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函函 数数 单单 调调 性性 蒙阴县职教中心 秦贞军 课课 题题函数单调性课 型新 授 课 教学目教学目标标掌握单调函数的图像特征，根据增减函数的定义判断函数单调性并写出其单调区间 教学重点教学重点单调函数的图像特征，增、减函数的定义 教学教学难难点点判断函数的单调性 教学准教学准备备函数单调性课件，多媒体投影 教教 学学 过过 程程 教教师师活活动动（ （设问设问、投影等）、投影等）学生思考活学生思考活动动问题问题回答回答结论结论 问题 1：函数的表示方法有哪几种？ 问题 2：哪一种方法最形象、最直观？ 回顾： 函数的表示方法， 明确用图像法表示 函数的优缺点。 答 1： 解析法、列表法、图像法、 答 2：图像法 引入新课：函数的三种表 示方法各有优缺点，在实际生 活中为了能更好的反映函数的 性质，往往是几种方法同时应 用。其中图像法具有形象、直 观的特点，这节课我们将讨论 如何由函数的图像观察函数的 性质 如图是某地区 12 个月份的平均气温变化图。 问题 3：几月份的温度最高？ 问题 4：从 1 月到 6 月份温度是怎样变化的？ 从 6 月份到 12 月份温度又是怎样变化的？ 投影投影 1 如何观察温度 与月份的对应关系。 分析领会温度是如 何随月份的变化而 变化的。月份不同 温度不同，温度有 时高有时低。 答 3：6 月份的温度 最高 答 4：从 1 月份到 6 月份温度越来越高，从 6 月份到 12 月份温度越来越低。 温度的升高或降低是相对 一个时间段而言的，这个地区 的温度随月份的变化情况，一 目了然。体现了图像法的形象、 直观的优点。 温度/ O 月份 1 2 84 -30 -10 10 0 30 20 -20 621 0 （1） 问题 5：请同学们仔细观察这三个图像 哪一个是上升的？哪一个是下降的？ 投影投影 2 引导思考： 一个人从左往右走 （沿着 x 轴的方向 走）是上坡还是下 坡？ 上坡-上升 下坡-下降 有些函数图像一直 上升或者一直下降， 有些函数图像有时 上升有时下降，需 要分段考虑。 答 5：图像（1）上升 图像（2）下降 图像（3）先下降 后上升 图像（1）上升，说明随着 自变量 x 的增大，y 的值也 随着增大； 图像（2）下降，说明随着 自变量的增大，y 的值反而减小； 图像（3）先下降后上升， 需要分区间考虑：在 y 轴的 左边（也就是当 x0 时） ，函数值 y 随着 x 的增大而减小； 在 y 轴的右边（也就是当 x0 时）， 函数值 y 随着 x 的增大而增大。 投影投影 3 如果一个函数在某个区间上，函数值随着 x 的增大而增大， 就说这个函数在这个区间上是增函数； 如果一个函数在某个区间上，函数值随着 x 的增大而减小， 就说这个函数在这个区间上是减函数。 如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这 个函数在这个区间上具有单调性。并把那个区间叫做函数的单 调区间。 。 初步形成增函 数、减函数、单调 性、单调区间的概 念。 如果一个函数在某个区间 上，函数值随着 x 的增大而增 大，就说这个函数在这个区间 上是增函数； 如果一个函数在某个区间 上，函数值随着 x 的增大而减 小，就说这个函数在这个区间 上是减函数。 如果一个函数在某个区间 上是增函数或是减函数，就说 这个函数在这个区间上具有单 调性。并把那个区间叫函数的 单调区间。 。 y x xo x y=x (2) y x xo x y= -x (3) y x xo x y= x2 (4) 投影投影 4 问题 6：如图（5）函数的定义域是- 6，8 请根据图像说出函数的单调区间？并指出函数在每一个单 调区间上的单调性 进一步形成、 巩固增函数、减函 数的概念，当 x 在 什么范围内取值时 函数单调增，当 x 在什么范围内取值 时函数单调减。 如何写出这 些 x 的取值范围？ 答 6 ：在-6 到-2 上 是减函数，在-2 到 4 上是增函数，在 4 到 8 上是减函数。 单调区间是 -6，-2），-2，4）， 4，8 其中减区间是-6,-2） 和4,8， 增区间是-2，4） 问题 7：-2，4是不是函数的单调增区间？。 确定单调区间 的写法，消除模糊 概念。 答 7 ：有部分同学说 “是”也有部分同学说 “不是”。 区间用 ，、（， 或者 （，）不做严格要求，要视具 体情况而定。本题要在定义域 内从左到右取遍所有的 x 值， 要保持 x 取值的连续性。本题 的单调区间是-6，-2）， -2，4），4，8 问题 8：-2，2），-2，2.5），-2，3），-2，3.5）等 是不是函数的单调增区间？ 如果它们是函 数的单调增区间的 话，那么函数的单 调增区间不就有无 数多个了吗？ 确认单调区间 的写法 深刻理解单调区间 答 8 ：不是 我们约定：函数的单调区 间是指保持函数单调性的最大 的区间，因此，其单调增区间 只能是-2，4）或者-2，4 引：仅从图像上观察函数的增减情况不够精准，还需要一个更 严格、更科学、更能反映函数本质的量的方法来刻划这一性质。 投影投影 5 约定： x = x2- x1 y = f(x2)- f(x1) 理解：自变量 x 的 改变量x，函数 值 y 的改变量y 确认：增函数 x1 x2 （x0） 定义： 一般地，对于函数 y= f(x) 在给定区间上任意两个不相等 的值 x1， x2 x y o f(x1) f(x2) A B x1x2 y= f(x) (7) x y o f(x1) f(x2) A B x1x2 y= f(x) (6) y x o -2-4-62468 (5) 问题 9：同学们观察图（6），自变量由x1增加到 x2时，函数 值是增加还是减小？ 观察图（7），自变量由x1增加到 x2时，函数值是增加 还是减小？ 在 y= f(x)的图像上任取两点 A(x1, y1)， B(x2，y2)，记：x=x2-x1 y= f(x2)-f(x1)=y2-y1 f(x1) f(x2) y0 x 和y 同号 减函数 x1 x2 （x0） f(x1) f(x2) y0 x 和y 异号 答 9：图（6） 当自变量由x1增加到 x2时，函数值 则由 f(x1)增加到 f(x2) 图（7） 当自变量由x1增加到 x2时， 函数值则由 f(x1)减小到 f(x2) 当 0 时，那么就说， y x 函数在这个区间上是增函数； 当 0 时，那么就说， y x 函数在这个区间上是减函数。 投影投影 6 问题 10：在定义中有“任意两个不相等的值 x1， x2”，把它改成 “存在两个不相等的值 x1， x2”能不能行？ 为啥必须是单调区 间上的任意两个不 相等的值 x1， x2？ 答 10：不行！ 但不知道为什么？ 对正确答案强化肯定， 是不行！因为在一个单调区 间内，x 的取值必须是连续 的，当中不能有间断点，这 样才能体现单调性。 投影投影 7 问题 11：请用定义判断函数 f(x)=2x+1在（-，+）上的单调 性？ 问题 12：根据定义，判断的第一个步骤应该是什么？第二个步 骤呢？如何下结论？ 思考单调函数的定 义，要任意找两个 x， 思考如何求， y x 又如何判断它的符 号 学生板演 解：设任意的 x1， x2 （-，+），且 x1 x2， 则 k=2 y x （2x2 + 1） - (2x1 + 1) x2 - x1 k0 所以函数是增函数 订正强调：在求y 时经 常用的方法通分、因式分解、 提取公因式等 投影投影 8 问题 13：如何说明函数 f(x)= 在（-，0）上是减函数？ 1 x 更进一步理解、掌 握用定义判断函数 单调性的方法步骤 学生板演 解：设任意的 x1， x2 （-，0），且 x1 x2， 则 k= - 0 y x 1 x1x2 k0 所以函数是减函数 订正强调，步骤： （1）设任意的 x1， x2单 调区间，且 x1 x2， 则x=x2-x1从而计算y （2）计算出 k= y x （3）判断： 若 k0 函数是增函数 若 k0 函数是减函数 投影投影 9 问题 14：若若 x1， x2（-，0），如何判断的符号？ x1 +x2 x1x2 考虑分子、分母的 取值情况 答 14： x1+x20 所以 x1 +x2 x1x2 0 投影投影 10 练习练习 1 p49 1. 练习练习 2 判断函数的增减性 （1（f(x)=x2+1 ，x（0,+） （2（f(x)= - ，x（0,+） 1 x 作作业业布置：布置：证明函数 f(x)= -