六十年代之后，非线性控制有了非常快速和巨大的发展，如变结构控制、模型参考控制、自适应控制等，这些方法可以认为是lyapunov方法在控制学领域丰富的成果，因为它们大多数与lyapunov方法相关。二十世纪八十年代以后，非线性系统的控制研究进入了一个兴盛时期。为了研究非线性系统内部结构，非线性控制理论的先驱们，将微分几何引入控制理论，为此项研究提供了有力的数学工具，使非线性控制系统成为科学界的研究热点。研究非线性控制系统的工作主要包括三个基本方面：（1）如何表示非线性系统的输入输出关系，即模型。（2）如何建立非线性系统的模型，包括模型的结构和与模型相对应的参数。（3）如何设计非线性控制系统。建模是实现非线性系统控制的基础。最早用到的非线性系统模型只针对某种特殊类型的非线性系统，这样的模型包括：armax模型、wiener模型、双线性系统模型、hammerstain模型、输出仿射模型和非线性时间序列等。块联模型是结构最简单的一类非线性模型，wiener模型和hammerstain模型都属于这种模型， 前者由线性动态子系统后接非线性静态增益组成，而后者由非线性静态增益后接线性动态子系统组成。以上几类非线性模型，虽然结构简单，但是不具有通用性。因为它们只能用于一类特殊的非线性系统。还没有找到能够有效描述任意非线性系统的通用模型是非线性系统目前存在的最大问题。通常被认为比较普普遍适用的模型包含神经网络模型、volterra级数模型、带外生变量的非线性自回归滑动平均（naramx）模型。1.1.1非线性系统的volterra级数模型非线性系统的 volterra 级数模型是一种非常有效的非参数模型，已成为研究非线性系统的最流行的模型之一。由于其具有物理意义明确，适用范围广等优点，它成功的应用在诸多工程领域，这些应用领域的一个新亮点是基于非线性频谱分析的故障诊断。研究基于 volterra 级数模型的非线性系统的辨识对于非线性系统理论的发展和应用有着相当重要的意义。1880年，意大利科学家vito volterra首先提出volterra 级数是一种泛函级数，其目的是把它作为taylor级数的推广。1912年，volterra 将volterra 级数这种泛函级数用于研究某些积分微分方程和积方程的解。1942年，n.wiener首次将volterra 级数用于非线性系统研究，他得出了非线性系统的volterra级数模型，从此拉开了基于volterra 级数的非线性系统研究的序幕。volterra级数模型分析方法对记忆性不作要求，被称作“有记忆效应的taylor级数”，考虑到互相影响的各个输入频率，为适用于非线性失真程度低的系统，将系统划分为无穷级数相加的形式。其用一个无穷级数表示输出信号，非线性系统的离散volterra级数模型为： （1-1）其中 （1-2）函数和分别表示模型的输入和模型的输出，非线性系统的volterra级数模型之所以在理论研究和实际应用中倍受工程界的学者们的关注，其原因主要有两点：（1）理论上的完备性。volterra级数模型可以描述很大的一类非线性系统，也就是可以描述具有解析的输入输出响应函数的系统，且实际的物理系统有很多都是这样的系统。（2）volterra级数模型具有鲜明的物理意义，非线性系统地许多频域特性可以直观地用volterra级数模型的gfrf函数清晰地表示出来。 鉴于这些优势，大量的科技开发人员及学者致力于研究对volterra核的计算推导及volterra 级数建模的方法，例如：利用volterra核的辨识和建模的算法，弱非线性系统volterra二阶核的辨识与推导，将volterra 级数解应用于动态和电阻的非线性网络及非线性振荡电路，三阶volterra 核的快速测量方法。快速傅立叶变换(fft ) 方法是建立非线性系统volterra级数模型最经典的方法。许多学者和科技开发人员也提出了很多volterra辨识算法，但是建立非线性系统volterra级数模型，不是一件非常容易的事情。volterra的级数有一个很明显的缺点，就是要想取得满意的精度，得需要相当多的被估计参数。高阶的核估计是其面对的最大困难。针对各种具体的非线性系统，科学家们提出了各种核估计算法，例如：快速多点法、多音信号法、vandermode法等。我国的学者在volterra频域核的估计研究方面也作了大量的工作，焦李成教授提出的电路和灵敏度分析及其非线性系统故障诊断，韩崇昭教授通过研究volterra级数表达式的非线性系统的稳定性，得出有效的gfrf核直接辨识算法等，他们都为volterra核技术的工程应用开辟了更为广阔的前景。二阶volterra核一般只能被这些算法辨识出，三阶或者三阶以上的核估计就很难辨识。所以进一步的研究是必须的。1.1.2非线性系统的神经网络模型神经网络的计算难题迎刃而解得益于计算机技术的迅猛发展，神经网络更加深入而广泛地应用于非线性系统。神经网络具有自适应性、并行性和容错性等特点，也具有逼近任意非线性函数的能力。基于这些优点，非线性系统的神经网络模型得到了非常广泛的应用。可以从十个方面对神经网络模型进行描述：神经网络的状态、处理单元、活跃规则、传播规则、输出函数、学习算法、环境、操作模式、互联模式和稳定状态。迄今为止，人们已提出的神经网络模型有上百种，而这些模型中常用的大约十几种。它们是雪崩模型、自适应共振理论模型、小脑自动模型、感知机模型、hopfield模型、boltzmann/cauchy机、高斯机、反向传播模型、受限的库伦能量模型、自组织映射模型、多个自适应线性元模型、重复传播模型、黑箱脑机制和双向联想存储器等。在众多的神经网络中，描述非线性系统的神经网络最常见的是小脑模型神经网络和bp网络。小脑模型神经网络，适合于实时控制，其本质是基于查表的局部学习神经网络，它既保证了一定的泛化能力，同时具有学习速度快的特点。但是，小脑模型神经网络在用于实际系统建模时存在不能激活所有的连续点的情况，这是因为该模型要求训练信号在输入空间具有连续变化的特性。bp网络实际应用比较多，理论上也比较成熟，多层bp网络被广泛应用在系统辨识和建模中，原因是它可以以任意精度逼近任意非线性函数。但是它有过拟合、容易陷入局部极小和收敛速度慢等问题。1.1.3 非线性系统的narmax模型1982年， leontaritis 和billings类比带外生变量的线性时间序列的自回归滑动平均（armax）模型而得出非线性时间序列的带外生变量的自回归滑动平均(nonlinear autoregressive moving average with exogenous inputs, narmax)模型。多项式是narmax 模型最初的形式，它关于参数线性，因此也被称为非线性armax 模型。这类模型在实际应用中效果十分明显，故得到了人们的广泛关注，在模型结构已知时，辨识问题就可以简化为一个最小二乘参数估计问题。billings 等人在1985-1989年根据nerode的有限实现理论及泰勒定理证明了对该模型描述一般非线性系统的普适性，并且指出narmax模型几乎可以描述以前研究的所有非线性模型如输出仿射模型、armax模型、非线性时间序列模型、wiener模型、hanmmerstain模型和双线性系统模型等，并成功应用于实际工程中如通讯工程、电力工程、化学工程、交通工程、啤酒发酵、海洋工程、医学和气象等领域，形成了国际上颇具影响的billings学派。narmax模型为非线性系统理论提供了一个一般性的数学表达式，可以说narmax模型的出现推动了非线性系统辨识理论研究和应用的发展。narmax 模型的一般数学表达式为： （1-3）式中：分别是系统的输入、输出和噪声序列；是系统自身的特性所决定的在时间上的滞后，一般可视为0，由于输入、输出和噪声都是关于时间的序列，故时间在此都取正整数；和分别是系统的输入、输出和噪声的时间延迟；是非线性函数，里面是输入、输出和噪声组合成的所有可能的乘积项，这些乘积多项式中的最高幂次为。这种模型为随机narmax 模型。模型（1-3）有一个特例，称它为带外生变量的非线性自回归（narx）模型，可表述如下： （1-4）因为系统噪音项的不可测量性，因此这种模型更常用。式(1-5)和式(1-6)是描述有限维输入输出非线性系统最一般的形式。要将模型应用于实际，必须对其实现参数化。narmax模型的优点是收敛速度快、结构简单、逼近精度高、关于参数线性。narmax模型的缺点是模型结构的准确性决定模型的泛化能力和精度。故要想很好地使用narmax模型分析问题，模型必须具有正确结构和参数。辨识模型因此成为科学界的研究热点。narmax模型的辨识很大程度地取决于其参数估计的精度高低与结构辨识的正确与否。参数估计精度不理想或模型结构辨识不正确，都可导致实际系统与辨识模型的较大偏离。因此narmax模型的结构辨识非常重要，结构辨识的困难来源于两个方面：一是现有选项准则的固有缺陷；二是模型项数目的组合爆炸所导致的算法使用上的存储困难。而模型的参数辨识精度由辨识算法的数值稳定性直接决定。作为离散非线性系统的通用数学表达式，narmax模型已经非常流行，因此，对narmax模型的控制器的设计和控制方法的改善已经成为离散非线性系统控制的发展的强烈需要。1.2 backstepping设计方法介绍backstepping设计方法是一种系统化的控制器综合设计方法，它是针对不确定性系统的。backstepping设计方法将lyapunov 函数的选取与控制器的设计相结合。它从系统的最低阶次的微分方程就开始引入虚拟控制的概念，一步一步地设计出满足系统要求的虚拟控制，最终设计出真正的控制律。目前自适应控制理论研究和应用的前沿课题之一就是backstepping自适应控制，近年来，该方法应用在处理线性系统与某些非线性系统，它在提高过渡过程的品质方面表现出强大的优势和潜力。自适应backstepping设计方法已经大量应用在航空航天、船舶控制液压控制、机器人控制、电机控制等许多工业控制领域。1.3 本课题的意义实际生活中大多数系统都是非线性系统，离散非线性系统的控制遇到很多难题，对任何一个控制系统进行控制的设计，首先必须进行数学描述，因此要实现对非线性离散系统的控制必须第一步建立数学模型。早期的模型只是针对一些特殊的非线性系统，还没有找到能够描述非线性系统的通用模型。而narmax模型却解决了这一问题。narmax模型是由billings等人在二十世纪八十年代提出的，narmax模型为非线性系统理论提供了一个一般性的数学表达式，此后，不断有学者研究非线性系统的控制问题，致使在控制理论界形成了颇具影响力的billings学派。可以这么说narmax模型的出现推动了非线性系统辨识理论研究和应用的发展。在这种情况下，针对narmax模型的控制方法的研究已成为必然。常规的反馈控制系统的特点是对于外部扰动的影响和系统内部特性的变化都具有一定的抑制能力，但是由于固定的控制器参数，所以当外部扰动的变化幅度很大或者系统内部特性变化时，系统的性能常常会大幅度下降，甚至产生不稳定的情况。所以对那些扰动特性或对象特性变化范围很大，同时又要求必须经常保持高性能指标的一类系统，自适应控制是非常合适的选择。从自适应控制的工作作用与机理来看，自适应控制是指通过不断测量输入信息和输出信息，实时地掌控系统误差和被控对象的动态特性，并根据它们的变化情况及时调整控制量，使系统维持最优控制性能，或满足要求。自适应控制是一种针对非线性系统的控制方法，它是目前解决离散非线性系统控制的一种非常有效的方法本文致力于研究任意离散非线性系统的narmax模型，将根据自适应backstepping控制理论，对一类可三角结构化的narmax模型变形成的参数严格反馈的形式，辨识参数并进行控制器的设计。1.4 本文内容介绍本文是这样安排的：第一章是绪论，首先引出本文的课题，介绍离散非线性系统的控制问题，三种常用的离散非线性系统的通用模型：神经网络模型、volterra级数模型、带外生变量的非线性自回归滑动平均模型（naramx），然后是自适应backstepping方法的简单介绍，最后是课题的意义。第二章首先具体介绍naramx模型及narmax 模型可根据f()非线性函数形式的不同，分为三类：有理分式类narmax 模型、扩展的narmax 模型和多项式类narmax 模型，然后以单输入单输出的三阶非线性参数严格反馈系统为例来介绍backstepping设计方法。第三章首先介绍自适应控制的历史与概况及其发展应用，然后介绍离散时间参数不确定非线性系统研究情况，最后是将narmax 模型三角结构化后进行自适应backstepping控制器的设计。第四章进行闭环系统的稳定性分析，并运用matlab进行实例仿真验证。2 narmax模型及backstepping方法narmax模型已成为研究离散非线性系统控制的主流数学模型，原因是它为非线性系统提供了一个相对紧凑的数学表达式。目前的许多科技文献均表明，narmax模型是建立非线性系统模型的一种非常高效的表示方法。这个模型已逐步应用于电力工程、化学工程、海洋工程等领域，而narmax模型的多种形式更显示出它强大的特点与实用性。2.1 narmax模型非线性自回归滑动平均（non-linear auto-regressive moving average model with exogenous inputs，narmax）模型，是由leontaritis和billings于上世纪八十年代提出的，它是一个离散形式的系统表达式，相当于离散的非线性差分方程，并且与微分方程所代表的连续系统等价。narmax模型属于系统识别中的参数化识别类型。在与arma(autoregressive moving average)模型和ar(autoregressive)模型的相比当中，narmax模型显示出其内容的更加丰富性。系统过去的部分输入和输出决定了系统当前的输出，模型中过去的部分输入被称为“exogenous inputs”。在实际系统中，噪声相对比较复杂。由于系统非线性，在系统结构中系统的输入输出与噪声等耦合在一起，会出现输入输出与噪声之间的乘积项。而仍可用白噪声序列来表示系统的真实噪声。narmax 模型代表了大多数离散时间非线性系统，narmax模型的单输入单输出的一般表述形式为： （2-1）其中，、和分别为时刻系统的输入、输出和干扰， 、和依次为它们的延迟，是离散时间序列， 。为向量值非线性函数，对于多输入多输出非线性系统， 、和的维数分别为、和，有： （2-2）将（2-2）代入（2-1），得多输入多输出的narmax 模型为： （2-3）这里。，和分别为时刻系统的输入、输出和干扰。 、和依次为它们的最大延迟。为向量值非线性函数。为零均值的独立过程。narmax模型有一个重要的参数度。度是指narmax模型中单项式乘积的最大项数8，例如：的度等于5，也就是项的指数。（2-1）和（2-3）中的，表示函数的度为。narmax模型的度是用来表征该模型复杂程度的参数，在辨识模型时，合理选择非线性度的数值是非常重要的。这是因为：度的值如果过小，产生的narmax模型将不能描述实际对象的动态特性；度的值如果过大， 产生的narmax模型将可能会很复杂。narmax 模型可根据f()非线性函数形式的不同，分为三类：有理分式类narmax 模型、扩展的narmax 模型和多项式类narmax 模型等。2.1.1 多项式类narmax模型多项式类 narmax 模型30是由billings 等人最初提出的，它是最常用也是最简单的一种形式。f()可由多项式函数以任意精度逼近，这由ston-weierstrass 定理可以证明9。对于单输入、单输出的多项式narmax 模型，它的l 阶多项式的全模型展开形式为 （2-4）其中为第项参数，是常数项，l 为多项式非线性度或阶次。例如（2 度） （3 度）。为回归项，简称为项，它是输入、输出、噪声项的乘积。基于多项式类 narmax 模型的非线性系统的结构辨识，本质上来说是确定该模型由哪些非线性项组成，而且其模型结构的准确性很大程度上决定了其模型的泛化能力和精度。由式（2-4）可知，即使对于系统最大延迟和不太大的非线性阶次，模型项的数目也是十分巨大的。例如多项式的阶次取为4，则narmax 全模型集合的模型项的数目为n = 4648。而在实际情况中，为了保证获得最终满意的系统模型，最大延迟和多项式阶次必须要在一个比较大的范围内变化，这将导致模型项数的组合爆炸。致使要想从这些模型项中选取有限个重要的模型项以确定最终的模型结构是十分困难的事情。模型由于过于复杂带来庞大的计算量，这将还会导致数值计算过程的严重病态。多项式 narmax 模型可以描述系统输入输出之间的非线性关系，而且其参数是线性的。参数线性的优点是可以利用最小二乘法ls辨识参数，而最小二乘法ls的计算代价比其它参数优化算法的小得多。对于结构最简单的多项式narmax模型的辨识，当所有可能的模型项数目不大，且多项式阶次和模型输入和输出的最大延迟已知，可以采用正交最小二乘法来计算各项的误差减小率err，然后根据计算的err值选择合适的项。反之，系统如果缺乏先验知识信息，则待选择的模型项数目就会很庞大，结果导致想要从大量的模型中确认合适的模型结构是一件非常困难的事情。一种方法是根据某种选项规则（如err准则或其它改进的err准则），让每次引入计算的模型项的数目是一个相对较小的值 (即从所有可能的模型项中一步一步选择合适的模型项)，这样可达到边选择边剔除不重要的模型项的目的。因为不要求保存全模型的庞大参数回归矩阵，因此可部分地克服由模型项数组合爆炸所导致的实际存储困难。但是这种算法的不足之处是最终模型的确定，这在很大程度上依赖于模型项选入的先后顺序，不同的顺序将导致不同的结果，不仅不能保证正确辨识模型结构，而且还会产生冗余项。由多项式 narmax 模型表示可以看出，即使复杂程度不太大的系统，其模型的项数也是很多的，如果就这样对全模型直接求取参数，就会得到一个过度参数化的数学模型，甚至是严重数值病态的过度复杂模型，而且会遭遇存储困难，因为其系数矩阵过于庞大。而在实际情况中，narmax 模型所描述的系统也只有很少的几项。而这几项的确认也不是一件非常容易的事，很多的时候是依靠自我直觉。它取决于系统的先验信息如采样频率、阶次等。对于此类模型，辨识过程随输入输出延迟和多项式阶次的增加而更加复杂。2.1.2 扩展的narmax 模型扩展的 narmax 模型是narmax 模型中比较一般化的参数线性化模型类。多项式narmax 模型是扩展的 narmax 模型的一个子集，它们的区别是，非线性函数f()中的xi(k)不仅可以取单项式形式，而且还可以取某些实际系统中常出现的超越函数exp(.)(指数函数)，tanh(.)(正切双曲函数)，sinh(正弦双曲函数)，sin(.)，cos(.)等描述一些严重非线性特性30 。例如下面的式子就是这种形式，等。许多文献给出了非常丰富的实际例子来说明这类扩展的narmax 模型存在的普遍性及提出的合理性14。扩展的narmax 模型仍然是关于参数线性的。与上述多项式类narmax 模型相比，在有些情况下使用扩展的narmax 模型可大幅度减少最终模型所包含的模型项数目，使模型变得更为简约。与多项式 narmax 模型相比，由于多样化的可选函数类，导致narmax全模型的项数愈加庞大，结构辨识愈加艰难。虽然仍可使用正交最小二乘算法实现模型的辨识，这里的算法与辨识多项式narmax模型使用的正交最小二乘算法是一样的，但是由于上述问题的存在，结构辨识的不可靠性在一定程度上增加了不少。所以进行这类扩展的narmax 模型的辨识，寻找更好的方法是很有必要的。2.1.3 有理分式类narmax 模型有理分式类型narmax 模型仍然是billings 等人提出的，其表达式如下： （2-5）这里，是有限阶次多项式。有理分式类模型具有一些非常优越的特性，如果被利用充分恰当，则有一些问题，对其它一些模型来说十分困难的，用有理分式类模型解决相当简单。因为相比多项式模型，有理分式模型的展开式简单得多。如 （2-6）而且有理分式类模型会产生很大的偏离，从（2-4）可以看出，当接近1时，有理分式模型的输出会很大。由此得出分母多项式可以使模型具有快速追踪大变换的能力。由于有理分式类模型具有参数严重非线性的特点，因此模型的参数估计和结构辨识是非常困难的。通过对结构已知的有理分式类narmax 模型的研究，提出了一种模型参数估计算法32，就是通过“去分母”的乘法运算将有理式模型展开成为关于参数线性的形式，而且基于线性最小二乘法估计模型的参数，但是参数的估计是有偏差的。与多项式类 narmax 模型相比，根据“去分母”的乘法运算后的线性展开形式来辨识有理分式模型的结构，由于全模型集合所包含的模型项的数目为原来的二倍，因此导致更加困难选项过程。由于候选模型项集合太大，所以非常必要寻找更好的模型参数辨识算法和模型结构辨识算法。2.2 backstepping方法的设计原理backstepping方法，又称反演法，反步法，回退法，它通常将控制律和自适应律综合考虑，使得整个闭环系统满足所期望的静态和动态性能。非线性系统的自适应backstepping控制设计是一种构造性方法33，它将复杂难懂的非线性系统分解成一些不超过系统阶数的子系统，进而为每个子系统构造中间虚拟控制量和部分lyapunov函数或者稳定化函数，并一直“后退”到整个系统，最后将它们集成起来完成整个控制律的设计。backstepping方法在线性系统和非线性系统中皆适用，特别是对于具有严参数反馈和可状态线性化的不确定非线性系统的控制设计有很强的优越性能34。其基本设计方法是从一个高阶系统的内核系统开始，通常是系统输出满足的动态方程，先设计虚拟控制律来保证内核系统的某些性能，然后再逐步修正得到的虚拟控制律的算法，但必须保证既定性能，然后设计得出真正的镇定控制器，来实现该系统的全局跟踪或者调节，使系统达到期望的性能指标29。如下我们以单输入单输出的三阶非线性参数化严格反馈系统为例来介绍backstepping方法的设计原理： （2-7）这里是系统未知的参数向量，控制的最终目标是使系统（2-1）的输出始终跟踪参考信号，由图2.1我们可以看出，除了右差分算子，系统仅有的就是反馈路径，故将此形式称为参数化严格反馈形式35。下面我们给出了用投影算法来修正系统参数估计的自适应方法，在下面的计算与分析中，表示的不同估计，。q-1q-1q-1图2.1三阶参数化严格反馈系统结构图step1.令 （2-8） （2-9）则 （2-10）的修正律为 （2-11）step2. 令 （2-12）则 （2-13）这里 （2-14）的修正律为 （2-15）step3. 这是整个设计过程的最后一步，控制律为 （2-16）则 （2-17）这里， （2-18）的修正律为 （2-19）总结以上这三步，我们就可以得出闭环系统为 （2-20）这里。由以上的整个设计过程我们可以知道，backstepping方法实际上可以描述为一种由前向后递推的设计方法，通过逐步地迭代设计函数，最终来实现系统的镇定或者完美的跟踪目标。backstepping方法有两个优点：一是可以用来控制相对阶次为的非线性系统，从而冲破经典无源性设计中的相对阶次只能为1的限制；二是通过反向设计可以使控制器的设计过程与控制函数的设计过程变得结构化和系统化。除此之外，backstepping 设计中引进的虚拟控制实际上可以称为是一种静态补偿，为了达到系统镇定或跟踪的目的，前面的子系统必须依靠后面的子系统的虚拟控制，所以backstepping方法所要求的系统结构形式必须是与（2-1）式类似结构形式的严格反馈系统，或是可通过一定方法转化为该种结构类型的系统。定理 2.1表示了系统的稳定性。定理 2.143，如果满足 （2-21）这里。由（2-7），（2-20），（2-11），（2-15），（2-19）和（2-16）所组成的闭环系统的所有信号将会一致有界。且当。图2.2 过参数化设计过程：每一步产生一个新的状态变量一个稳定化函数和未知参数向量的一个新的估计我们可以明显看出，对于系统（2-7），系统的阶数就是系统的设计步数，且每一步产生未知参数向量的新的一个参数估计，一个稳定化函数，一个新的状态变量。所以，若系统含有未知参数的个数为，则这种自适应控制器需要进行参数估计的次数为次，如图 2.2 所示2.3 一些重要的稳定性提法和结果定义2.136 假如对所有的与中的任意的一个紧集合，存在一个数和一个，使对所有的，式中的为任意的初始时刻，则系统的解是半全局性的一致本质有界。考虑如下线性时变离散系统 （2-22）其中是维数恰当的矩阵。引理2.137 ，它是系统（2-22）相对于的状态传递矩阵，如果，则系统（2-22）关于指数稳定38。引理2.239 如果给出的序列为，它们满足下述三个条件：（1） （2-23）其中实际的向量序列为，而为的实向量序列。（2） （2-24）上式为一致有界性条件，它适用于一切的情况。（3） （2-25）上式为线性有界性条件，其中，由此可以得出，且有界。引理2.536 将定义为的一个开子集，且是光滑映射，若jacobian矩阵 （2-26）在某一点是非奇异的，或在某一点，则存在的一个邻域，使是微分同胚映射。2.4 本章小结本章首先介绍了narmax模型，它已成为研究离散非线性系统控制的主流数学模型。narmax 模型可根据f()非线性函数形式的不同分为三类。分别阐述了有理分式类narmax 模型、扩展的narmax 模型和多项式类narmax 模型。然后介绍backstepping控制设计方法，以一个单输入单输出的三阶参数严格反馈非线性系统为例详细介绍了其设计方法的基本原理和构成方法，最后补充了一些相当重要的稳定性结果。3 自适应backstepping控制三角结构narmax模型一直以来，研究非线性系统的控制设计是控制理论界研究的重要热点，但是在非线性系统的控制设计方面最大的也是最棘手的问题是没有统一有效的方法。人们广泛关注自适应backstepping方法在设计控制器过程中的结构性和系统性，近年来，科学家们使用该方法在非线性系统的控制方面已经得到相当显著的成果。值得我们注意的是，这些控制设计都是针对整个非线性系统，而且要求系统的结构形式必须是严格三角结构形式或间接的是三角结构形式。本章研究的是一类可三角结构化的narmax模型重构成参数严格反馈的形式，将上一章介绍的三阶参数离散非线性严格反馈形式的自适应backstepping方法推广到多阶的系统模型上，并对其进行稳定性分析与仿真验证，进而证明自适应backstepping方法在三角结构narmax模型上的可行性。3.1 自适应控制非线性系统的自适应控制在现代控制理论中是一个比较新的领域。虽然在这方面的理论相对而言甚少，但这么多年来经过许多科学家的不懈努力和辛勤工作，一些重要的非线性控制问题已被自适应控制成功解决了。3.1.1 自适应控制的历史1951年，li和draper首先提出自适应控制系统，他们当时介绍了一种控制系统，这种控制系统能使性能特性不确定的内燃机达到性能最优。这种类型的控制能自动达到操作点的最优状态，因此称为极值控制或者最优控制。1954年，tsien提出自适应这一专业名词。1955年，drenick和benner也提出了“自适应的概念。1958年是自适应控制发展的重要标志，美国麻省理工学院的怀特克教授及其实验室的同事们设计了一种自适应飞机飞行控制系统。他们提出这样一种控制方案：利用参考模型期望特性和实际飞行特性之间的误差去修改控制器的参数，使飞机飞行达到最理想的状态，这就是模型参考自适应控制系统。但是当时的计算机技术和现代控制理论还不成熟，由于飞机的失事这种方法被搁置。此后，德国学者帕克斯、巴伽德相继提出的李雅普诺夫稳定性理论，法国学者兰岛提出popov的超稳定性理论，而使其得到很大的发展，1974年，美国学者纳仁和马拿坡也对模型参考自适应控制系统做出了很多贡献，正是由于这些专家学者们的不断工作，才逐步丰富和完善了模型参考自适应控制理论。使之成为一种最基本的自适应控制系统。1973年，瑞典的威顿马克和阿斯爪穆提出了另一类重要的自适应控制即自校正调节器(str)。由于这种调节器算法很容易在微处理器上实现，因而受到各国学者的普遍关注。并且掀起一波发展各种新型的str和探索新的应用的浪潮。此后英国的圭氏瓦波和克拉克在1979年提出了一种广义最小方差自校正控制器，它克服了自校正控制不能用于非最小相位系统等缺点。保持了调节器显示简单的特点，又具有非常好的鲁棒性和直观性，1976年，英国的艾敦斯首次提出了极点配置自校正控制技术。正是这些学者们的不懈努力，使自适应校正控制系统有了很大的发展。在自适应控制系统的设计方法、步长性、稳定性和收敛性方面，澳大利亚的古德文。美国的莫斯和纳仁做出了许多研究。我国学者陈翰馥在鲁棒性方面和收敛性分析方面也作出了很多贡献。艾德伽和兰岛对自校正控制与模型参考自适应控制之间的关系也进行了研究。另外，对非线性系统研究的不断深入也极大地促进了人们对自适应控制的认识和理解。二十世纪九十年代以后，人们针对各种不同的控制问题，将智能控制技术和非线性控制方法逐渐与自适应控制思想相结合，从而产生各种新型自适应控制器多年来，自适应控制的理论研究取得了很多成就。从设计到实施，从结构到算法，不断出现形形色色的自适应控制方案，但总的来说，自适应控制理论分析研究的少，自适应控制算法研究的多。这是因为：不论是非线性时变过程还是线性时不变过程，由于引入了自适应机构，致使整个自适应控制系统表现出相当强的非线性时变特征。系统性能之间的参数、控制器参数和过程参数难以用传统的数学方式表示，因此想要分析清楚十分困难。这些理论研究方面的问题主要包括系统的鲁棒性、步长性和稳定性。3.1.2 自适应控制的概况自适应控制是具有一定适应能力的控制系统15，它就像自然界的生物那样能够认识周围环境的变化，不断改变控制器的参数与结构，并且自动调整控制作用，以保证系统能够达到非常满意的控制品质。其中最为关键的是它必须适当的修正控制器，以驱动系统走向最优状态。任何一个实际的系统都具有一定的不确定性，这些不确定性有时表现在系统外部，有时表现在系统内部。系统外部的不确定性主要是指外部环境的变化对系统的影响，这可以等效为系统的扰动。扰动通常是不可测的因素，可能是确定的，又有可能是随机的，还有一些测量噪声也是不确定的。系统内部的不确定性主要是指过程数学模型事先可能有未知的的结构和参数。自适应器被控对象控制器设定值r(t)(参考输入)控制量u(t)干扰v(t)被控量y(t)(输出)图1 自适应控制系统原理图在控制系统中若过程的数学模型或被控对象事先是很难确定的，或者即使在某一条件下确定了数学模型，若工况改变，其动态参数乃至于模型的结构仍经常变化，这样常规调节器得不到很好的控制品质。在以上这些情况下用常规调节器不可能得到良好且满意的控制品质。因此，需要设计一种能够自动地补偿在模型输入信号、阶次和参数等方面非预知变化的特殊控制系统，自适应控制系统应运而生。自适应控制系统的组成主要有自适应器、被控对象、控制器及自适应回路和反馈控制回路。图1是自适应控制系统原理框图。一个比较完善的自适应控制系统有三个基本特征：一是系统本身不断地检测并处理信息，了解系统当前的状态。二是自动调整可调控制器，使整个系统始终运行在最优工作状态下，至少也得运行在次最优工作状态下。三是进行性能准则优化，产生自适应控制律。自适应控制具有“辨识，决策，修改”的功能。先说辨识，即不断地测取系统或被控对象的信号和参数，并加以处理，以获得系统或被控对象的状态；再说决策，即根据事先给定的准则和所辨识的系统状态作出判断，由此得出具体的控制规律；最后说修改，即对决策所计算出来的控制参量必须不断地适当修正19。在自适应控制中的一个关键因素在线确定过程参数，它已成为自校正调节器的重要组成部分；系统辨识的主要内容包括：先进行模型结构选择，然后是实验设计，再是参数估计，最后是模型验证。自适应系统中使用的参数估计方法与其密切相关，在自适应系统中系统辨识是自动实现的。自适应控制系统的基本结构有两种：一种是前馈自适应控制结构；另一种是反馈自适应控制结构。自适应控制系统的从实用角度可以分为三大类：自校正控制系统（stcs）、模型参考自适应控制系统（mracs）和其它自适应控制系统。在目前工程中应用较多且研究较成熟的是前两类。自校正控制系统在线计算量大，系统在线实时的求解线性方程组是参数估计，但它使用较为灵活，有很强的适应性，且研究周期较短。而模型参考自适应控制系统在线计算量小，实现可通过模拟线路，但必须针对系统的具体特性做大量的计算和稳定性分析，且研究周期较长。近几年来，很多先进理论应用于自适应控制系统，它们是：变结构控制、鲁棒控制、模糊集合论、神经元网络、人工智能等。由此产生变结构自适应控制系统、鲁棒自适应控制系统、基于模糊集合论的自适应控制系统、基于神经元网络理论的自适应控制系统、以及基于人工智能的自适应控制系统等。3.1.3 自适应控制的发展和应用任意一个自适应控制系统都可视为非线性系统。自适应控制的主要理论基础是系统辨识、随机过程、稳定性理论和线性代数等。控制理论的进展关系着自适应控制的发展，自适应控制技术受到控制理论的许多成果的逐步渗透，许多新型的控制技术因控制理论与自适应的基本思想的结合产生，如自适应思想与神经网络技术结合形成的神经网络自适应控制；自适应思想与模糊技术结合形成的模糊自适应控制；自适应思想与智能控制技术结合形成的多模型自适应控制及智能自适应控制；自适应思想与预报预测技术结合形成的自适应预测预报控制等。总之，自适应控制技术目前已在许多领域广泛应用，例如：生物工程，武器系统，动力系统舰船驾驶，机器人操作，工业过程的控制，化工过程，以及飞船、导弹、火箭和飞机的控制，并逐步渗透到通信、交通、经济管理等各个领域。可以预言，随着计算机技术的迅速发展和对控制系统要求的不断提高，自适应控制理论及技术将出现十分广阔的应用前景，我们相信自适应控制将会有越来越多的新方法，新结构和新方案展现在人们面前。3.2 离散时间参数不确定非线性系统kanellakopous教授研究了只有一个参数未知的离散非线性系统，从而得出具有非线性数据加权的改进的最小二乘估计器，而且不需要增加任何非线性增长条件就可以通过 lyapunov分析方法对该标量确定性非线性系统进行全局稳定化。文献21将其推广到了多参数未知的情况。kokotovic和yeh为了避免使用lyapunov函数，克服在离散时间系统中难以构造 lyapunov 函数的困难，采用系统化的 backstepping 方法分别对两种离散非线性系统，参数化严格反馈和输出反馈的系统进行自适应控制器的设计。相比连续时间系统，该方案没有考虑在实际中难以避免的外部干扰、未建模动态和时变参数对系统的影响，只能在非常严格的线性增长条件下来保证系统的稳定性。因此，提出了鲁棒设计方案45，对未建模动态或者包含外部干扰的不确定离散非线性系统，我们结合 backstepping 方法和参数投影估计方法来设计鲁棒自适应控制器。其模型为 （3-1）其中为已知非线性函数，为未知参数向量，为未知函数如未建模动态或者外部干扰。采用自适应界化的方法给出外部干扰上界的相关假定和参数的范围，来证明系统的所有信号都有界，而且也可以保证所有的跟踪误差有界。这是一种直接自适应 backstepping 方法，每一步都采用一种自适应律，进而产生了过参数化问题。专家们将其推广到时变参数系统46，并且还提出了避免过参数化的方法47，在其构造过程中，利用每一步的实际状态变量与虚拟控制变量间的误差信息，得到自适应系统的小的跟踪误差和全局稳定性。madani利用