现代控制理论 东北大学高立群 清华大学出版社 第6章

第第 6 章章 “状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器”习题与解答习题与解答 6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。 1) 121 310 xxu 2) 10010 02101 00200 xxu 解 1) ，秩，系统完全能控，所以可以用状态反馈 11 03 c ubAb2 c u 任意配置特征值。 2) ，秩，系统不完全能 2 101010 010204 000000 c ubAbA b2 c u 控，所以不能通过状态反馈任意配置特征值。 6.2 已知系统为 12 23 3123 3 xx xx xxxxu 试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是，并画出闭环系统的结构图。3 解 根据题意，理想特征多项式为 *332 ( )(3)92727sssss 0100 0010 1113 u x =x+ 令，并带入原系统的状态方程，可得 123 ukkk x 123 010 001 1 31 31 3kkk xx 其特征多项式为，通过比较系数得 32 321 ( )(1 3)(1 3)(1 3 )ssk sk sk - 2 - 3 1 39,k 2 1 327,k 3 1 327,k 即，。 1 26 3 k 2 26 3 k 1 8 3 k 26268 333 ux 闭环系统的结构图： 3 1 x 2 x 3 x u 8 3 26 3 26 3 3 x 6.3 给定系统的传递函数为 1 ( ) (4)(8) G s s ss 试确定线性状态反馈律，使闭环极点为。2 4 7， 解 根据题意，理想特征多项式为 由传递函数 *32 ( )(2)(4)()1350567sssssss 32 11 ( ) (4)(8)1232 g s s sssss 可写出原系统的能控标准形 0100 0010 032121 u x =x+ 令，并带入原系统的状态方程，可得 123 ukkk x 123 010 001 3212kkk xx 其特征多项式为 32 321 ( )(12)(32)3ssk sk sk 通过比较系数得 - 3 - 1 56,k 2 3250,k 3 1213,k 即 1 56,k 。 2 18,k 3 1k 6.4 给定单输入线性定常系统为： 0001 1600 01120 u xx 试求出状态反馈使得闭环系统的特征值为。ukx * 123 2, 1, 1 jj 解 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。系统的特征多项式为 22 00 det()det1601872 0112 s sssss s IA 进而计算理想特征多项式 *32 3 1 ( )()(2)(1)(1)464 i i ssssj sjsss 于是，可求得 * 001122 ,4,66,14 k 再来计算变换阵 12 2 2 110072181 100161810 100001100 72181 1210 100 PbAbA b 并求出其逆 1 001 0112 118144 QP 从而，所要确定的反馈增益阵即为：k - 4 - 001 4,66,14011214,186,1220 118144 kkQ 6.5 给定系统的传递函数为 (1)(2) ( ) (1)(2)(3) ss g s sss 试问能否用状态反馈将函数变为： 和 (1) ( ) (2)(3) k s gs ss (2) ( ) (1)(3) k s gs ss 若有可能，试分别求出状态反馈增益阵，并画出结构图。k 解 当给定任意一个有理真分式传递函数时，都可以得到它的一个能控标准( )G s 形实现，利用这个能控标准形可任意配置闭环系统的极点。 对于传递函数 (1)(2) ( ) (1)(2)(3) ss G s sss ，所对应的能控标准型为 0100 0010 6521 u xx 利用上面两题中方法可知，通过状态反馈能将极点配置为18215ux ，此时所对应的闭环传递数为。通过状态反馈2,2,3 (1) ( ) (2)(3) k s gs ss 能将极点配置为，此时所对应的闭环传递数为341ux 1,1,3 。从而，可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点，但不能任意 (2) ( ) (1)(3) k s gs ss 配置其零点。 闭环系统结构图 - 5 - 1 x 2 x 3 x u 6 5 2 18 21 5 3 x 1 x 2 x 3 x u 6 5 2 3 4 1 3 x 6.6 判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 1) 22 2 32 21 ( ) 411 21 sss s s sss G 2) 31000 00110 01101 x =xu 21 1 021 y x 解 1) ， 1 min2,2 11d 1 32E 2 min1,1 10d 2 41E 非奇异，所以能用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 1 2 32 41 E E E - 6 - 2) 因为 ， 1 00 21 1101 1 01 c B 2 00 0211021 01 c B 所以，。又因为非奇异，所以能用状态反馈和输入 12 0dd 1 2 1 1 21 E E E E 变换实现解耦控制。 6.8 给定双输入双输出的线性定常受控系统为 010000 300210 000100 020001 1000 0010 xxu yx 试判定该系统用状态反馈和输入变换实现解耦？若能，试定出实现积分型解耦的和。KL 最后将解耦后子系统的极点分别配置到。 * 11122122 2, 4;2, 2jj 解 易知该系统完全能控能。 1) 判定能否解耦 因为 1 00 10 100000 00 01 c B 1 010000 300210 100010 000100 020001 c AB - 7 - 2 00 10 001000 00 01 c B 2 010000 300210 001001 000100 020001 c AB 于是可知 。因为非奇 1212 1, 1;10 , 01ddEE 1 2 10 01 E E E 异，因此可进行解耦。 2)导出积分型解耦系统 计算 2 11 2 2 103002 , 010200 c A EF c A 取 11 103002 , 010200 LEKE F -11 010000 000010 , 000100 000001 1000 0010 AABE FBBE CC 3)确定状态反馈增益矩阵K 令 1011 2021 00 00 kk K kk 则可得 - 8 - 1011 2021 01 01 kk kk ABK 对解耦后的两个子系统分别求出理想特征多项式 *2 1 *2 2 ( )(2)(4)68 ( )(2)(2)45 fsssss fssj sjss 进而，可求出 10112021 8, 6;8, 4kkkk 从而 8600 0054 K 4)确定受控系统实现解耦控制和极点配置的控制矩阵对 ,L K 1 10 01 LE 11 3002860011602 020000540254 KE FE KFK 5)确定出解耦后闭环系统的状态空间方程和传递函数矩阵 010000 860010 () 000100 005401 1000 0010 xABK xBLvxv yCxx 传递函数矩阵则为： 2 1 2 1 0 68 ( )() 1 0 45 ss ss ss KL GCIABKBL 6.9 给定系统的状态空间表达式为 - 9 - 1232 0110 1011 1 10 u y xx x 1)设计一个具有特征值为的全维状态观测器；3 4 5， 2)设计一个具有特征值为的降维状态观测器；3 4， 3)画出系统结构图。 解 1) 设计全维状态观测器 方法 1 T32 101 det()210366 311 s sssss s IA ， 1 3,a 2 6a 3 6a 观测器的期望特征多项式为 *32 ( )(3)(4)(5)124760sssssss ， * 1 12a * 2 47a * 3 60a T* 332211 54419aaaaaa E 21 TTTT2T 1 1 ()10 100 aa a QCA CAC 111631221 135310201 022100420 1 111 444 222 111 4400 822 444 111 222 PQ - 10 - TT 235 9 22 EE P 状态观测器的状态方程为 ()xAEC xBuEy 2323 22 1232 55 0111 100 22 1011 99 xuy 252723 3 222 2 535 10 222 1 10919 xuy 方法 2 1 2 3 123 det()det0111 10 101 00 00 00 E E E IAEC 12 22 33 123 det11 11 EE EE EE 32 1213123 (3)(226)(2246)EEEEEEE 与期望特征多项式比较系数得 12 12EE 13 22647EE 123 224660EEE 解方程组得 。 T 235 9 22 E - 11 - 2) 设计降维观测状态器 令，则有 001 010 110 D xPxxx c 1 011 010 100 P 11111112 2222122 1111 1100 2212 uu xxxA xxxAA PAP xPb A 11 2 001y x x cP x 依题意可知降维观测器的期望特征多项式为 *2 ( )(3)(4)712sssss 设， 则有 1 2 e e E 111 1121 22 221111 22 221111 eee eee AEA 11 22 2121 2121 ee ee 于是 11 1121 22 2 211 21221 21 2 121 211 2 detdet 2121 224221241 2 (222)42 see s ese se sse seeeseeeee see se IAEA 比较系数得方程组 12 2227ee 1 4212e 解方程组知：，于是降维状态观测器的方程为 12 5 ,0 2 ee - 12 - 112112122211