圆的经典例题透析

经典例题透析经典例题透析 1 1垂径定理及其应用垂径定理及其应用 在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、 判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点.应用垂径定理可以进行线段的垂直、 平分以及弓形面积的计算等. 1某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆 形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面图； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这 个圆形截面的半径. 思路点拨：思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识. 解：解：(1)作法略.如图所示. (2)如图所示，过 O 作 OCAB 于 D，交于 C， OCAB， . 由题意可知，CD=4cm. 设半径为 x cm，则. 在 RtBOD 中，由勾股定理得： . . 即这个圆形截面的半径为 10cm. 总结升华：总结升华：在解答有关圆的问题时，常需要运用图中已知条件寻找线段之间、角之间、 弧之间的关系，从中探索出如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题的目的， 此题还可以进一步求出阴影部分的周长或面积等. 举一反三：举一反三： 【变式 1】 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作九章算术中的问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表 示为：如图所示，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，CE=1 寸，AB=10 寸，则直径 CD 的长为( ) A12.5 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸 答案：答案：D 解析：解析：因为直径 CD 垂直于弦 AB，所以可通过连接 OA(或 OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧” ， 知(寸)，在 RtAOE 中， 即，解得 OA=13，进而求得 CD=26(寸). 2 2圆周角及其应用圆周角及其应用 圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不 多，都是隐含在其他题目中. 2如图所示，ABC 内接于O，点 D 是 CA 延长线上一点，若BOC=120， BAD 等于( ) A.30 B.60 C.75 D.90 思路点拨：思路点拨：本题可求先出BAC 的度数，BAC 所对的弧是优弧，则该弧所对的 圆心角度数为 360-120=240，所以，因此， . 答案：答案：B. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，O 的内接四边形 ABCD 中，AB=CD，则图中与1 相等的角 有_. 答案：答案：6，2，5. 解析：解析：本题中由弦 AB=CD 可知，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，故有 第 3 页 共 11 页 1 =6=2=5. 【变式 2】如图所示，已知 AB 为O 的直径，AC 为弦， ODBC，BC=4cm. (1)说明 ACOD； (2)求 OD 的长. 解：解：(1) AB 是O 的直径， C=90， ODCB， ADO=C=90， ACOD. (2) ODBC，O 是 AB 的中点， D 是 AC 的中点， . 3 3切线的性质及判定切线的性质及判定 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线 的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题. 3如图所示，直线 MN 是O 的切线，A 为切点，过 A 的作弦交O 于 B、C，连接 BC，证明NAC=B. 思路点拨：思路点拨：如图所示，过 A 作O 的直径 AD，连接 DC，利用角的关系，可证明 NAC 与B 相等. 证明：证明：过 A 作直径 AD，连接 DC， ACD=90， D+DAC= 90. B=D， B+DAC=90. MN 是O 的切线， NAD= 90， NAC=B. 总结升华：总结升华：已知切线，经常添加过切点的半径或直径，利用直径(或半径)与切线的垂 直关系来解决问题. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，DB 切O 于点 A，AOM=66，则 DAM=_. 答案：答案：147. 解析：解析：因为 DB 是O 的切线，所以 OADB，由AOM=66， 得OAM=，DAM=90+57=147. 【变式 2】如图所示，AB 是O 的直径， 是O 的切线，C 是切点，过 A、B 分别 作 的垂线，垂足分别为 E、F，证明 EC=CF. 思路点拨：思路点拨：已知 是O 的切线，连接过切点 C 的半径 OC，易得 AEOCBF，因 为 O 是直径的中点，因此，EC=CF. 解：解：连接 OC. EF 是O 的切线，OCEF. AFEF，BFEF， AEOCBF. AO=BO. EC=CF. 总结升华：总结升华：利用圆心是直径的中点，本题可证得 OC 为梯形 AEFB 的中位线.进一步可 得 AE+BF=AB. 【变式 3】如图所示，ABC 内接于O，要使过点 A 的直线 EF 与O 相切于 A 点， 则图中的角应满足的条件是_(只填一个即可). 答案：答案：BAE=C 或CAF=B. 4如图所示，EB、BC 是O 是两条切线，B、C 是切点，A、D 是O 上两点， 如果E=46，DCF=32，那么A 的度数是_. 第 5 页 共 11 页 答案：答案：99. 解析：解析：由 EB=EC，E=46知，ECB= 67，从而BCD=180-67-32 =81， 在O 中，BCD 与A 互补，所以A=180-81=99. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，已知在ABC 中，B=90，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心、 OB 为半径的圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D.求证：DEOC； 证明：证明：连接 OD, 则ODC=90，ODE=OED， 由切线长定理得：CD=CB， RtODCRtOBC， COB=COD， DOE+2OED=180， 又 DOE+2COB=180， OED=COB， DE/OC 4 4两圆位置的判定两圆位置的判定 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以 选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考 查基础知识，而且考查综合运用能力. 5填空题 (1)已知圆的直径为 13 cm，圆心到直线 的距离为 6cm，那么直线 和这个圆的公共点 的个数是_. (2)两个圆内切，其中一个圆的半径为 5，两圆的圆心距为 2，则另一个圆的半径是 _. 思路点拨：思路点拨：(1)直线与圆的位置关系：相离、相切、相交.判定方法有两种：一是看它们 的公共点的个数；二是比较圆心到直线 的距离与圆的半径的大小.实际上这两种方法是等 价的，由题意可知，圆的半径为 6.5cm，而圆心到直线 的距离 6cmy2，即按甲方案剪得的正方形面积较大. 总结升华：总结升华：此类问题是生活中的一个实际问题，解决此类问题时，应先将实际问题转 化为数学问题. 10已知射线 OF 交O 于 B，半径 OAOB，P 是射线 OF 上的一个动点(不与 O、B 重合)，直线 AP 交O 于 D，过 D 作O 的切线交射线 OF 于 E. (1)如图所示是点 P 在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点 P 在圆外移 动时符合已知条 件的图形. (2)观察图形，点 P 在移动过程中，DPE 的边、角或形状存在某些规律，请你通过观 察、测量、比较写 出一条与DPE 的边、角或形状有关的规律. (3)点 P 在移动过程中，设DEP 的度数为 x，OAP 的度数为 y，求 y 与 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的 取值范围. 思路点拨：思路点拨：如图所示，连接 OD，因为 DE 是O 的切线，故ODE=90，又 OA=OD，故A=ODA， OAP+OPD=90，ODA+ADC=90，故OPD=ADC=EDP，D