湖北省2008届高三八校第二次联考(数学理)

鄂南高中 黄石二中 华师一附中 荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 黄冈中学 数 学 试 题(理科) 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分卷（非选择题）两部分，满分 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟. 第卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1，若 则的值是（ ）Z C12zzi 43i z A2i B C D2i22 2 已知，则的值为（ ） 310 ,tancot 43 tan A B C或 D 3 1 3 3 1 3 4 3 3二面角为，A,B 是棱 上的两点，AC,BD 分别在半平面内，且l 60l, ,ACl BDl ，则的长为（ ）,2ABACa BDaCD A B C D 2a5aa3a 4在数列中，若（为常数） ，则称为“等差比数列”. 下列是对“等差比数 n a * nN 21 1 nn nn aa k aa k n a 列”的判断： 不可能为 0 等差数列一定是等差比数列 k 等比数列一定是等差比数列 等差比数列中可以有无数项为 0 其中正确的判断是（ ） A B C D 5已知满足约束条件则的最小值是（ ）, x y 0, 344, 0, x xy y 22 2xyx A BC D 2 5 21 24 25 1 6某电视台连续播放 6 个广告，其中有三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告. 要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不 能连续播放，则不同的播放方式有（ ） A48 种 B98 种 C108 种 D120 种 7一个凸多面体各面都是三角形，各顶点引出的棱的条数均为 4，则这个多面体只能是（ ） A四面体 B六面体 C七面体 D八面体 2008 届高三第二次联考 8将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，若函数满足 32 33f xxxxa g x g x ，则向量的坐标是（ ）111gxgxa A B C D1, 1 3 (2, ) 2 2,2 3 ( 2,) 2 9设函数，区间，集合,则使成立 2 1 x f xx x R,Ma bab其中 ,Ny yf xxMMN 的实数对有（ ） , a b A1 个 B3 个C2 个 D非以上答案的个数 10经过椭圆的右焦点任意作弦，过作椭圆右准线的垂线，垂足为，则直线 22 1 43 xy ABAAMMBM 必经过点（ ） A BCD2,0 5 ( ,0) 2 3,0 7 ( ,0) 2 第卷（非选择题，共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11过点的直线 与圆：交于两点，为圆心，当最小时，直1,2MlC 22 3425xy,A BCACB 线 的方程是 l 12 已知函数的反函数的图象恒过定点，且点在直线上.若 1 ( )301 x f xaaa 且AA10mxny ，则的最小值为 0,0mn 12 mn 13已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为 O，满足, 则该三棱锥外接球3VABC0OAOBOC 的体积为 14设的整数部分和小数部分分别为，则的值为 21 174* n n N nn Mm与 nnn mMm 15设函数的定义域、值域分别为 A,B，且是单元集，下列命题：( )f xAB 若，则； ABa( )f aa 若 B 不是单元集，则满足的值可能不存在；( )( )ff xf xx 若具有奇偶性，则可能为偶函数；( )f x( )f x 若不是常数函数，则不可能为周期函数；( )f x( )f x NO.01 第 3 页 共 8 页 其中，正确命题的序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分 12 分） 高考数学试题中共有 10 道选择题，每道选择题都有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分 标准规定：“每题只选 1 项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分.” 某考生每道题都给出了一个答案，已 确定有 6 道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的，有一道题可 以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜，试求出该考生： （）得 50 分的概率； （）得多少分的可能性最大； （）所得分数的数学期望 17 （本小题满分 12 分） 如图，已知四棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，四边SABCDSADaSAD ABCD 形为菱形，为的中点，为的中点. ABCD60DAB PADQSB （）求证：平面；/PQSCD （）求二面角的大小BPCQ 18 （本小题满分 12 分） 两家共同拥有一块土地，形状是等腰直角三角形，m，如果两家人准备ABC90C ACa 划分一条分割线(直线段)，使两家所得土地相等，其中分别在线段上,P Q,AB AC （）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分割线，才能使造墙费用最少； （）如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分割线，才能使果树的产量最大 19 （本小题满分 12 分） S Q D A B P C 已知 A,B 是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足 2 20xpy pO,OA OB OAOBOAOB （）求证：直线经过一定点；AB （）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值AB20yx 2 5 5 p 20 （本小题满分 13 分） 已知 ，其中.( )lnf xaxbx0,0ab （）求使在上是减函数的充要条件；)(xf0, （）求在上的最大值；)(xf0, （）解不等式 11 ln 1ln2 1xx xx 21 （本小题满分 14 分） 已知数列，满足，数列的前 项和为. n a n b 11 2,21,1 nnnnn aaa aba n bn 2 , nnnn S TSS （）求数列的通项公式； n b （）求证：； 1nn TT （）求证：当时，2n 2 711 12 n n S NO.01 第 5 页 共 8 页 理数参考答案与评分建议理数参考答案与评分建议 题号12345678910 答案ABADDCDBBB 11. 12. 8 13. 14. 1 15. 30xy 16 3 16.（1）得分为 50 分，10 道题必须全做对. 在其余的四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道答对的概率 1 2 1 3 为，所以得分为 50 分的概率为：P （3 分） 1 4 1 1 1 11 . 2 2 3 448 （2）依题意，该考生得分的范围为30，35，40，45，50. 得分为 30 分表示只做对了 6 道题，其余各题都做错，所以概率为： 1 1 1 2 361; 2 2 3 4488 P 同样可以求得得分为 35 分的概率为： 1 22 1 1 2 31 1 1 31 1 2 117 ; 2 2 3 42 2 3 42 2 3 448 PC 得分为 40 分的概率为：; 得分为 45 分的概率为：; 3 17 48 P 4 7 48 P 得分为 50 分的概率为： 5 1 . 48 P 所以得 35 分或得 40 分的可能性最大. （8 分） （3）由（2）可知的分布列为： 3035404550 P 6 48 17 48 17 48 7 48 1 48 （12 分） 6171771455 3035404550. 484848484812 E 17. 解：（1）证明取 SC 的中点 R，连 QR, DR. 由题意知：PDBC 且 PD=BC; 1 2 QRBC 且 QP=BC, 1 2 QRPD 且 QR=PD. PQDR, 又 PQ面 SCD, PQ面 SCD. （6 分） （2）法一：连接 SP，,.SPADSCDABCDSPABCD面面面 S Q D A B P C .,PBHQHQHABCDQHSP取的中点，连，得面A , 1133 , 2224 37 90 ,. 22 HGPCGQGQGH QHSPaa PBCPBCPBa BCaPCa 作于连由三垂线定理知：即为所求二面角的平面角. 而 在中， . ， 33 sin 4 72 7 2 a HGPHBPCaa a 3 7 4 tan 2 3 2 7 a QH QGH HG a （12 分）BPCQ二面角的大小为 7 arctan. 2 （2）法二：以 P 为坐标原点，PA 为 x 轴，PB 为 y 轴，PS 为 z 轴建立空间直角坐标系， 则 S（） ，B（）,C（） ，Q（）. 3 0,0, 2 a 3 0,0 2 a 3 ,0 2 aa 33 0, 44 aa 面 PBC 的法向量为（）,设为面 PQC 的一个法向量，PS 3 0,0, 2 a( , , )nx y z 由， 33 0 03 44 ( , 3,3) 2 03 0 4 ayaz n PQ n n PC axay cos， 3 22 2 ,11 1133311 22 a n PS a （12 分）BPCQ二面角的大小为 2 11 arccos. 11 18设 AQ=x，AP=y， ，又，. 12 sin45 24 Sxyxy APQ A 2 11 24 APQABC SSa AA 2 2 2 xya PQ. 22222 2cos45xyxyxya （1）, ，此时，又. 222 22xyxya21PQaxy 4 2 28 , 22 xyaxya 即取 AP=AQ=m 时，PQ 的长最短，因而造墙费用最少. （6 分） 4 8 2 a （2）, . 1 2 , 2 yaxaxa又 2 122 2 , 222 a axaxyay x 由得 NO.01 第 7 页 共 8 页 考察函数，得当时，函数递增，当时，函数递减, 4 222 2 2 a uxyx x 4 18 , 22 xaa 4 8 , 2 xa a 所以函数的最大值，此时. 2 max 9 4 ua 1 2 xa 故当 P 取在 B 点，Q 取在 AC 的中点处时，PQ 最长，因而果树的产量最大. （12 分） 19. , .设 A,B 两点的坐标为（） ， （）则 .OAOBOAOB OAOB 11 ,x y 22 ,xy 22 1122 2,2xpyxpy （1）经过 A，B 两点的直线方程为 211211 ()()()().xxyyyyxx 由，得 22 12 12 , 22 xx yy pp 22 21 2111 ()()()(). 22 xx xxyyxx pp . 令，得, . 21 1211 () 2 xx xxyyxx p 0x 21 11 () 2 xx yyx p 12 2 x x y p 从而. (否则, 有一个为零向量), 1212 0,OAOBx xy y 22 12 12 2 0 4 x x x x p 12 0x x ,OA OB . 代入，得 ，始终经过定点. （6 分） 2 12 4x xp 2ypAB0,2p （2）设 AB 中点的坐标为()，则 ., x y 1212 2,2 ,xxxyyy 22 121212 222 ()xxpypyp yy 又, ， 22222 12121212 ()2()8xxxxx xxxp 22 484xppy 即 . 2 1 2yxp p AB 的中点到直线的距离.20yx 2 5 yx d 将代入，得. 22 2 111 22()() 555 xpxxppxpp ppp d 因为 d 的最小值为. （12 分） 2 52 5 ,2 555 p p （若用导数求切线的斜率为 2 的切点坐标，参考给分.） 20.（1）. , 时，即.( )1 aabax fx axbaxb 0,0,0xab( )0fx0abab 当时，, 即.ab0,0,0.0,0abxaxbabax( )0fx 在上是减函数的充要条件为. （4 分）( )f x0,)ba （2）由（1）知，当时为减函数，的最大值为；ba( )f x( )f x(0)lnfb 当时，当时，当时，ba( ) abax fx axb 0 ab x a ( )0fx ab x a ( )0fx 即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，0,) ab a ( )f x,) ab a ( )f x ab x a ( )f x 最大值为， 即 （13 分） max( ) ()ln abab fxfa aa max ln(), ( ) ln(). bba fx ab aba a （3）在（1）中取，即, 由（1）知在上是减函数.1ab( )ln(1)f xxx( )f x0,) ，即， 11 ln(1)ln2 1xx xx 1 ()(1)fxf x ，解得或. 1 1x x 15 0 2 x 15 2 x 故所求不等式的解集为 （8 分） 1515 ,0),) 22 21 （1）由，得，代入，得，1 nn ba1 nn ab 1 21 nnn aa a 1 2(1)1(1)(1) nnn bbb 整理，得,从而有， 11 0 nnnn b bbb 1 11 1 nn bb 11 12 11ba 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，即. （4 分） 1 n b 1 , n n b