数学建模论文-制动器试验台控制方法分析的数学模型.doc

制动器试验台控制方法分析的数学模型摘要随着社会的发展，汽车的普及率日益上升，人们对汽车性能的关注程度也越来越高。汽车制动器的性能是衡量汽车性能的一个重要指标，制动器是关系到行车平安的要害设备，其质量至关重要，而完善的测试体系和良好的测试设备是保证产品质量的前提和基础。本文开展汽车制动器惯性试验台的探究，使其能更好的模拟制动器实际使用模式和环境条件，更真实的反应制动器性能，不仅能够提高制动器研发水平，提升制动技术，还可以提高制动器测试技术，提高试验台架的设计水平，最关键的是良好的控制方法分析的数学模型建立对制动器产品的研发、质量控制以及整车制动性能都有非常重要的意义。本文针对题目的六个具体问题，首先，通过物理学的方法和机械相关理论知识，解决了汽车制动过程中等效的转动惯量的计算问题。运用组合的分析方法，认真分析了机械惯量的组成，并计算出了电动机补偿的惯量两种情况，同时分析了两种惯量补偿情况下的驱动电流，重点分析电机正转的惯量补偿情况。其次，通过递推归纳的方法和驱动电流与电机转动扭矩之间的函数关系，建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，并据已知条件解决了驱动电流的计算问题，通过建立的模型，给出了电流的控制方法。再次，采用matlab仿真软件，针对控制方法执行的结果，曲线拟合的方法对所给数据拟合，得到转速与时间的函数关系，拟合结果反映了转速与时间二者的关系，将所给数据带入该函数可知，该函数的拟合度高达99.8%。评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，我们在假定不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差条件下，进行能量误差的计算绝对误差计算，并与国际标准比较，对指标进行评价。最后，系统考虑计算机控制方法引入了单神经元控制，以及pid双闭环控制理论，目的在于能够更加合理的实现制动器试验台的控制过程。本文通过对数据的计算和分析，模型的建立，以及对控制算法的研究，得出了比较合理的制动器试验台控制方法的数学模型建立，并对该方法做了相应的改进。关键字：汽车制动，数学模型，能量误差，指标评价，控制方法一 问题的重述和分析随着汽车普及率的日益上升，汽车性能引起了社会各界人士的关注。其中制动器的性能就是衡量汽车性能的一个重要指标。而在汽车设计阶段，无法对汽车制动器的性能进行大量的路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。从而，评价汽车制动器的性能转而化为衡量制动器试验台控制方法优劣。1.1问题的重述已知了制动器试验台的工作原理及某种控制方法试验得到的数据，需要解决的问题有以下六个：（一）.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 n，求等效的转动惯量。（二）.飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kgm2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？（三）.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。（四）.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。（五）.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。（六）.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。1.2问题的总体分析首先，仔细分析题目，查阅资料。其次，模型假设。再次，问题解决，分析计算，模型建立。最后，控制方法引入，仿真分析，指标评价，改善模型。我们考虑总体方法如下：结合已知条件，第一问和第二问可用所学物理知识分析并解决。第三问至第六问的问题需要运用数学分析方法，比如：递推归纳、拟合、差值，以及瞬时转速、瞬时扭矩的离散化等方法对所给附表数据进行分析，再根据已知题目条件建立相应的数学模型，并对已经建立的模型做出合理的分析、评价，结合更好的控制方法对数学模型修改、完善。二 模型的假设（1） 假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（比例系数取1.5a/nm）。（2） 试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。（3） 忽略观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。三 符号的定义及其说明为了方便模型的建立，我们定义了相关符号，符号的定义及其说明如表1所示：表1. 符号定义及其说明表序号符号符号说明1汽车的车重2汽车制动前的初速度3汽车的动能4飞轮的转动角速度5车轮在制动时承受的载荷6飞轮的转动动能7第一问中的等效的转动惯量8电动机产生的能量相对应的转动惯量9飞轮的转动惯量10第二问中第个飞轮的转动惯量11第二问中第个飞轮的质量12第二问中第个飞轮的体积13车轮的滚动半径14飞轮组中飞轮的内半径及外半径15第二问中第个飞轮的厚度16电动机产生的扭矩17电动机驱动电流18第五问中飞轮旋转的角度19l第五问中时间分段数20角加速度21飞轮的转速22制动时间23a线加速度24能量的误差四 问题的解决本文重点部分在此问题的解决部分，现将针对题目要求的六个问题，逐一详细展开分析，并进行解答。4.1 等效转动惯量的计算已知：设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 n，求等效的转动惯量。汽车的制动器制动的实质是吸收汽车的动能，惯性试验台的基本原理就是以一定的角速度旋转的惯性飞轮动能来模拟汽车的动能，在制动时为试验制动器所吸收。试验所需飞轮惯量，若已知汽车制动前的初速v（km/h）和车重g(kg),则按上述原理不难求得，汽车的动能：e= 式(1)(旋转质量不考虑时)，g为重力加速度。试验台上使惯性飞轮与车轮同轴，假定转动角速度是，则与车速v和车轮滚动半径的关系为 式(2)以j代表飞轮的转动惯量，则以角速度旋转飞轮的动能e= 式(3)或 e= 式(4)令则有=1 式(5)所以 式(6)在该问题中，车轮在制动时承受的载荷可以等效的看做上述理论中的g，则由公式计算可得： 故等效的转动惯量为52kgm2。4.2 机械惯量的组成分析及电动机补偿惯量计算已知：飞轮组由3个外直径1m，内直径0.2m的环形钢制飞轮组成，又已知个飞轮的厚度及构成飞轮的钢材密度，可得到三个飞轮的质量分别为： 式(7)=231.1706kg, 同理：=461.5710kg,=923.1420kg。设为飞轮的转动惯量，又 式(8) 可得：飞轮组中三个飞轮的转动惯量分别为：，将求得飞轮的转动惯量与已知的基础惯量组合可知组成的机械惯量有八种,分别为：10，40,70,100,120,130,160,190,220 kgm2。根据已知条件给出电动机补偿的能量相应的惯量范围，对于问题1中得到的等效的转动惯量，求出需要电动机补偿的惯量。由于机械惯量机械惯量40,70 kgm2两种，故要达到第一问的等效的转动惯量52 kgm2，需要电动机补偿的惯量为12或-18。4.3 建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型及驱动电流计算选择机械惯量40，70分类计算，当选择机械惯量40时，需要电机补偿的惯量为12，当选择机械惯量70时，需要电机补偿的惯量为-18。又因为假设条件给出驱动电流与其产生的扭矩成正比（比例系数取为1.5a/nm），所以可得： 式(9)选择机械惯量为40时，选择机械惯量为70时， 瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量，所以可以建立如下的模型，使得电机驱动电流依赖于可观测量： 式(10)上述解答主要以加速度为桥梁，而电动机驱动电流依赖于客观测量的数学模型也一家速度为桥梁建立起来的。客观测量即是上时刻的瞬时转速与瞬时扭矩，假定时间t被分为了m份，即1，2，.，l-1，l，l+1，m，每段为t/m秒，或实验前就以t=t/m秒为观测时间段。详细分析在第五问中。4.4 重要数量评价指标-能量误差评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时制动器与相对应的试验台上制动器在制动过程中消耗的能量误差。由于路试等效的转动惯量为48 kgm2，机械惯量为35 kgm2，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，又因为 式(11)路试时的能量为： 式(12)j机械惯量所产生的能量为： 式(13)j运用离散的方法计算电动机所产生的能量为： 式(14)10527j 有上述数据计算能量的误差为： 式(15)则能量的误差。结论：我国运输交通局汽车保修检查用机械器具的审查标准规定，在使用范围内，制动力测试误差应不大于5%，略微5%，所以该控制方法有一定的缺陷，需要改进。4.5 模型评价和拟合图形分析题目指出试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。4.5.1模型评价对于第三问我们只分析下面三段：第l段，第l-1段，第l-2段三段间有两个时间间隔。从l-2到l-1为a；从l-1到l为b。假定制动器的阻力距是前一段适合下一段。第l-2段末转速,第l-1段末瞬时转速。则有 式(16)是第l-1段的瞬时扭矩。由此得a过程的。将应用于b过程，设第l段末转速为（它是未知的）,我们的理想值是： 式(17)（这里的既是上个过程的），从而我们知道了下段时间即第l段要尽量达到的瞬时时速。我们在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作的目的即是，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。由能量关系，设第l-1段末能量： 式(18) 第l段末能量： 式(19)由能量关系 ： 式(20) 从而得，他就是第l段的扭矩，由它得第三段的电流i。可按电流i向下工作。从而循环进行l+1，l+2。最初的电动机输出扭矩即： 式(21)将时间向前推移为： 式(22)是如何得知呢。可先随意给定一个，随以后各过程的调整，慢慢就会趋于正常。4.5.2 拟合图形分析由美国mathworks公司推出的matlab以其强大的数值计算功能和卓越的数据可视化能力，现已成为国际上公认的最优秀的数值计算和仿真分析软件。本文的仿真实验就是在matlab/simulink图形建模环境下进行的。根据已知的数据，对附表所提供的数据运用了图形拟合的方法，拟合得到转速关于时间的函数关系，由这个函数可以对任意时刻的转速作出预测进而使用计算机控制。n=379.9*exp(-(t+0.3064)/0.648)2)+375.8*exp(-(t-0.5699)/0.7303)2)+312.2*exp(-(t-1.54)/0.7597)2)+208.7*exp(-(t-2.413)/0.7417)2)+243.6*exp(-(t-3.331)/0.9204)2)+225.7*exp(-(t-4.683)/1.053)2); 式(16)注：n表示转速，图1中用型线表示转速与时间的曲线关系。用红色点线表示拟合所得到得到得曲线。拟合得到的函数及曲线如图1转速-时间拟合图所示：图1. 转速-时间拟合图 fit computation did not converge:maximum number of iterations exceeded. increasing maxiter (in fit options) may allow for a better fit, or the current equation may not be a good model for the data.fit found when optimization terminated:general model gauss7: f(x) = a1*exp(-(x-b1)/c1)2) + a2*exp(-(x-b2)/c2)2) + a3*exp(-(x-b3)/c3)2) + a4*exp(-(x-b4)/c4)2) + a5*exp(-(x-b5)/c5)2) + a6*exp(-(x-b6)/c6)2) + a7*exp(-(x-b7)/c7)2)coefficients (with 95% confidence bounds): a1 = 0 b1 = -0.003433 c1 = 0.0006507 a2 = 379.9 (-1069, 1828) b2 = -0.3064 (-1.311, 0.6983) c2 = 0.648 (-0.4276, 1.724) a3 = 375.8 (-2114, 2866) b3 = 0.5699 (-0.1961, 1.336) c3 = 0.7303 (-2.158, 3.619) a4 = 312.2 (-2736, 3360) b4 = 1.54 (0.8096, 2.27) c4 = 0.7597 (-3.398, 4.917) a5 = 208.7 (-3379, 3796) b5 = 2.413 (-0.02327, 4.85) c5 = 0.7417 (-2.254, 3.737) a6 = 243.6 (-1417, 1904) b6 = 3.331 (1.56, 5.102) c6 = 0.9204 (-3.16, 5.001) a7 = 225.7 (-358.1, 809.4) b7 = 4.683 (1.86, 7.505) c7 = 1.053 (-1.47, 3.575)goodness of fit: sse: 508.8 r-square: 0.9998 adjusted r-square: 0.9998 rmse: 1.067结论：由图可知这两条曲线拟合率高达99.98%，也就是说这两条曲线几乎重合，因而可以通过控制转速来进而控制电流。4.6 pid双闭环控制引入第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。由美国mathworks公司推出的matlab的simulink3工具仿真工具箱中的s-函数编写。基于人脑细胞具有自适应性假说，一个完善的单神经元自适应控制器模型如图2所示。图2. 单神经元自适应控制器模型图2中为单神经元接收的信息，为相应的权重，为相应的学习（或强化）信号，为控制器设定输入，为系统实际输出，为系统误差信号，为单神经元自适应控制器比例因子，为单神经元阈值（这里取为0），带有最大限幅值的s型激发函数。单神经元自适应控制器有n个状态量，因此该控制器的输出表示为： 式(17)式(17)用权重向量w和状态向量x的内积除以权重向量的欧几里德范数,以保证其控制策略的收敛性。权重可通过某些学习规则来确定，假定在学习期间，神经元的关联权重值正比于学习信号，同时缓慢衰减。据此神经元的学习规则可表示为： 式(18)式(18)中为学习速率，c为常数。的不同形式可描述不同的学习规则19。针对直流调速系统的特点，从控制角度出发，应用反馈原理，并将无监督的hebb学习规则和有监督的widrow-hoff规则结合起来2021，得到：这种学习规则，有利于让单神经元自适应控制器在与受控对象的交互作用中，不断地增加学习能力、适应能力和控制能力，易于实时控制。pid双闭环控制引入，基于单神经元自适应pid控制的电惯量系统控制策略，本质上是一类非线性优化控制。该控制策略在系统研究过程中无需对系统进行精确建模，其算法简单，易于实时控制，即使在受控对象参数变化时，依然有良好的控制品质22。针对电惯量系统中电机传动系统的特点，利用单神经元控制器改造系统的转速环，并将无监督的hebb学习规则和有监督的widrow-hoff规则结合起来，设计控制器的学习算法，其目的是解决常规pid转速控制中的一些缺点，如速度响应超调，自适应能力差等。本文的另一种方法为电惯量系统将采用可控硅电机直流调速系统，下面简单介绍一下该系统。在他励直流电机内部，电磁转矩与转速n之间的关系称为电机的机械特性，它是用来描述电机运行性能的。图3所示为他励直流电机的电路原理图，在额定励磁下的电枢回路电压平衡方程式为： 式(19)图3.直流电机的电路原理图式中为电枢回路电压，为电枢回路电流，为电枢回路电阻，为感应电动势。由、和式(19)可得到他励直流电机机械特性的一般表达式： 式(20)式中为电机额定励磁下电动势转速比，为电机输出电磁转矩，为电机额定励磁下转矩电流比，且图4.可控硅电机直流调速系统由可控硅整流装置直接给直流电机供电的系统原理图如图4所示。用触发脉冲的相位来控制整流电压平均值，是可控硅整流器的主要特点。如图中所示，gt是触发装置，v是可控硅整流器，通过调节gt的给定电压，即可移动其输出脉冲的相位，从而很方便地改变v的输出瞬时电压和平均电压, 从而实现平滑调速。当vm系统主电路串接的电抗器有足够大的电感量，而且电机的负载电流也足够大时，整流电流的波形便可能是连续的。当电感较小而且负载较轻时，一相导通电流上升时电感中的储能较少，在电流下降而下一相尚未被触发以前，电流已衰减到零，便产生波形断续的现象。当电流连续时，可控硅直流电机调速系统的机械特性方程式为： 式(21) 这样就可以控制直流电机的转速了，优点在于不仅在经济性和可靠性上有很大提高，而且在技术性能上也显示出较大的优越性。可控硅整流器的功率放大倍数在104以上，其门极电流可以直接用晶体三极管来控制；在控制作用的快速性方面，可控硅整流器是毫秒级，这将会大大提高系统的动态性能。结论开展汽车制动器惯性试验台的探究，使其能更好的模拟制动器实际使用模式和环境条件，更真实的反应制动器性能，不仅能够提高制动器研发水平，提升制动技术，还可以提高制动器测试技术，提高试验台架的设计水平，最关键的是良好的控制方法分析的数学模型建立对制动器产品的研发、质量控制以及整车制动性能都有非常重要的意义。本文针对题目的六个具体问题，在解决问题的基础上，建立了相应的数学模型，并根据评价控制方法优劣的指标对所建模型进行了分析，我们在假定不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差情况下，进行能量误差的计算绝对误差计算，并与国际标准比较，对指标进行评价。使得模型更加的完善，也就是说，使得制动器试验台上的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能的一致。并对制动器试验台控制方法进行了合理的评价，给出了更好的完善方法。参考文献1 王涛、朱文坚，摩擦制动器原理、结构与设计，华南理工大学出版社，19922 马文蔚，物理学，北京：高等教育出版社，2006.33 周洪旋，制动器试验台电惯量系统控制方法研究：25-31，20054 常巍，matlab r2007基础与提高，北京：电子工业出版社，2007.95 王建卫，matlab 7.x，北京：中国水利水电出版社，20076 白红岭，国标滚筒反力式汽车制动检验台的说明：7-8，20037.阮世勋, 平台印机转动惯量与制动力矩的计算与测试:16-18,19907 张德林，西德惯性式双制动器试验台：42-43，20038 王兆武，用数字仿真法精确计算飞轮的转动惯量：15-17，19929 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514.33513.79513.24513.79513.79513.79513.24513.24512.69512.69512.15512.15512.15512.69512.15512.15511.6511.6511.06511.6511.6510.51510.51510.51511.06510.51509.42509.42509.42509.42509.42508.87508.33507.78507.78507.23507.23507.23507.23506.69505.6505.05504.5503.96503.41502.87502.87502.32502.32501.23500.14499.59499.04499.04498.5498.5497.95497.95497.41497.41496.86496.31495.77495.22494.68493.58492.49491.4490.85490.31489.76489.22488.67488.12488.12487.03486.49485.39484.3483.21482.12481.57481.57481.57481.03479.93479.39479.39478.84478.3477.75477.2477.2476.66476.11475.02474.47473.93471.2468.47465.19463.55461.92461.37460.28459.73458.64458.09457.55457.55456.46455.91455.36455.36455.36454.82454.27453.18452.63451.5445145449.9449.36448.81448.27448.27447.72447.17446.63446.08445.54444.99443.9443.35442.81442.26441.71441.71441.71441.71441.17441.17440.62440.08438.98438.44438.44438.44437.89437.35436.8436.25435.71434.62433.52432.98432.98432.43431.34430.79430.79430.25429.7428.61427.52426.97426.43425.88425.88425.88425.33424.79423.7423.15422.6422.6422.06421.51420.42420.42419.87419.87418.78417.69416.6416.05416.05415.51414.96413.87413.32413.32412.78411.68410.59409.5409.54408.95408.95408.41407.86406.77405.68405.13404.59404.59404.04403.49403.49402.95402.4401.31400.22399.67398.58398.03397.49396.94396.4396.4395.85395.3394.21393.12392.57392.57392.03391.48390.94390.94390.39389.84389.3388.75388.21387.66386.57386.02386.02386.02385.48384.38382.75382.2382.2381.11380.02379.47379.47380.02378.92377.83376.74376.19376.19375.1374.56373.46372.92372.92372.37372.37371.83371.28370.73370.73370.19369.64368.55367.46366.91366.37366.37365.82365.27364.73364.73364.18363.64362.54361.45360.91359.81359.27358.72358.72358.18357.63357.08356.54355.99355.45354.9354.35353.81353.26353.26352.72352.17351.62351.62351.08350.53349.44348.35347.8346.71346.16345.62345.62345.62345.07344.53344.53343.98342.89341.25340.16339.61339.07339.07338.52337.97337.43336.88336.88336.34335.79334.7334.15333.61333.06332.51331.42330.88330.33330.33330.33329.78329.24328.15327.6326.51325.96271.91271.36270.82269.72269.18269.18268.63268.09266.99266.45265.9265.36264.26263.72263.72263.72263.17262.63261.53260.99260.44259.9259.9258.8258.26257.71257.17 325.42324.87324.32323.78323.78323.23322.69321.59321.05320.5319.96318.86318.32317.77317.23316.68316.13315.59315.04314.5313.95313.95313.95313.4312.31311.22310.13309.58309.04309.04309.04308.49307.94306.85306.31306.31306.31305.21304.12303.03303.03302.48301.94301.39300.85300.85300.3299.21298.12297.57297.02296.48295.39294.84294.84294.29293.75292.66292.66292.11292.11291.02290.47289.93289.93289.38288.29287.2286.65286.1286.1285.56285.01285.01283.92283.37282.28282.28281.74281.19280.64279.55279.01278.46277.91277.91277.37276.28275.73275.18274.64274.09273.55273272.45;opt=optimset(display,off);f=(p,t)( p(1)*exp(-(t-p(2)/p(3)2)+p(4)*exp(-(t-p(5)/p(6)2)+p(7)*exp(-(t-p(8)/p(9)2)+p(10)*exp(-(t-p(11)/p(12)2)+p(13)*exp(-(t-p(14)/p(15)2)+p(16)*exp(-(t-p(17)/p(118)2)+p(19)*exp(-(t-p(20)/cp(21)2);plot(t,n,k .);hold on;p=fminsearch(p)sum(f(p,t)-n).2),ones(1,10),opt);cc=corrcoef(t,f(p,t);disp(estimated by fminsearch:);disp(a);disp(p);disp(correlation coefficient 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