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分式方程及其应用8考点1 分式方程1. 分式方程 分母里含有字母的方程叫做分式方程。2. 使方程的分母等于零的根在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为零，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为零。3. 解分式方程的基本思想 把分式方程转化为整式方程，即分式方程 去分母 整式方程。考点2 分式方程的常用解法直接去分母法：方程两边同乘各分式的公分母，约去分母，化为整式方程，再求根、验根。注意：有些分式方程直接去分母会产生不易解的高次方程，因此可选择一些特殊方法，先将原方程进行有效变形。考点3 列分式方程解应用题的注意事项列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。类型之一 分式方程的概念命题角度：1. 分式方程的概念2. 分式方程的增根：分式方程的分母等于零的根。例1 若关于x的分式方程无解，则a= 点评：分式方程无解是指由分式方程化成的整式方程的解使分式方程的分母为0，此时分式方程无解，也可能是整式方程无解。6下列各式中，不是分式方程的是（ ） 1若分式方程有增根，则增根为 类型之二 分式方程的解法命题角度“1. 去分母法2. 换元法3. 注意解分式方程必须检验例2 解方程：解析：去分母，把分式方程化为整式方程，结果要检验。解：方程的两边同乘以，得，解得，检验：当时，所以是原方程的根。点评：（1）检验是解分式方程重要的步骤，不可忽略；（2）换元法是重要的数学方法，关键是一个未知数替换原方程的一个代数式，使原方程转化为该未知数的方程。变式题：解方程：点评：检验的方法是把求出来的解代入原方程的最简公分母，结果为零时原方程无解。常用方法1一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。然后解这个整式方程。解 原方程就是方程两边同乘以（x3）（x3），约去分母，得4（x3）x（x3）=x292x。2换元法使用换元法时一定注意:换元后使原方程或方程组变得简单明显.能使解题步骤简单.能使解题省时省力，过程简单，结果准确.对求出的方程(方程组)的根一定要检验，避免出现增根或漏根现象. 分析 本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解 设x2x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=2，y2=1。当y=2时，x2x=2。0，该方程无实根；当y=1时，x2x=1，经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。（1）、单个换元：例1. 解方程。 分析：方程的分母都含有 故可设， 然后整理可得， 解得中， 求出方程的解，并检验。 例2. 解方程。 分析：方程变形为， 即， 方程可通过互为倒数关系换元： 设，然后整理得， 可解得， 代入，求方程的解，并检验。（2）、部分换元： 部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数 例3. 解方程 分析：方程变形： ， 方程可进行部分换元： 设，方程整理可得，可解得， 再代入，求出方程的解并检验。 例4. 解方程 。 分析： 方程整理可得， 解得 再代入中， 求出方程的解并检验。（3）、系数对称方程换元 例5. 解方程： 分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元： 变形：， ， 设， 得，可解出方程。（4）、高次方程的平均值换元法 例6. 解方程 。 分析：变形， 设， ， 把中，可解出方程。 例7. 解方程。 分析：方程变形 设 。 把中，可求解。 例8. 解方程。 分析：设， 方程变为（舍去）或 将中，可求解。（5）、多元换元 例9. 解方程 。 分析：观察发现： 。 设， ， 或。（6）、数字换元 例10. 解方程 。 分析：这是三次方程，且系数中含有无理数，不易求解，若反过来看把x看作已知数，把设为t，则方程就变为关于t的一元二次方程。 解：令， 原方程变为，解得。则。， 。3分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。例3 解关于x的方程 解：4拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。例4 解方程解 将方程两边拆项，得 解得 即x=3是原方程的根。5因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。解 将各分式的分子、分母分解因式，得x10，两边同乘以x1，得 检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根为x1=1，x2=0。6配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。例6 解方程。解：移项，得 配方得 直接开平方得：x26x5=0， 解这个方程，得x=5，或x=1。检验知，它们都是原方程的根。所以，原方程的根是x1=5，x2=5，x3=1，x4=1。7应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。下面以合比定理为例来说明。x（x23x2）x（2x23x1）=0，即 x（x21）=0，x=0或x=1。检验知，x=1是原方程的增根。所以，原方程的根是x1=0，x2=1。练习一、填空题2分式方程的解为 3分式方程的解为 4若分式的值为，则y 5当x 时，分式与另一个分式的倒数相等。6当x 时，分式与的值相等。7若分式与的和为1，则x的值为 8.若分式无意义，当时，则m的值为 。9.用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个方程是 。二、选择题11分式方程的解为 （ ） a b c d12对于分式方程,有以下说法:最简公分母为(x3)2；转化为整式方程x23，解得x5；原方程的解为x3；原方程无解，其中，正确说法的个数为 （ ） a4 b3 c2 d113对于公式，已知f，求。则公式变形的结果为 （ ） a b c d14一个数与6的和的倒数，与这个数的倒数互为相反数，设这个数为x，列方程得 （ ） a b c d15甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，列方程得 （ ） a b c d16某面粉厂现在平均每小时比原计划多生产面粉330kg，已知现在生产面粉33000kg所需的时间和原计划生产23100kg面粉的时间相同，若设现在平均每小时生产面粉x kg，则根据题意，可以列出分式方程为 （）a b c d三、解分式方程1. 解分式方程1）. 2）. 3）. 。 4）. 5）. 6）. 7）. 8）. 9）. 10）. 11）. 12）. 13）. 14）. 15）. 16）. 17）. 18）. 19）. 20）. 21）. （22）.1； （23）. ； （24）=1； (25) . (26) （27） (28) (29) (30) （31) （32） 33. 34）. 35）.36）. 37）. 38）. 39）. 40） .41）. 42）. 43）. 44）.2.用换元法解分式方程（1）.（2）（3） .（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11）3.解下列关于x的方程： （1）（2）（3）（4）4.当m为何值时，分式方程无解。类型之三 分式方程应用命题角度：1. 利用分式方程解决生活实际问题2. 注意分式方程要对方程和实际意义双检验例3 小明离家2.4千米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆，已知小明骑自行车从家赶行体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍。（1） 小明步行的速度是多少米/分钟？（2） 小明能否在球赛开始前赶到体育馆？点评：（1）此类问题综合运用分式方程与不等式解决实际问题，（2）将应用题设计成有一定探索性、开放型的问题，考查应用能力的同时，也考查了探索创造能力。分式方程应用题分类解析一、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式解：设混合后的单价为0.5kg 元，则甲种原料的单价为0.5kg 元，混合后的总价值为(20004800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为，乙种原料的重量为，依题意，得：=，解得， 经检验，是原方程的根，所以即混合后的单价为0.5kg 17元评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题2、经销某种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润提高了8%，那末原来这种商品的利润率是多少？设原进价为单位1，现进价为1-6.4%，原利润率是x 销售额=进价*(1+利润率) 总体销售额是一致的，进价与(1+利润率)成反比 1/(1-6.4%)=(1+x+8%)/(1+x) x=17% 原利润率是17%二、工程类应用性问题例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组解：设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意可得：，得=，得=，即z = 30，得=，即x = 10，得=，即y = 15经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元所以，由甲队单独完成此工程花钱最少评析：在求解时，把，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等解：设普通快车车的平均速度为kmh，则直达快车的平均速度为1.5kmh，依题意，得=，解得，经检验，是方程的根，且符合题意，即普通快车车的平均速度为46kmh，直达快车的平均速度为69kmh列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义四、轮船顺逆水应用问题例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米时，求船在静水中的速度分析：此题的很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即=设船在静水中的速度为千米时，又知水流速度，于是顺水航行、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决解：设船在静水中速度为千米时，则顺水航行速度为千米时，逆水航行速度为千米时，依题意，得=，解得经检验，是所列方程的根即船在静水中的速度是10千米时五、浓度应用性问题例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%分析：浓度问题的基本关系是：=浓度此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：设加入盐千克溶液溶质浓度加盐前404015%15%加盐后404015%20%根据基本关系即可列方程解：设应加入盐千克，依题意，得=100(4015%) = 20(40)，解得经检验，是所列方程的根，即加入盐2.5千克六、货物运输应用性问题例6 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运次、次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t问：乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的倍，列出分式方程解：设这批货物共有t，甲车每次运t，乙车每次运t，即乙车每次运货量是甲车的2倍甲车每次运货量是丙车每次运货量的倍，乙车每次运货量是丙车每次运货量的倍则180= 270，解得所以这批货物总量为1801802 = 540 (t)甲车运180t，丙车运540180 =360 (t)，丙车每次运货量也是甲车的2倍甲车车主应得运费：54020 = 2160(元)，乙、丙两车主各得运费：54020 = 4320(元)即应付甲车主运费2160元，付乙、丙两车车主运费各4320元18一个工厂接了一个订单，加工生产720 t产品，预计每天生产48 t，就能按期交货，后来，由于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？19用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？20近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设欲修建的某高速公路要招标现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所需费用110万元，问：（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？21周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为2：3（1）直接写出甲、乙两组行进速度之比（2）当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰a处，且a处离山顶的路程尚有12 km，试求山脚到山顶的路程（3）在第（2）题所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从a处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰b处与乙组相遇，请你先根据以上情景提出一个相应的间题，再给予解答（要求：问题的提出不得再增添其他条件；问题的解决必须利用上述情景提供的所有己 知条件）练习题8在x克水中加入a克盐，则盐水的浓度为 9某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程 10ab两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从a港出发顺水航行，以a kmh的速度到达b港，已知水流的速度为x kmh，则这艘轮船返回到a港所用的时间为 h。1.甲、乙、丙三个数字一次大1，若丙数的倒数的两倍与乙数的倒数之和与甲数的倒数的三倍相等，求甲、乙、丙 2.一个两位数的个位上的数为7，若把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值为8：3，求原两位数3.一艘轮船从a港口向b港口行驶，以在本航线航行时的常规速度走完全程的5分之3，此后航速减小了10海里每小时，并以此速度一直行驶到b港口。这样，本次航行减速后行驶所用的时间和未减速时行驶所用的时间相同。这艘轮船在本航线的常规速度是多少？ 4.甲乙两地相距125千米，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4小时，晚到1/2小时，已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各式多少？5.某车队计划t天运送m吨货物，如果已经运送了其中的n吨，（n小于m）则运完剩下货物需要的天数t1=_,平均每天运出货物的吨数a=_6.某点3月份购进一批t恤衫，进价合计是12万元。因畅销，商店又于4月份购进一批相同的t恤衫，进价合计是18.75万元，数量是3月份的1.5倍，但买件进价涨了5元，这两批t恤衫开始都以180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打8折出售，很快售完，问商店供获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？ 分享给你的朋友吧： i贴吧 新浪微博 腾讯微博 qq空间 人人网 豆瓣 msn 对我有帮助9某公司去年产值为50万元，计划今年产值达到x万元，使去年的产值仅为去年与今年两年产值和的20%，依题意可列方程 10ab两港之间的海上行程仅为s km，一艘轮船从a港出发顺水航行，以a kmh的速度到达b港，已知水流的速度为x kmh，则这艘轮船返回到a港所用的时间为 h。12对于分式方程 ,有以下说法:最简公分母为(x3)2；转化为整式方程x23，解得x5；原方程的解为x3；原方程无解，其中，正确说法的个数为（ ） a4 b3 c