复数基础知识导引

【基础知识导引基础知识导引】 1掌握复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算法则，熟练地进行复数的三角 形式的运算。 2理解复数乘法、除法的几何意义。 3掌握复数集内实系数一元二次方程的解法。 4了解二项方程的概念，掌握二项方程的解法以及根的几何分布。 【教材内容全解教材内容全解】 1两个复数与相乘，有 )sin(cos 1111 irz)sin(cos 2222 irz )sin()cos()sin(cos)sin(cos 212121222111 irririr 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的 和 2根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下 (图 5-11)： 在复平面内作出、对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角1 z 2 z (若，则按顺时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得2 0 2 | 2 2 r 的向量就表示积，也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩旋转方向21z z 与角度取决于另一复数的辐角，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小 3两个复数与相除，有 )sin(cos 1111 irz)sin(cos 2222 irz )0)(sin()cos( )sin(cos )sin(cos 22121 2 1 221 111 zi r r ir ir 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除 数的辐角减去除数的辐角所得的差 4根据三角形式的除法法则，结合向量知识，可以对复数除法的几何意义解释如下 (图 5-12)： 在复平面内作出、所对应的向量，将向量按顺时针方向旋转一个角1 z 2 z (若，则按逆时针方向旋转一个角)，再把它的模变为原来的倍，所得2 0 2 | 2 2 1 r 的向量就表示商。 2 1 z z 也就是说，复数除法实质上也是向量的旋转与伸缩，旋转的方向和角度取决于，伸2 长与缩短及其倍数取决于。 2 1 r 5复数的三角形式的乘方运算 若 z=r(cos+isin)，n 为正整数，则 )sin(cosninrz nn 即复数的 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 n 倍这个公式也叫做棣莫弗公式 6复数的三角形式的开方运算 若 z=r(cos+isin)，则 z 的 n 次方根 是 注意：(1)任意复数的 n 次方根有且只有 n 个，这 n 个方根仍然是复数； (2)公式中是指正数 r 的 n 次算术根 n r 7在复数集内任何实系数一元二次方程都是有解的，当实系数一元二次方程 的根的判别式时，其求根公式为 0 2 cbxax04 2 acb a ibacb x 2 4 2 8形如的方程称为二项方程二项方程在复数集中一定有解，它的 n )(cbbxn 个根对应复平面内的 n 个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆 n b | 上以原点为起点，相邻两点分别为终点的两个向量间的夹角为n 2 【难题巧解点拨难题巧解点拨】 例例 1 计算（1）； ) 6 5 sin 6 5 (cos2 3 4 sin 3 4 cos4 ii （2） )1()1( )1)(3)(31 ( 2 ii iii 解解 （1）原式 ) 6 5 3 4 sin() 6 5 3 4 cos(2 i ； ii2 2 sin 2 cos2 （2）原式 4 3 sin 4 3 cos2 4 5 sin 4 5 cos2 4 sin 4 cos2 6 5 sin 6 5 cos2 3 sin 3 cos2 2 ii iii 4 3 2 5 46 5 3 sin 4 3 2 5 46 5 3 cos2 i ) 6 11 sin() 6 11 cos(2 i ii3) 2 1 2 3 (2 说明：复数的乘、除运算一般用三角形式较方便，最后结果中辐角是特殊角时，常常 化为代数形式表示。 例例 2 设复数、对应的向量为、，O 为坐标原点，且。1 z 2 ziz31 1 若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，3 4 4 3 求复数。2 z 解解 依题意 ，4 3 sin 4 3 cos 3 4 sin 3 4 cos)31( 2 i z ii 4 3 sin 4 3 cos 3 4 sin 3 4 cos)31( 2 iiiz 4 3 3 4 3 2 sin 4 3 3 4 3 2 cos2 i 4 11 sin 4 11 cos2 i 。 i 22 说明：本例是把向量旋转问题与复数三角形式的乘、除法联系起来，列出复数等式， 从而求出，还可以用数形结合的方法，求出的辐角主值为，模为 2，于是2 z 2 z 4 3 。 iiz22) 4 3 sin 4 3 (cos2 2 例例 3 已知复数， 412 102 )3()1 ( )31()34( ii ii z 求 3i-|z|的模与辐角主值。 分析分析 应先求|z|，再代入求解。 解解 ， 4 )10()2( 25 |3|1| |31|34| | 412 102 412 102 ii ii z 3i-|z|=3i-4=-4+3i。 因为|-4+3i|=5，即 3i-|z|的模是 5。 又-4+3i 在第二象限， 。4 3 arctan)34arg(i 例例 4 已知，求正整数 n 的最小值。 0)3( 3 6 n n i i 解解 原式可化为， n n i i )3( 3 6 即， 1 333 6 n i 。 1 2 3 2 1 n i ， 1 3 sin 3 cos n i 。 1 3 sin 3 cos n i n . 0 3 sin , 1 3 cos n n ， )() 12( 3 Zkk n n=-3(2k+1)(kZ)。 因此正整数 n 的最小值为 3。 例例 5 已知复数 z 的一个四次方根是，求它的另外三个四次方根。 i 31 解法 1： 4 4 3 5 sin 3 5 cos2)31 ( iiz 3 20 sin 3 20 cos24 i 。 3 2 sin 3 2 cos24 i z 的四次方根是 ，k=0，1，2，3。 4 2 3 2 sin 4 2 3 2 cos2 k i k 可得所求的另外三个四次方根是 ，。 i3i 31i3 解法 2：， 6 10 sin 6 10 cos231 ii 又 k 取 0，1，2，3 时，方根的辐角相差，因此其他三个四次方根分别是6 3 4 2 ， ii 3 6 7 sin 6 7 cos2 ii31 6 4 sin 6 4 cos2 ii3) 6 sin 6 (cos2 。 说明：解法 1 是由方根乘方求出复数，只要有 z 的值，z 的任意 n 次方根便可求得。 解法 2 则充分注意到 n 次方根中，k 取 0，1，2，n-1 各值时，辐角依次成等差数列， 公差为，从而由一个的辐角，容易求出其他 n 个根的辐角。n 2 i 31 例例 6 求 arg(3+i)+arg(2+i)的值。 解法 1：设 =arg(3+i)，=arg(2+i)，则有 ，。3 1 tan 2 1 tan) 2 , 0( ， 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 tantan1 tantan )tan( 又 01。 解方程，得 02 2 mxx ，。 im11im11 当|-|=4，得|， 4|12 im 于是，m=5。 21 m 说明：应当注意，当 和 是虚数时，等式是不成立 4)(| 2 的，所以应用它求 m 的值是错误的，但是等式是成立的，因 |4)( | 22 此本例也可以利用上述等式及根与系数关系求解。 【课本习题解答课本习题解答】 练习（第 217）页） 1 （1）； ii)26(4)26(4 12 5 sin 12 5 cos16 （2）； ii434 6 13 sin 6 13 cos8 （3）； ii 4 23 4 6 )300sin300(cos 2 6 （4）30(cos180+isin180)=-30。 2 （1）； ii)26( 2 1 )26( 2 1 12 sin 12 cos2 （2）； ii)33( 4 1 )33( 4 1 )75sin()75cos( 2 6 （3）； ii22) 4 sin() 4 cos(2 （4）。 ii 4 1 4 3 )150sin150(cos 2 1 3见本节“【教材内容全解】 ”中第 4 条。 4 （1）， ； 45)arg( 21 zz90)arg( 21 zz （3）， 。 315)arg( 21 zz 210arg 2 1 z z 练习（第 222 页） 1 （1）3i； （2）1.7i； （3）； （4）； i 5i t （5）|m|i（也可答mi） ； （6）。 i ab 2 （1） （2）；3 4 xix 3 15 （3）； （4）。 ix 2 23 2 1 ix 2 1 6 7 3 （1）因为，所以它的平方根是2 3 sin 2 3 cos ii ， ) 1 , 0( 2 2 2 3 sin 2 2 2 3 cos k k i k 即-i 的平方根是下面两个复数： ， ii 2 2 2 2 4 3 sin 4 3 cos 。 ii 2 2 2 2 4 7 sin 4 7 cos （2）因为，所以它的平方根是3 2 sin 3 2 cos 2 3 2 1 ii ) 1 , 0( 2 2 3 2 sin 2 2 3 2 cos k k i k 即的平方根是下面两个复数： i 2 3 2 1 ， ii 2 3 2 1 3 sin 3 cos 。 ii 2 3 2 1 3 4 sin 3 4 cos （3）因为 1=cos0+isin0，所以它的立方根是 。 )2 , 1 , 0( 3 20 sin 3 20 cos k k i k 即 1 的立方根是下面三个复数： 1，。 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 （4）因为-16=16(cos+isin)，所以它的四次方根是 )3 , 2 , 1 , 0( 4 2 sin 4 2 cos2 k k i k 即-16 的四次方根是下面四个复数： ，。 i 22 i 22 i 22 i 22 4因为实系数一元二次方程在复数集内有两个根，所 054 2 xx8 791i x 以。 ixixxx 8 79 8 1 8 79 8 1 54 2 5因为，所以根据复数五次方根在复平面内所对应的点的 )90sin90(cos 2 1 2 i i 几何特征，可知 z 的另外四个五次方根是 ， )162sin162(cos 2 1 i)234sin234(cos 2 1 i ， )306sin306(cos 2 1 i)18sin18(cos 2 1 i 6 （1），所以 )0sin0(cos2727 3 ix ， )2 , 1 , 0( 3 2 sin 3 2 cos3 3 20 sin 3 20 cos27 3 k k i kk i k x 即，。 3 1 x ix 2 33 2 3 2 ix 2 33 2 3 3 （2），所以， sincos1 3 ix )2 , 1 , 0( 3 2 sin 3 2 cos k k i k x 即，。 ix 2 3 2 1 1 1 2 x ix 2 3 2 1 3 （3），所以 )0sin0(cos1616 4 ix ， )3 , 2 , 1 , 0( 4 20 sin 4 20 cos k k i k x 即，。 2 1 xix2 2 2 3 xix2 4 （4），所以， )sin(cos1 4 ix ) 3 , 2 , 1 , 0( 4 2 sin 4 2 cos k k i k x 即， ix 2 2 2 2 1 ix 2 2 2 2 2 ，。 ix 2 2 2 2 3 ix 2 2 2 2 4 根的几何表示从略。 7可以得到一个以原点为中心，以实数为半径长的正 n 边形，这个正 n 边形是 n b | 以原点为圆心，以实数为半径的圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接 n b | 圆。 习题习题 56 1 （1）； i 9) 2 sin 2 (cos9 （2）. ii1010) 4 3 sin 4 3 (cos52 2 （1）左边=右边 90sin90cosi （2）左边= )2sin()2cos()3sin()3cos(ii =右边 5sin5cos)5sin()5cos(ii 3 （1）； ii31) 3 sin 3 (cos2 （2） . ii31) 4 3 sin 3 4 (cos2 4因为 2，把复数对应的向量按逆时针方向旋 ) 6 11 sin 6 11 (cos23 ii i3 转 60，相当于把复数乘以，所以所得的向量对应 ) 6 11 sin 6 11 (cos2 i 3 sin 3 cos i 的复数是，即. ) 6 13 sin 6 13 (cos2 i i3 （2）因为，把复数对应的向量按顺时针 ) 6 11 sin 6 11 (cos3233 ii i 33 方向旋转 60，相当于把复数除以，所以与所 ) 6 11 sin 6 11 (cos32 i 3 sin 3 cos i 得的向量对应的复数是，即。 2 3 sin 2 3 cos32 i i 32 5 （1）左边右边。 sincos )sin)(cossin(cos sincos i ii i （2）当时，由第（1）小题，有 12 sin 12 cos4 iz ， 12 sin 12 cos 4 1 12 sin 12 cos 4 11 ii z 的模是，辐角是；z 1 4 1 12 当时，由第（1）小题，有6 sin 6 cos iz ，6 sin 6 cos 1 i z 的模是 1，辐角是；z 1 6 当时，有，由第（1）小题，有， )1 ( 2 2 iz 4 sin 4 cos iz 4 sin 4 cos 1 i z 的模是 1，辐角是；z 1 4 6 （1）原式。 sincos 8sin8cos 9sin9cos i i i （2）原式。 )2sin()2cos( )sin)(cossin(cos )sin(cos 2 i ii i 7证明：A、O、B 是AOB 的三个顶点，所以，设21 argargzz ，且不妨设，则由棣 )sin(cos 1111 irz)sin(cos 2222 irz 21 0 莫弗公式，可得 ， )2sin2(cos 11 2 1 2 1 irz 。 )2sin2(cos33 22 2 2 2 2 irz 由及复数相等的定义，所以将+， 03 2 2 2 1 rr 可得 即 由，可得。21 2tan2tan 由得（与不符，舍去） ，或，21 22 21 21 22 即2 12 所以AOB 是直角三角形 8 （1）原式 3 2 sin 3 2 cos 6 sin 6 cos 2 2 3 2 1 2 22 3 2 5 4 5 5 i i i i ， ii838 6 sin 6 cos16 （2）原式 3 40 sin 3 40 cos )2sin2(cos16 3 5 sin 3 5 cos2 4 sin 4 cos)22( 8 8 8 8 i i i i 。 ii388 3 2 sin 3 2 cos16 9 12 102 12 102 |1| |31|34| )1 ( )31()34( | i ii i ii z 400 2 25 6 102 10由习题 55 的第 3 题及棣莫弗公式，可知 左边 )sin()cos()sin()cos(nini n 右边 ninsincos 11 （1），所以。4 9 2 xix 2 3 （2），所以。 0852 2 xx ix 4 39 4 5 （3），所以 x=4i。 0178 2 xx （4），所以。 033 2 xx ix 2 3 2 3 12提示：将，按复数加法、乘法的定a ibacb x 2 4 2 1 a ibacb x 2 4 2 2 义进行运算，即可获证。 13 （1）或 ,1 ,1 iy ix ;1 ,1 iy ix （2）先求出，然后仿照解第（1）小题的方法， 2ba 可得或 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 ib ia , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 ib ia 或 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 ib ia 或 , 2 2 2 2 , 2 2 2 2 ib ia 14由和第 12 题的结论，有，；又由已知条 023 2 pxxpxx3 21 2 21 xx 件，有 ，所以。 4|4)( | 21 2 21 2 21 xxxxxx4|89| 2 p 由 pR，知，所以，或。 489 2 p 3 32 p 3 2 p 当时，有；当时，有；3 32 p 13 x 3 32 p 13 x 当时，有 x=1i；当时，有 x=-1i。3 2 p 3 2 p 15因为 1=cos0+isin0，1 的六次方根是 ， )5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( 6 20 sin 6 20 cos k k i k 即 1 的六次方根是下面六个复数： 1，-1，。 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 i 2 3 2 1 根的几何表示从略。 16 （1）8(cos60+isin60)的六次方根是 ， )5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,( 6 36060 sin 6 36060 cos8 6 k k i k 即， )10sin10(cos2i)70sin70(cos2i ， )130sin130(cos2i)190sin190(cos2i ， )250sin250(cos2i)310sin310(cos2i （2），所以-i 的五次方根是2 3 sin 2 3 cos ii ， )4 , 3 , 2 , 1 , 0( 5 2 2 3 sin 5 2 2 3 cos k k i k 即，10 3 sin 10 3 cos i 10 7 sin 10 7 cos i ，10 11 sin 10 11 cos i 2 3 sin 2 3 cos i 。10 19 sin 10 19 cos i 17 （1），所以 )sin(cos8181 4 iy ， )3 , 2 , 1 , 0( 4 2 sin 4 2 cos81 4 k k i k y 即， iy 2 23 2 23 1 iy 2 23 2 23 2 ，。 iy 2 23 2 23 3 iy 2 23 2 23 4 （2），所以 4 3 sin 4 3 cos21 3 iix ， )2 , 1 , 0( 3 2 4 3 sin 3 2 4 3 cos2 6 k k i k x 即， 4 sin 4 cos2 6 1 ix ， 12 11 sin 12 11 cos2 6 2 ix 。 12 19 sin 12 19 cos2 6 3 ix 【同步达纲练习同步达纲练习】 一、选择题一、选择题 1已知复数，则的辐角主值3 2 sin 3 2 cos 1 iz 6 11 sin 6 11 cos 2 iz 2 1 2 z z 是（ ） A B C D6 6 5 2 3 2 2把复数 a+bi(a，bR)在复平面内的对应向量，绕 O 点按顺时针方向旋转 90后， 所得向量对应的复数为（ ） Aa-bi B-a+bi Cb-ai D-b+ai 3复平面内向量、分别对应于非零复数和，若，则一定是1 z 2 z 1 2 z z （ ） A非负数 B纯虚数 C正实数 D非纯虚数 4设 3+4i 的辐角主值为 ，则(3+4i)i 的辐角主值是（ ） A B C D 2 22 2 3 5设-1a1，z 是复数，且满足，则复数 z 在复平面内对应点在（ iazai)1 ( ） Ay 轴左方 By 轴右方 Cx 轴上方 Dx 轴下方 6复数，是由绕原点按逆时针方向旋转得到，则的值为 1 1 z 2 z 1 z 3 2 arg 12 zz （ ） A B C D6 3 6 7 3 2 二、填空题二、填空题 7_。 8 3 sin 8 3 cos2 8 sin 8 cos3 ii 8_。 9 4 )80cos80(sin )45sin45(cos2 i i 9把复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转 角（02)，所得向 i 31 量对应的复数为-2，则 =_。 10复平面内向量对应的复数为 2+i，A 点对应的复数为-1，把绕 A 点按顺时 针方向旋转 90后，得到向量，则 C 点对应的复数为_。 三、解答题三、解答题 11若复数，满足，且，求的值。1 z 2 z1| 21 zz izz 5 7 5 1 21 21 zz 12关于 x 的方程的两虚根为 、，且满足|