大学数学a(1)作业册(紧凑式)

大学数学大学数学 A A（1 1）作业册）作业册 数学科学学院大学数学教学部 2 第 1 次作业 1、利用极限定义证明： （1）；0 1 lim 2 n n （2）。1 1 lim 2 2 n n n 2、计算下列极限： （1）； ) 1( 1 32 1 21 1 lim nn n （2）；) 21 (lim 3 2 3 2 3 n n nn n （3） 。 11 56 56 lim nn nn n 3、利用极限定义证明： （1）；5) 12(lim 2 x x （2）。 2 1 2 1 lim x x x 4、计算下列极限： （1）；)1(limxxx x （2）； x x x 11 lim 0 （3）； 50 3020 ) 15( )53() 12( lim x xx x （4）。 1 1 lim 3 2 1 x x x 5、若，试求常数的值。4 3 2 lim 2 3 x axx x a 6、若，试求常数的值。0) 1 (lim 2 3 bax x x x ba, 3 第 2 次作业 1、计算下列极限： （1）； x x x 3sin lim 0 （2）；xx x cotlim 0 （3）； ax ax ax sinsin lim （4）； x x x x ) 1 1 (lim （5）； x x x tan 2 )cot1 (lim （6）。 x x x 1 0 )sin1 (lim 2、利用两边夹法则求下列极限： （1）；) 2 2 1 1 (lim 222 nnn n nnnn n （2）； nnnn n 1021lim （3）。 1 lim 0 x x x 3、证明数列收敛，并求其极限。,222,22,2 4、，求常数的值。3 1 lim 2 1 x baxx x ba, 5、当时，下列无穷小与等价的有：，。0xxxtanx2sinxcos1xx 2 6、证明，进而证明。1 1 lim 0 x e x x ) 10(ln 1 lim 0 aa x a x x 7、设，求极限。1,0cba x xxx x cba 1 0 ) 3 (lim 8、当时，有，试求常数的值。0xxxaxbba, 4 第 3 次作业 1、设函数 在处连续，试求常数的值。 0, 0, )( xxa xe xf x 0xa 2、设为连续函数，试求常数的值。 0,)31ln( 1 0,2 0, sin )( xx bx x x x ax xfba , 3、研究函数 0, 0 0, 1 sin )( x x x x xf k 的连续性。 4、在处，函数0x 0, 1 0, 12 )( 2 xx xx xf 的极限是否存在，是否连续（右连续或右连续）？ 5、求下列函数的间断点，并指出其类型： （1）； xx x xf 2 )( （2）； x x xf sin )( （3）。 n n n x xx xf 2 2 1 )1 ( lim)( 6、证明方程至少有一正根。5 xe x 7、设函数在闭区间上连续，且，试证)(,)(xgxf,ba)()(,)()(bgbfagaf 两曲线与至少有一交点。)(xfy )(xgy 5 第 4 次作业 1、用定义求下列函数在指定点处的导数： （1），； 2 )(xxf1x （2），。xxf)(3x 2、设，求极限。2)( 0 x f h hxfhxf h )()( lim 00 0 3、求下列函数的导数： （1）；（2）； 5 3xy x xxycos 2 （3）；（4）； 2 1 2 x x y x ey sin （5）；（6）；)1ln( 3 xyxyarcsin （7）；（8）；)1ln( 2 xxy）xfyxxfy可导)()sin( （9）；）xfyxffy可导)()( （10）。）xyxfyxfy nm 可导)(),()( 4、研究函数 0, 0 0, 1 sin )( x x x x xf k 可导性与连续性。 5、求曲线在点处的切线方程和法线方程。 3 2 xy )4, 8( 6、设函数 0, 0, )( xbax xe xf x 在点处可导，试求常数的值。0xba , 6 第 5 次作业 1、求下列函数的二阶导数： （1）；xxyln 4 （2）；)1ln( 2 xy （3）。)() 1 (可导xfy x fy 2、求下列函数的阶导数：n （1）； x xey （2）。)1ln(xy 3、设，求。 x exxy)( 2 )40( y 4、设函数由方程所确定，求。)(xyy xyee yx 0 | x dx dy 5、设函数由方程所确定，求。)(xyy 1 22 yx 2 2 dx yd 6、设函数由参数方程所确定，求。)(xyy tty tx arctan )1ln( 2 dx dy 7、设函数由参数方程所确定，求。)(xyy ty t x 1 2 2 2 2 dx yd 7 第 6 次作业 1、求下列函数的微分： （1）；xxyln 2 （2）；xxysin （3）； 2 1x x y 2、设，求及。1 2 xy 1 | x dy 0 | x dy 3、设设函数由方程所确定，求。)(xyy 1lnyyexe xy dy 4、求函数在区间上的罗尔中值。xxfsin)( 6 5 , 6 5、求函数在区间上的拉格朗日中值。 x xf3)(,ba 6、利用拉格朗日中值证明下列不等式： （1）；|sinsin| 2121 xxxx （2）当时，。1xexe x 7、设函数在区间上可微，且，试证：存在，使得)(xf 1, 00) 1 (f) 1, 0( 。0)()(ff 8、设函数在上连续，在内可导，证明在内存在( )f x , (0)a bab( , )a b( , )a b ，使。 （提示：取，应用柯西中值定理）, 2 ( )( )ff ab x xg 1 )( 8 第 7 次作业 1、用洛比达法则求下列极限： （1）； 3 0 sin lim x xx x （2）； x xee xx x 3 0 sin 2 lim （3）； x x x1 arctan 2 lim （4）； x x e x2 lim （5）；) 1 11 (lim 0 x x ex （6）。 x x xsin 0 lim 2、按的乘幂展开多项式。)4( x435 234 xxxx 3、求时函数的三阶泰勒公式。4 0 xxxf)( 4、求函数的三阶麦克劳林公式。xxftan)( 5、设函数在上二阶可导，且，求证：( )f x0,1(0)(1)0ff 0,1 max( )1 x f x 存在，使得。(0,1)( )8f 6、设函数在上具有三阶连续导数，( )f x 1,1 ，求证：存在，使得。 0 ( ) lim1 x f x x (1)2,( 1)0ff( 1,1) ( )0f 7、设函数在上具有二阶导数，且满足条件，)(xf 1, 0axf | )(|bxf | )(| 其中都是非负常数， 是内任意一点，证明：ba,c) 1, 0( 。 2 2| )(| b acf 9 第 8 次作业 1、求函数的单调增加区间。xexf x )( 2、求函数的单调减少区间。1093)( 23 xxxxf 3、利用函数的单调性证明下列不等式： （1）当时，； 2 0 xxx tan （2）当时，。0x 22 1)1ln(1xxxx 4、求下列函数的极值： （1）；7)( 23 xxxf （2）； 32 ) 1()(xxxf （3）； 2 2)(xxxf （4）。 23 )2() 1()(xxxf 5、求下列函数在指定闭区间的最大值和最小值： （1）；2, 2, 52)( 24 xxxf （2）。 1, 5,1)(xxxf 6、设在上单调增加，且，试证函数)(x f ), 00)0(f x xf xF )( )( 在上单调增加。), 0( 7、已知过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线，)(xfy 012 yx 若，且在处极值，试确定的值，并求出baxxf 2 3)()(xf1xba, 的表达式。)(xfy 8、有甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸 40 公 里，乙城在河岸的垂足与甲城相距 50 公里，两城计划在河岸上合资共建一个污 水处理厂（甲城与乙城在河岸的垂足之间） ，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设 排污管的费用分别为每公里 300 元和 500 元。问污水处理厂建何处，才能使铺 设排污管的费用最省？ 10 第 9 次作业 1、求下列函数的凹凸区间和拐点： （1）；535 23 xxxy （2）； x exy 4 ) 1( （3）； x ey arctan （4）。1 3 5 xy 2、利用函数的凹凸性证明下列不等式： （1）；) 1, 0, 0(,) 2 ()( 2 1 nyxyx yx yx nnn （2）。), 0, 0(), 2 ln()(lnlnyxyx yx yxyyxx 3、利用函数的单调性证明下列不等式： （1）当时，； 2 0 xxx tan （2）当时，。0x 22 1)1ln(1xxxx 4、证明三次函数有且仅有一个拐点。)0()( 23 adcxbxaxxf 5、设点为曲线上的拐点，试求常数的值。)3, 1 ( 23 bxaxyba , 6、试确定曲线，使曲线在有水平切线，dcxbxaxxf 23 )(2x 为其拐点，且在曲线上。)10, 1 ()44, 2( 7、求下列曲线的渐近线： （1）； 45 1 2 2 xx x y （2）； x ey 1 （3）。 2 3 ) 1( x x y 11 第 10 次作业 1、设为的一个原函数，求。xe x cos)(xf)(x f 2、设，求。Cxdxxf cot)(sin)(x f 3、求一曲线。使它在点处的切线的斜率为，且通过点)(xfy )(,(xfxx2 。)5, 2( 4、求下列不定积分： （1）； （2）；dxx x )32( 2 dx x xx 73 2 （3）； （4）；dx x x 2 2 1 dxx 2 cot （5）； （6）。dx xx x sincos 2cos dxxf )(1 ( 5、求下列不定积分： （1）； （2）；dxx )43cos( x dx 52 （3）； （4）；dxxe x 2 ) 1(ln xx dx （5）； （6）；dx e e x x 1 dx x x 1 （7）； （8）；dx x x 2 1 132x dx （9）； （10）。 3 xx dx 136 2 xx dx 12 第 11 次作业 1、求下列不定积分： （1）； （2）；dxxx cosdxex x 2 （3）； （4）；dxx arcsin dxxx ln 2 （5）； （6）。dxxe x cos dxe x 2、设为的一个原函数，求。)(xF)(xfdxxf x )( 3、求。dxxf x )( 4、求。dxx 1 2 5、求下列不定积分 （1）； （2）； dx x x 1 3 2 613xx dx （3）； （4）。 dx xx x 114 13 2 x e dx 1 6、求。dx x xxx 2 sincos 7、求。 dx x x 1 1 4 2 8、按照原函数存在定理，以下几个初等函数在其定义域上的原函数是存在的， 但不能用初等函数表示，矛盾吗？ ，。 x xsin xln 1 2 x e 13 第 12 次作业 1、比较两个积分的大小： （1）与； （2）与。dxx 1 0 3 dxx 1 0 2 dxe x 2 1 2 dxe x 2 1 2、求下列函数的导数： （1）； （2）；dtt x 0 ) 1ln(dtt x 1 2 1 （3）； （4）（其中为连续函数） 。dte x t 2 0 2 dttf x x sin 2 )()(xf 3、求下列极限 （1）； （2） x t x t x dte dte 0 2 0 2 2 2 )( lim； 2 0 0 ) 1( lim x dte x t x （3）； （4）。) 1 2 1 1 1 (lim nnnn n n k n kn n 1 22 1 lim 4、计算下列定积分： （1）； （2）； 2 1 02 1x dx dxx 1 0 )32( （3）； （4），其中。dxe x 2 1 | dxxf)( 2 0 21, 2 1 10, 1 )( 2 xx xx xf 5、求函数的极值点。dttexf x t 0 )( 6、设函数在区间上连续，内可导，且，证明)(xf 1, 0) 1, 0()0()(3 1 3 1 fdxxf 在内存在一点 ，使。) 1, 0(c0)( c f 7、设函数在区间上连续，试证)(xf,ba 。 b a b a dxxfabdxxf)()()( 22 （提示：设，或直接利用柯西不等到式 x a x a dttfaxdttfxF)()()()( 22 14 ） b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()( 222 第 13 次作业 1、计算下列定积分： （1）； （2）；dx x x e e 1 2 )(ln 4 0 1x dx （3）； （4）； 1 0 xx ee dx dxex x 1 0 2 （5）； （6）。dxx e 1 lndxxe x sin 2 0 2、求函数的极值与拐点。dttexf x t 0 )( 3、设函数在区间上连续，试证：)(xf,aa 。dxxf a a )(dxxfxf a 0 )()( 4、设函数是以为周期的连续函数，试证对任意实数，积分)(xfTa 与无关。dxxf Ta a )(a 5、设函数在区间上连续，试证：)(xf, 0 ；dxxxf 0 )(sindxxf 0 )(sin 2 并由此计算定积分 dx x x 0 2 cos1 sin 的值。 6、对任意实数，求的值。dx xx x I 2 0 sincos sin （提示：先证明）dx xx x 2 0 sincos sin dx xx x 2 0 sincos cos 15 第 14 次作业