数学与应用数学毕业论文-使用量词解决一类不等式问题的初探.doc

本 科 生 毕 业 论 文 使用量词解决一类不等式问题的初探院 系： 数学与应用数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数本071 学 号： 指导教师： 职称（或学位）： 教授 2011年 5 月原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文（设计），是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担.学生签名： 年 月 日 指导声明本人指导的 同学的毕业论文（设计）题目大小、难度适当，且符合该同学所学专业的培养目标的要求.本人在指导过程中，通过网上文献搜索及文献比对等方式，对其毕业论文（设计）内容进行了检查，未发现抄袭现象，特此声明.指导教师签名： 年 月 日目 录1 引言21.1 量词的定义21.2 现状调查21.3 文章的目的32 预备知识32.1 等值式32.2 确界32.3 简单命题的否定32.4 常见命题的转化方案33 量词的混合使用34 还原量词55带着量词解决不等式问题55.1 量词的初探55.2 均值不等式与量词66结论12致谢13参考文献：13使用量词解决一类不等式问题的初探（数学与应用数学 指导老师：杨忠鹏）摘要：本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，为量词可以更好的和其他知识内容及技巧方法融为一体。 通过对一道不等式的习题进行深入分析，得到均值不等式的不能使用其实是因为量词不可达、以及对量词的否定的一些缺陷。 关键字：不等式；量词；量词否定；均值不等式；abstract：the purpose of this article mainly lies in understanding, familiar with at present in middle school mathematics classifier, theory discussion for quantifiers can better and other intellectual content and method of skill blended. based on a thorough analysis of the inequality problem sets, get the cannot use actually mean inequality classifier unreachable, and because of some of the defects of the classifiers negation. keywords: inequality; quantifiers; quantifiers negative; average inequality; 1 引言1.1 量词的定义：1）离散数学中对量词的定义：全称量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的如“一切的”、“所有的”、“每一个”、“任意的”、“凡”、“都”等词汇统称为全称量词，用符号“”表示，表示个体域里的所有个体，其中个体域是事先约定的。 存在量词的定义：在日常生活和数学中经常用到的“存在”、“有一个”、“有的”、“至少有一个”等词汇统称为存在量词，用符号“”表示。 表示个体域里有一个个体.2) 高中课程里量词的定义:“任意”、“所有”、“每一个”等叫作全称量词（universal quantifier）,数学上用符号“”表示。 “存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作存在量词（existential quantifier），数学上用符号“”表示，涉及量词的命题必须指出量词的作用范围。 3）离散数学中的定义与高中课本定义的区别与联系这两种对于量词的定义本质上是相同的，都是“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词来概括全称量词，用“存在”、“某一个”、“至少有一个”等词来概括存在量词，用符号“”，“”分别表示任意量词和存在量词。 但也有一定的区别，离散数学中对量词的定义的着重点在利用量词来表示自然语言，而高中的量词定义着重点在于量词的作用范围。 1.2 现状调查1）中学数学量词使用的广泛性在中学数学中，量词被广泛的运用到各个类型的题目中，函数、不等式、数列、几何等，几乎各方面都有涉及到量词，在文献4-20中都有体现。 2）中学数学量词结论的滞后虽然量词在中学数学中被广泛的应用，并且关于量词的文献也是随处可见，但对于量词理论上的讨论及论证却是少之又少。 教材上的匮乏在必修内容中，不含有量词的理论知识，高中课本选修2-1中有将量词单独列出。 但选修2-1作为选修课程并没有仔细的讲解，甚至文科生都没有讲授量词的理论知识（文科的考试大纲不要求量词这部分的知识）。 知识点的紧缺中学数学中只涉及到对含有一个量词的命题的讲解及分析，然而中学数学的题目中却时常出现含两个量词以上的命题，这就造成了中学中量词的理论无法满足实践的需要。 3）研究情况由于量词这部分知识是新增的内容，很多教师对这部分知识还不是很了解，使得在讲授量词这部分知识点的时候，教师讲解含糊，学生听的也不清不楚。 很多学生对量词这部分知识的掌握只能是知其然不知其所以然，形成对量词部分知识没有很清晰的了解。 并且学习了之后没有并且不会运用到问题的解决中，与具体解答题目脱节。 这就使得学生在做有关量词题目的时候容易出现错误。 4）中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾量词虽不是必修的内容，但在练习中却经常出现（常与不等式结合考查参数的取值范围）甚至在高考题中都经常出现，而高考题是一个地方教学目标及教学内容的指挥棒在高中的整个教学阶段起着极其重要的作用，由此可见量词在高中阶段所占的分量不可忽视。 但若要将量词讲清楚，又涉及到对一阶逻辑的内容的讲解，如此而来，关于量词的知识点又会超出中学生所能接受的范围，而且在课时方面也不允许。 这便体现了中学数学中量词的重要性和理论的匮乏形成教学中的矛盾。 1.3 文章的目的中学数学中含有量词的题目不乏其数，但大部分都是抛开量词来讨论题目。 这样便与教学目标脱节，因为量词的重要性故而引入了量词的定义及其否定，学而不用就会造成一种浪费。 所以就需要教师和学生一起将量词拿到实际应用中来。 本文的目的主要在于了解、熟悉目前量词在中学数学中理论的讨论情况，使量词可以更好的为其他知识内容及技巧方法服务，使学生在学习量词的同时提升自我的逻辑思维能力，并且为今后的教学实践与研究打下基础。 2 预备知识2.1 等值式德摩根律 蕴含等值式 （见文1）2.2 确界一个无限数集e即使它有上确界（或下确界），然而这个（或）可属于e也可不属于e。 如果（或）属于e，则我们说上确界（或下确界）可达到；否则就说上（或下）确界不达到(见文3)2.3 简单命题的否定一般的，命题“”的否定是“”命题“”的否定是“”(见文2) .2.4 常见命题的转化方案1） ,求的取值范围在上的最小值2） ,求的取值范围在上的最大值3） ,求的取值范围在上的最大值4） ,求的取值范围在上的最小值5） ,求的取值范围在上有解。 （见文10）3 量词的混合使用文献20讲述了特称命题与全称命题的混合命题其对混合命题的定义如下：“当一个命题中既出现“至少”“存在”等存在量词，又出现“任意”、“都有”等全称量词时，本文称之为存在命题与全称命题的混合命题。”文献20中给出的试题赏析都是一些字面上就出现“任意”、“存在”之类的字眼如（ 2009 年 福 建 省 质 检 文 22 ）已 知 函 数在 = 1 处取得极值 2（）求的解析式；（）设是曲线上除原点外的任意一点，过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点，试问：是否存在这样的点，使得曲线在点处的切线与平行？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）设函数，若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围但在高中的题目中有许多只出现“任意”或者“存在”或者都没出现量词的，那这些题目是不是就不是混合命题？在高中的题目中有许多是隐藏了量词的，若将量词还原了，那么这些题目有的也同时含有存在量词和全称量词，所以本文认为并不只是出现在字面上的“全称”、“存在”的命题是混合命题，若将隐含的量词挖掘出来并且同时含有全称、存在的命题也可称为混合命题。 下面我们举几个例子来说例1 （2010山西调研）若不等式对一切成立，则的最小值。 分析 先将命题符号化：，求的最小值即在上，寻找使最小。 这个题目其实就是在全称量词的情况下寻找存在量词，即，使。 这便是存在量词与全称量词的混合使用，这里隐含了存在量词。 例2（由文改编） 设函数在存在,使得不等式成立,求的取值范围。 分析的取值范围设为那么其实可以将题目还原：由此可以清晰地看出，这道题目其实是隐藏了全称量词。 所以它也是一道存在命题与全称命题的混合命题。 例3 （2010江西二次联考）若关于的不等式恒有解，则实数t的取值范围是_分析 在这道题目中没有明显的出现量词那这道题是不是混合命题呢？先将题目还原：（在此设为的取值范围）对于成立将题目还原后会发现，其实这道题目也是同时含有存在量词和全称量词的混合命题，只是出题者将其都隐藏了。 纵观中学数学一些不等式的题目，会发现其实大部分都是混合命题的题目。 综上，在解这类题目时，要还原题目的本来面目，在对其进行分析。 所以教师在讲解题目的时候要融入量词的知识，使学生在学习中潜移默化的接受并应用量词，做到学以致用。 4 还原量词还原量词是为了更准确的解决一些不等式的问题，以及命题的否定等。 对于隐藏了量词的命题要如何将其中的量词还原？要将量词还原就需要教师在平时的教学中要融入量词的知识（这个将在第五点详细讲）以下举几个还原量词常用的方法1） 对于一些不含有量词的名词一般都隐含了全称量词例如：平行四边形对边平行。 像这个命题就隐藏了全称量词，将其还原就可得所有的平行四边形对边都平行2） 含有“恒成立”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了全称量词，还原为所有的自变量都属于r例如：恒成立，即成立含有“恒有解”的命题，若没有出现量词，就是隐藏了存在量词，还原为所有的自变量都属于r例如：例3，可还原为3） 求最大值，最小值得问题。 这类问题一般是在全称量词的情况下寻找存在量词例如：例1，使。 4） 不含量词的自变量的取值范围这种情况一般是隐藏了全称量词，可以将全称量词还原例如：已知.就可以将还原成.5带着量词解决不等式问题中学引入了量词，主要从两方面分析讲解，一是量词的定义，其二是量词的否定。 量词经常出现在中学的题目中，比如命题的否定、不等式的恒成立与有解问题、全称量词与存在量词的概念、反证法等等。 在高中阶段，在遇到判断命题的真假的题目时需要考虑到量词的全称性或者存在性，既然在选修1-1、2-1中有量词的知识点，那么在平时讲解的时候，老师就可以结合量词知识理论逐步养成在量词知识指导下得解题能力的培养。 例如可以利用量词来解释全称命题或存在命题的真假值，还有对含有量词命题的否定。 5.1 量词的初探例4（2009.宁夏海南5）有四个关于三角函数的命题：。 其中假命题的是（） 分析 这道题目就可以用量词来分析：为假命题，由于量词的存在性，需证明每个不满足即可，恒成立。 ，由此可以判断为假命题由于题目只有或，所以不需要分析为真。 ，其实隐藏了全称量词为假命题，由于量词的任意性，只需证明一个不满足即可当，为假命题例5 （2007.山东7）命题“对任意的”的否定是（ ）a 不存在b 存在c 存在d.对任意的分析 将命题用量词来表示：即在对其进行否定（利用预备知识2.3）得到由此可以判断答案应是。 5.2 均值不等式与量词学生在解类似的题目时，会立马想到用均值不等式来解决这个题目。 但是不是所有这类题目都可以用均值不等式来解决呢。 我们来看一道题目例6 对于任意恒成立，求实数的取值范围(由文5例3改编)。 解 设，（当且仅当时 “=”成立），则。 要使对于任意恒成立，必须有小于等于的最小值，即。 此时我们利用均值不等式可以求出最值。 接下来我们对题目作如下改变：变式1对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 此时我们在利用上述的方法进行运算，得到设，当时等式成立，而此时不存在使，所以等号是取不到的。 那么是不是可以得到呢？若成立的话，我们就可以得到。 接下来我们用求导的方法来验证下利用均值不等式的方法求出的区间是否准确令对其进行求导由此可得是单调递增函数在的时候连续所以我们可以求得。 那么，取值范围应该是而6。 由此可得，利用均值不等式求出的这个取值范围相比于缩小了取值范围。 为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？在此我们可以用数学分析中的定理来解释当等号可以取到的时候，即，则的下确界可达而等号取不到的时候，即，则的下确界不可达。 但是中学数学中并没有涉及到对下确界的定义，那么对于下确界的讲解应该从何入手呢？所以在此量词的重要性的凸显出来了，在高中的选修课程中有对“量词”定义及讲解，由此我们便找到了突破口。 我们可以从量词入手，来解释“为什么当等式不成立的时候求出来的取值范围就不准确呢？”用量词的定义分析如下：已知，由量词的任意性即对于任意的，若能找到使得最小即若等号成立，就能找到（即前面所说的下确界可达）。 而等号不成立的时候，就把区间的范围扩大或缩小了。 变式2对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 当定义域的区间为的时候，的取值范围也发生了改变此时我们在利用上述的方法进行运算，得到设，则上式可以转化成，只需求出若利用均值不等式来求，而此时的等号是取不到的。 那么这里的（）就是不可达的。 因此我们还是用求导的方法来解答这个问题对其进行求导单调递增又在上连续变式3 对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 已知，那么由的取值范围得，不能再利用变式1,2的方法来对不等式进行变形我们还是先将其转化成都含有的式子整理得 利用二次函数的单调性和对称轴的关系来完成题目。 设，对称轴为当时，在区间内是单调递减的只需证即，得到又当时，在区间内不是单调的，但有最大值只需证明即当时，在区间内是单调递增的只需证即，得到又综上，的取值范围为变式4对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 当的时候，虽然定义域发生了改变但的取值范围与变式2一致。 设，若利用均值不等式但是“=”取不到，所以还是利用求导的方法来完成单调递减又在上连续变式5对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 当的时候，虽然定义域发生了改变但的取值范围与变式3一致。 所以可以运用变式1的方法来解题变式6对于任意恒成立，求实数的取值范围。 分析 当时，情况与变式4一致，可以选择变式4的方法来解题。 综上，在解形如题目时，由于会让学生误以为不需要考虑的取值。 我们对定义域的一整个周期的取值范围做了变化，可以发现，不管在哪个定义域范围内都不能利用均值不等式。 由上面的证明可得在解这类题目时要充分考虑到量词是否可达。 对于在解答过程中提到的函数在、上连续，也可以利用量词来解释：函数在点处连续必须满足：在点处有定义，（1）当参数可以被提出来的时候可以通过参数与这个最值的关系来使问题得到解决（即预备知识2.4的转化方案）。 对于2.4 1）可以利用量词解释如下：因为量词的任意性，所以要求每一个都满足。 由此可以推出我们需要证明在上的最小值。 （小于等于的情况可以依次类推）对于2.4 2）可以利用量词解释如下：对于这种情况，因为量词的存在性，所以要求只需求出一个满足。 由此可以推出我们只需证明在上的最大值。 （小于等于的情况可以依次类推）（2）当函数不是单调的话，就不能提取出参数来解答，而应该利用二次函数的性质或其他方法来解决问题。 例7 对于任意的恒成立，求实数的取值范围。 解 设,则对称轴的方程为若,即,则在上是减函数,故.解得;若,即,则在上是增函数,故恒成立,解得若,即,则应有恒成立,故综上所述,故的取值范围为。 由此可以说明，均值不等式并不是对于所有形如题目都可以解答。 在此基础上，我们在来分析以下这道题目：例8（2008.上海19）已知函数，若对于恒成立，求实数的取值范围。 解 当时，即记，易得。 可以利用量词来分析如下：根据（2.4）可得例9 （2011届.双鸭山一中高三期中（文）17）已知不等式，若对任意的实数，此不等式恒成立，求实数的取值范围。 解 由，不等式变形为设，则得到。 可以利用量词来分析如下： 由（2.4）得例10 （2007.浙江22）设，对任意实数，记。 求证：（1）当时，对任意正实数成立。 解析 以为变量为参数构造函数，令则当时，由，得到，则时，在内的最小值是故当时，对任意正实数成立。 6 结论本文主要讲解的是量词的混合命题，利用量词来分析这类题目的一些思想方法， 明白量词的重要性，在此基础上利用量词的知识指导分析题目的解题方法。 使学生在学习时可以充分的运用量词，让学生在解题过程中逻辑思维也随之提高。 致谢 本论文的完成是在我的导师杨忠鹏教授的细心指导下进行的。 在每次论文遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。 从论文的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了杨忠鹏教授很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！ 参考文献1屈婉玲.离散数学m.北京:高等教育出版社,2008:76-80.2张景中.普通高