复习练习：计数原理

一、选择题 1、5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A、10 种 B、20 种 C、25 种 D、32 种 2、用 8 个数字可以组成不同的四位数个数是 A168 B180 C204 D456 3、使（的展开式中含有常数项的最小的为（ ） A4 B5 C6 D7 4、现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司 机四项工作之一，每项工作至少有一人参加甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四 项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A240 B126 C78 D72 5、将二项式（）n 的展开式按 x 降幂排列，若前三项系数成等数列，则该展开式中 x 的幂指数是 整数的项共有 （ ） A1 项 B3 项 C5 项 D7 项 6、某重点中学要把 9 台相同的电脑送给农村三所希望小学，每个小学到少 2 台电脑，不同的送法种数为（ ） A10 种 B9 种 C8 种 D6 种 7、在（1-x）5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中，含 x3 的项的系数是 （ ） A74 B121 C-74 D-121 8、从 1，3，5，7，9 这 5 个奇数中选取 3 个数字，从 2，4，6，8 这 4 个偶数中选取 2 个数字，再将这 5 个 数字组成没有重复数字的五位数，且奇数数字与偶数数字相间排列这样的五位数的个数是 （A）180 （B）360 （C）480 （D）720 9、如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数 与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃 水果个数的不同选择方案共有 A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 2 10、 甲、乙、丙等 6 人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答) A.720 B.480 C.144 D.360 11、 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有（ ） A. 30 种 B. 90 种 C. 180 种 D. 270 种 12、的展开式中的系数等于 10，则的值为（ ） A. B. C. D. 13、八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5 个涂红色，三个涂白色，恰好有三个连续的 小球涂红色，则涂法共有 A.24 种 B.30 种 C.20 种 D.36 种 14、已知 的展开式中各项系数之和为 1，则该展开式中含 项的系数为（ ） A、 B、40 C、 D、20 15、5 名志愿者分到 3 所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ） （A）150 种 (B)180 种 (C)200 种 (D)280 种 16、如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数 与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃 水果个数的不同选择方案共有 A.50 种 B.51 种 C.140 种 D.141 种 17、甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有（ ） A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 18、把 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票分发给 4 个人，每人至少 1 张，最多分 2 张，且这两张票具有 连续的编号，那么不同的分法种数是（ ） A.168 B.96 C.72 D.144 19、三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 3 A、3 种 B、6 种 C、8 种 D、9 种 20、在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便 的村庄数，下列概率中等于的是( ) (A)P(X2) (B)P(X2) (C)P(X4) (D)P(X4) 21、已知随机变量 服从正态分布 N(1，2)，P(4)0.84，则 P(2)( ) (A)0.16 (B)0.32 (C)0.68 (D)0.84 22、离散型随机变量 X 的分布列为 P(Xk)pkq1k(k0,1，pq1)，则 E(X)与 D(X)依次为( ) (A)0 和 1 (B)p 和 p2 (C)p 和 1p (D)p 和 p(1p) 23、甲、 乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛 获胜的概率均为，则甲以 31 的比分获胜的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 24、设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相同，则 事件 A 发生的概率 P(A)是( ) (A) (B) (C) (D) 25、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互 之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 26、设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)等于( ) 4 (A)0 (B) (C) (D) 27、在 RtABC 中，A90，AB1，BC2.在 BC 边上任取一点 M，则AMB90的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 28、下列事件中，随机事件的个数为( ) 物体在只受重力的作用下会自由下落； 方程 x22x80 有两个实根； 某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过 10 次； 下周六会下雨. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 29、设集合 A1,2，B1,2,3，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点 P(a，b)， 记“点 P(a，b)落在直线 xyn 上”为事件 Cn(2n5，nN)，若事件 Cn的概率最大，则 n 的所有可能 值为( ) (A)3 (B)4 (C)2 和 5 (D)3 和 4 30、先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为 x，y，则 log2xy1 的概率为( ) (A) (B) (C) (D) 31、已知随机变量的分布规律如下，其中 a、b、c 为等差数列，若 E（）=，则 D（）为 （ ） 32、连续投掷两次骰子得到的点数分别为，向量与向量的夹角记为，则 的概率为（ ） 5 （A） （B） （C） （D） 二、计算题 33、已知展开式的二项式系数之和比展开式的所有项系数之和大 240 （I）求的值； （）求展开式的有理项 34、 设,. （1）当=2011 时,记，求； （2）若展开式中的系数是 20，则当、变化时，试求系数的最小值 6 35、（2012 湖南理）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物 的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量1 至 4 件 5 至 8 件9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及 以上 顾客数(人) 302510 结算时间 (分钟/人) 11.522.53 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. ()确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; ()若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间 不超过 2 钟的概率. (注:将频率视为概率) 36、已知等 10 所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率 均为 （）如果该同学 10 所高校的考试都参加，试求恰有 2 所通过的概率； （）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参 加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列 及数学期望 7 37、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球，2 个 黑球，这些球除颜色外完全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个， 则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中 摸出 3 个白球的概率；获奖的概率。 (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(x)。 38、有甲、乙等 7 名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为 1，2，7）。 （1）甲选手的演出序号是 1 的概率； （2）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （3）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数的分布列与期望。 8 39、张师傅驾车从公司开往火车站，途径 4 个交通岗，这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个时段，每个时 段的驾车时间都是 3 分钟，如果遇到红灯要停留 1 分钟。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概 率都是 （1）求张师傅此行程时间不小于 16 分钟的概率； （2）记张师傅此行程所需时间为 Y 分钟，求 Y 的分布列和均值。 40、某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家 医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构若甲、乙、丙、丁 4 名参加保险人员所在地区 附近有 A，B，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的 （）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率； （）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率； （）设 4 名参加保险人员中选择A社区医院的人数为，求的分布列和数学期望 9 参考答案 一、选择题 1、D 2、C分三种情况讨论 1.1234 各一个共 A（4,4）种 2.存在且仅存在有一个数字有两个共 C（1,4）C（2,3）C（2,4）A（2,2）种 3.有两个数字重复，有 C(2,4)C（2,4）种 加在一起共 204 种 3、B 4、C 5、B 6、A 7、D 8、D 9、D 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果，且从这周第二天开始，每天 所吃的水果个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个” ， 那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有几种？分析：因为第 1 天和 第 7 天吃的水果数相同，所以中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是 0、1、2、3 天，共四种情况，所以共有：C6/0+C6/1C5/1+C6/2C4/2+C6/3C3/3=141 种。 10、B 解析：先在 6 个位置找 3 个位置，有 C种情况，甲、乙均在丙的同侧，有 4 种排法，而剩下三人有 A 种情况，故共有 4CA480 种 11、B 12、C 13、A 14、A 10 15、A 16、D 17、C 18、D 19、C 20、C.15 个村庄中，7 个村庄交通不方便，8 个村庄交通方便，表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通 不方便，6 个交通方便的村庄，故 P(X4). 21、A.随机变量 服从正态分布 N(1，2)，1，P(2)P(4)1P(4)0.16. 22、D.由题意可得 P(X0)q，P(X1)p， E(X)0q1pp D(X)(0p)2q(1p)2pp(1p). 23、A.前三局中甲获胜 2 局，第四局甲胜，则 PC()2(1). 24、D.由题意，P()P()，P()P(B)P(A)P().设 P(A)x，P(B)y， 则 即，x22x1， x1或 x1(舍去)，x. 11 25、B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为， ，所以，至少有 1 人去北京旅游的概率为 P1. 26、C.设失败率为 p，则成功率为 2p. X 的分布列为： X01 Pp2p 则“X0”表示试验失败，“X1”表示试验成功， 由 p2p1 得 p， 即 P(X0). 27、D.如图，在 RtABC 中，作 AMBC，M 为垂足.由题意知：AB1，BC2，可得 BM，则 AMB90的概率为：P. 28、B.是必然事件；是不可能事件；、是随机事件. 29、D.事件 Cn的总事件数为 6.只要求出当 n2,3,4,5 时的基本 事件个数即可. 当 n2 时，落在直线 xy2 上的点为(1,1)； 当 n3 时，落在直线 xy3 上的点为(1,2)、(2,1)； 当 n4 时，落在直线 xy4 上的点为(1,3)、(2,2)； 当 n5 时，落在直线 xy5 上的点为(2,3). 12 显然当 n3,4 时，事件 Cn的概率最大，为. 30、C.满足 log2xy1 的 x，y，有(1,2)，(2,4)，(3,6)这 3 种情况，而总的可能数有 36 种，所以所求概率 为 P. 31、 B 32、 B 二、计算题 33、解：（I）展开式的二项式系数之和为 展开式的所有项系数之和为 解得： （） 展开式的通项为 由为整数得或 有理项为和 34、解：（1）令，得= 13 （2）因为， 所以, 则的系数为 = 当时，展开式中的系数最小，最小值为 85 35、【解析】(1)由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体 的一个容量随机样本,将频率视为概率得 的分布为 X11.522.53 P X 的数学期望为 . ()记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟”,为该顾客前面第 位顾客的结算时间, 则 . 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与 X 的分布列相同,所以 14 . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率为. 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一 问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知 从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望; 第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2 钟的概率. 36、解：（）因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试的概率 为 4 分 （）设该同学共参加了 次考试的概率为（） ， 所以该同学参加考试所需费用的分布列如下： 2345678910 7 分 所以， 8 分 15 令, （1） 则, （2） 由（1）-（2）得， 所以， 11 分 所以 （元） 13 分 37、（1） 设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件（i = 0 , 1, 2, 3）, 则 P() = 3 分 设“在 1 次游戏中获奖为事件 B” 则 B = 又 P() = 且 , 互斥， 所以6