贵州省2017届高考数学适应性试卷（理科）含答案解析

贵州省 2017 届 高考数学适应性试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 M=x|2x 0， N=x|x 1，则 M N=（ ） A x|x 1 B x|1 x 2 C x|0 x 1 D x|x 1 2已知 x， y R， i 是虚数单位，且（ 2x+i）（ 1 i） =y，则 y 的值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 3已知数列 足 ，若 a3+，则 a4+ ） A B 1 C 4 D 8 4已知 向量 与 不共线，且向量 = +m ， =n + ，若 A， B， 实数 m， n（ ） A B 1 C m+n=1 D m+n= 1 5执行如图所示的程序框图，如果输入的 a， b 分别为 56， 140，则输出的 a=（ ） A 0 B 7 C 14 D 28 6我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”即是高， “幂 ”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所 示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个上底长为 1、下底长为 2 的梯形，且当实数 t 取 0， 3上的任意值时，直线 y= 和图 2 所截得的两线段长总相等，则图 1 的面积为（ ） A 4 B C 5 D 7如图，在正方体 ，点 P 是线段 的动点，则三棱锥 P 俯视图与正视图面积之比的最大值为（ ） A 1 B C D 2 8已知 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， b=2， B=45，若三角形有两解，则 a 的 取值范围是（ ） A a 2 B 0 a 2 C 2 a 2 D 2 a 2 9已知区域 =（ x， y） |x| ， 0 y ，由直线 x= ， x= ，曲线 y= x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为 A，若在区域 内随机取一点 P，则点 P 在区域 A 的概率为（ ） A B C D 10某地一年的气温 Q（ t）（单位： ）与时间 t（月份）之间的关系如图所示已知该年的平均气温为 10 ，令 C（ t）表示时间段 0， t的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示 C（ t）与 t 之间的函数关系的 是（ ） A B C D 11已知点 A 是抛物线 y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点， m|当 m 取最大值时 |值为（ ） A 1 B C D 2 12已知函数 f（ x） = 函数 g（ x） =f（ 2 x） b，其中 b R，若函数 y=f（ x） +g（ x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A（ 7， 8） B（ 8， + ） C（ 7， 0） D（ ， 8） 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若函数 f（ x） =（ x a）（ x+3）为偶函数，则 f（ 2） = 14（ x+a） 4 的展开式中含 的系数为 9，则实数 a 的值为 15设 A， B 是球 O 的球面上两点， ， C 是球面上的动点，若四面体体积 V 的最大值为 ，则此时球的表面积为 16已知数列 足 40，且 （ n+1） n，则 最小值时 三、解答题（本题共 70 分） 17（ 12 分）设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 ， （ 1）求 边长 a 的值； （ 2）若 面积 S=9，求 周长 18（ 12 分）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地 2016 年 20天 平均浓度（单位：微克 /立方米）监测数据，得到甲地 平均浓度频率分布直方图和乙地 平均浓度的频数分布表 乙地 20 天 平均浓度频数分布表 平均浓度（微克 /立方米） 0， 20 （ 20， 40 （ 40， 60 （ 60， 80 （ 80， 100 频数（天） 2 3 4 6 5 （ 1）根据乙地 20 天 平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地 平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ 2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级： 满意度等级 非常满意 满意 不满意 平均浓度（微克 /立方米） 不超过 20 大于 20 不超过60 超过 60 记事件 C： “甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级 ”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计 总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件 C 的概率 19（ 12 分）如图 1，在等腰直角三角形 ， B=90，将 中位线 折得到如图 2 所示的空间图形，使二面角 A C 的大小为 （ 0 ） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 = ，求直线 平面 成角的正弦值 20（ 12 分）已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，点 P（ 1， ）在椭圆 E 上，直线 l 过椭圆的右焦点 F 且与椭圆相交于 A， B 两点 （ 1）求 E 的方程； （ 2）在 x 轴 上是否存在定点 M，使得 为定值？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =数 f（ x）的图象在点 x=1 处的切线与直线 x+2y 1=0 垂直 （ 1）求 a 的值和 f（ x）的单调区间； （ 2）求证： f（ x） 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）曲线 参数方程为 （ 为参数）在以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 极坐标方程为 （ 1）求曲线 极坐标方程和曲线 直角坐标方 程； （ 2）过原点且倾斜角为 （ ）的射线 l 与曲线 别相交于 A，B 两点（ A， B 异于原点），求 |取值范围 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 1|+|x 5|， g（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小值； （ 2）记 f（ x）的最小值为 m，已知实数 a， b 满足 a2+，求证： g（ a） +g（ b） m 2017 年贵州省高考数学适应性试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设集合 M=x|2x 0， N=x|x 1，则 M N=（ ） A x|x 1 B x|1 x 2 C x|0 x 1 D x|x 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 M，再根据交集的定义写出 M N 【解答】 解：集合集合 M=x|2x 0=x|0 x 2， N=x|x 1， 则 M N=x|1 x 2 故选： B 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知 x， y R， i 是虚数单位，且（ 2x+i）（ 1 i） =y，则 y 的值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解： y=（ 2x+i）（ 1 i） =2x+1+（ 1 2x） i， ， 解得 y=2 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了计算能力，属于基础题 3已知数列 足 ，若 a3+，则 a4+ ） A B 1 C 4 D 8 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 根据已知条件可以求得公比 q=2 【解答】 解： 数列 足 ， =2 则该数列是以 2 为公比的等比数列 由 a3+，得到： 4， 解得 ， 则 a4+644 =4， 故选： C 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题 4已知向量 与 不共线，且向量 = +m ， =n + ，若 A， B， 实数 m， n（ ） A B 1 C m+n=1 D m+n= 1 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 由题意可得 ，再根据两个向量共线的 性质可得 = ，由此可得结论 【解答】 解：由题意可得 ， = ，故有 = ， ， 故选： A 【点评】 本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题 5执行如图所示的程序框图，如果输入的 a， b 分别为 56， 140，则输出的 a=（ ） A 0 B 7 C 14 D 28 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a， b 的值，当 a=28， b=28时，不满足条件 a b，退出循环，输出 a 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=56， b=140， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=140 56=84， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=84 56=28， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=56 28=28， 不满足条件 a b，退出循环，输出 a 的值为 28 故选： D 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的 a，b 的值是解题的关键，属于基本知识的考查 6我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”即是高， “幂 ”是面积意思是：如果两等高的几何体在 同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个上底长为 1、下底长为 2 的梯形，且当实数 t 取 0， 3上的任意值时，直线 y= 和图 2 所截得的两线段长总相等，则图 1 的面积为（ ） A 4 B C 5 D 【考点】 进行简单的演绎推理 【分析】 根据题意，由祖暅原理，分析可得图 1 的面积等于图 2 梯形的面积，计算梯形的面积即可得出结论 【解答】 解：根据题意，由祖暅原理，分析可得图 1 的面积等于图 2 梯形 的面积， 又由图 2 是一个上底长为 1、下底长为 2 的梯形，其面积 S= = ； 故选： B 【点评】 本题考查演绎推理的运用，关键是理解题目中祖暅原理的叙述 7如图，在正方体 ，点 P 是线段 的动点，则三棱锥 P 俯视图与正视图面积之比的最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 分析三棱锥 P 正视图与侧视图的形状，并求出面积，可得答案 【解答】 解：设棱长为 1，则三棱锥 P 正视图是底面边长为 1，高为 1的 三角形，面积为： ； 三棱锥 P 俯视图取最大面积时， P 在 ，俯视图面积为： ； 故三棱锥 P 俯视图与正视图面积之比的最大值为 1， 故选： A 【点评】 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，根据已知分析出三棱锥 P 正视图与侧视图的形状，是解答的关键 8已知 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， b=2， B=45，若三角形有两解，则 a 的取值范围是（ ） A a 2 B 0 a 2 C 2 a 2 D 2 a 2 【考点】 正弦定理 【分析】 由题意判断出三角 形有两解时 A 的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出 a 的范围即可 【解答】 解：由 AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以 C 为圆心，半径为 2的圆与 两个交点， 当 A=90时，圆与 切； 当 A=45时交于 B 点，也就是只有一解， 45 A 135，且 A 90，即 1， 由正弦定理以及 得： a= =2 2 （ 2， 2 ） a 的取值范围是（ 2， 2 ） 故选： C 【点评】 此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函 数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题 9已知区域 =（ x， y） |x| ， 0 y ，由直线 x= ， x= ，曲线 y= x 轴围成的封闭图象所表示的区域记为 A，若在区域 内随机取一点 P，则点 P 在区域 A 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 首先明确几何概型测度为区域面积，利用定积分求出 A 的面积，然后由概型公式求概率 【解答】 解：由已知得到事件对应区域面积为 =4， 由直线 x= ， x= ，曲线 y= x 轴围成的封闭图象所表示的区域 记为A，面积为 2 =2= ， 由急火攻心的公式得到所求概率为： ； 故选 C 【点评】 本题考查了几何概型的概率求法；明确几何测度是关键 10某地一年的气温 Q（ t）（单位： ）与时间 t（月份）之间的关系如图所示已知该年的平均气温为 10 ，令 C（ t）表示时间段 0， t的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示 C（ t）与 t 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据图象的对称关系和条件可知 C（ 6） =0， C（ 12） =10，再根据气温变化趋势可 知在前一段时间内平均气温大于 10，使用排除法得出答案 【解答】 解： 气温图象在前 6 个月的图象关于点（ 3， 0）对称， C（ 6） =0，排除 D； 注意到后几个月的气温单调下降，则从 0 到 12 月前的某些时刻，平均气温应大于 10 ，可排除 C； 该年的平均气温为 10 ， t=12 时， C（ 12） =10，排除 B； 故选 A 【点评】 本题考查了函数图象的几何意义，函数图象的变化规律，属于中档题 11已知点 A 是抛物线 y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点， m|当 m 取最大 值时 |值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 过 P 作准线的垂线，垂足为 N，则由抛物线的定义，结合 |m|设 倾斜角为 ，则当 m 取得最大值时， 小，此时直线 抛物线相切，求出 P 的坐标，即可求得 |值 【解答】 解：抛物线的标准方程为 y， 则抛物线的焦点为 F（ 0， 1），准线方程为 y= 1， 过 P 作准线的垂线，垂足为 N， 则由抛物线的定义可得 | |m| |m| 设 倾斜角为 ，则 ， 当 m 取得最大值时， 时直线 抛物线相切， 设直线 方程为 y=1，代入 y， 可得 （ 1）， 即 4=0， =1616=0， k= 1， P（ 2， 1）， | =2 故选 D 【点评】 本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当 m 取得最大值时， 时直线 抛物线相切，属中档题 12已知函数 f（ x） = 函数 g（ x） =f（ 2 x） b，其中 b R，若函数 y=f（ x） +g（ x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（ ） A（ 7， 8） B（ 8， + ） C（ 7， 0） D（ ， 8） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 求出函数 y=f（ x） +g（ x）的表达式，构造函数 h（ x） =f（ x） +f（ 2x），作出函数 h（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：函数 g（ x） =f（ 2 x） b，由 f（ x） +g（ x） =0，得 f（ x） +f（ 2 x） = ， 设 h（ x） =f（ x） +f（ 2 x）， 若 x 0，则 x 0， 2 x 2， 则 h（ x） =f（ x） +f（ 2 x） =2+x+ 若 0 x 2，则 2 x 0， 0 2 x 2， 则 h（ x） =f（ x） +f（ 2 x） =2 x+2 |2 x|=2 x+2 2+x=2， 若 x 2， x 2， 2 x 0， 则 h（ x） =f（ x） +f（ 2 x） =（ x 2） 2+2 |2 x|=5x+8 作出函数 h（ x）的图象如图： 当 x 0 时， h（ x） =2+x+ x+ ） 2+ ，当 x 2 时， h（ x） =5x+8=（ x ） 2+ 由图象知要使函数 y=f（ x） +g（ x）恰有 4 个零点， 即 h（ x） = 恰有 4 个根， ，解得： b （ 7， 8） 故选： A 【点评】 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题 二、填空题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若函数 f（ x） =（ x a）（ x+3）为偶函数，则 f（ 2） = 5 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据偶函数 f（ x）的定义域为 R，则 x R，都有 f（ x） =f（ x），建立等式，解之求出 a，即可求出 f（ 2） 【解答】 解：因为函数 f（ x） =（ x a）（ x+3）是偶函数， 所以 x R，都有 f（ x） =f（ x）， 所以 x R，都有（ x a） （ x+3） =（ x a）（ x+3）， 即 a 3） x 3a= a 3） x 3a， 所以 a=3， 所以 f（ 2） =（ 2 3）（ 2+3） = 5 故答案为： 5 【点评】 本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题 14（ x+1）（ x+a） 4 的展开式中含 的系数为 9，则实数 a 的值为 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用（ x+1）（ x+a） 4=（ x+1） （ ），进而得出 【解答】 解：（ x+1）（ x+a） 4=（ x+1）（ ）， 展开式中含 的系数为 9， 1+4a=9， 解得 a=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了二项式定理的展开式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15设 A， B 是球 O 的球面上两点， ， C 是球面上的动点，若四面体体积 V 的最大值为 ，则此时球的表面积为 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 当点 C 位于垂直于面 ，三棱锥 O 体积最大，利用三棱锥 O 积的最大值为 ，求出半径，即可求出球 O 的体积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 ，三棱锥 O 体积最大， 设球 O 的半径为 R，此时 C R= ， 故 R=3，则球 O 的表面积为 46， 故答案为： 36 【点评】 本题考查球的半径，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 ，三棱锥 O 体积最大是关键属于中档题 16已知数列 足 40，且 （ n+1） n，则 最小值时 为 10 或 11 【考点】 数列递推式 【分析】 （ n+1） n，化为 =2，利用等差数列的通项公式可得 利用二次函数的单调性即可得出 【解答】 解： （ n+1） n， =2， 数列 是等差数列，首项为 40，公差为 2 = 40+2（ n 1），化为： 42n=2 则 最小值时 n 的值为 10 或 11 故答案为： 10 或 11 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 三、解答题（本题共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017贵州模拟）设 内角 A， B， C 所对的边分别为 a，b， c，且 ， （ 1）求 边长 a 的值； （ 2）若 面积 S=9，求 周长 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 （ 1）由 ， ，两式相除，结合正弦定理可求 ，又 ，可得 0，从而可求 可解得 a 的值 （ 2）由（ 1）知 ，利用三角形面积公式可求 c，由余弦定理可求 b，从而解得三角形周长的值 【解答】 解：（ ）在 ，由 ， ， 两式相除，有 = = = = ， 所以 ， 又 ， 故 0，则 ， 所以 a=5 （ 6 分） （ 2）由（ 1）知 ， 由 S= 到 c=6 由 b2=a2+2 b= ， 故 l=5+6+ =11+ 即 周长为 11+ （ 12 分） 【点评】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三 角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地 2016 年 20 天 平均浓度（单位：微克 /立方米）监测数据，得到甲地 平均浓度频率分布直方图和乙地 平均浓度的频数分布表 乙地 20 天 平均浓度频数分布表 平均浓度（微克 /立方米） 0， 20 （ 20， 40 （ 40， 60 （ 60， 80 （ 80， 100 频数（天） 2 3 4 6 5 （ 1）根据乙地 20 天 平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地 平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ 2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级： 满意度等级 非常满意 满意 不满意 平均浓度（微克 /立 不超过 20 大于 20 不超过 超过 60 方米） 60 记事件 C： “甲地市民对空气质量的满意度等级高于乙地市民对空气质量的满意度等级 ”，假设两地市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总 体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件 C 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据乙地 20 天 平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果 （ 2）记 示事件： “甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意 ”，示事件： “甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意 ”， 示事件： “乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意 ”， 示事件： “乙地市民对空气质量的满意度等级为满意 ”，则 立， 立， 斥， C=此能求出事件 C 的概率 【解答】 解：（ 1）根据乙地 20 天 平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下图： 由频率分布直方图得： 甲地 平均浓度的平均值低于乙地 平均浓度的平均值， 而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散 （ 2）记 示事件： “甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意 ”， 示事件： “甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意 ”， 示事件： “乙地市民对空气质量的满意 度等级为不满意 ”， 示事件： “乙地市民对空气质量的满意度等级为满意 ”， 则 立， 立， 斥， C= P（ C） =P（ =P（ P（ +P（ P（ 由题意 P（ = ， P（ = ， P（ = ， P（ = ， P（ C） = 【点评】 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用 19（ 12 分）（ 2017贵州模拟 ）如图 1，在等腰直角三角形 ， B=90，将 中位线 折得到如图 2 所示的空间图形，使二面角 A （ 0 ） （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 = ，求直线 平面 成角的正弦值 【考点】 直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明： 平面 证 平面 可证明平面 平面 （ 2）取 点 O， （ 1）得平面 平面 面 以以 O 为原点，建立 如图坐标系， 则 A（ 0， 0， ）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 4， 0）， E（ 1， 2， 0），利用平面 法向量 求解 【解答】 （ 1）证明：由题意， ， 平面 平面 面 平面 平面 （ 2）由已知可得二面角 A C 的平面角就是 等腰直角三角形 直角边 ，则在 ， B=， 取 点 O， （ 1）得平面 平面 面 所以以 O 为原点，建立如图坐标系， 则 A（ 0， 0， ）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 4， 0）， E（ 1， 2， 0） 设平面 法向量为 ， ， 由 ，取， ， 直线 平面 成角的 ， |=| |= 即直线 平面 成角的正弦值为： 【点评】 本题考查线面垂直，考查向量法求二面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017贵州模拟）已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，点 P（ 1， ）在椭圆 E 上，直线 l 过椭圆 的右焦点 F 且与椭圆相交于 A，B 两点 （ 1）求 E 的方程； （ 2）在 x 轴上是否存在定点 M，使得 为定值？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由题意的离心率公式求得 a= c， b2=c2=直线方程代入椭圆方程，即可求得 a 和 b，求得椭圆方程； （ 2）在 x 轴上假设存在定点 M（ m， 0），使得 为定值若直线的斜率存在，设 斜率为 k， F（ 1， 0），由 y=k（ x 1）代入椭圆方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，即可得到 定点和定值；检验直线斜率不存在时，也成立 【解答】 解：（ 1）由椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的离心率 e= = ，则 a= c， 由 b2=c2= P（ 1， ）代入椭圆方程 ， 解得： c=1， a= ， b=1， 椭圆的标准方程： ； （ 2）在 x 轴上假设存在定点 M（ m， 0），使得 为定值 若直线的斜率存在，设 斜率为 k， F（ 1， 0）， 由 ，整理得（ 1+242=0， x1+， ， 1）（ 1） =k2（ x1+ =+1 ） = ， 则 =（ m）（ m） +m（ x1+ = +m = ， 欲使得 为定值，则 24m+1=2（ 2）， 解得： m= ， 此时 = 2= ； 当 率不存在时，令 x=1，代入椭圆方程，可得 y= ， 由 M（ ， 0），可得 = ，符合题意 故在 x 轴上存在定点 M（ ， 0），使得 = 【点评】 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨 论的思想方法和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017贵州模拟）已知函数 f（ x） =数 f（ x）的图象在点 x=1 处的切线与直线 x+2y 1=0 垂直 （ 1）求 a 的值和 f（ x）的单调区间； （ 2）求证： f（ x） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）由 f（ 1） =1+a=2，解得： a=1，利用导数求解单调区间 （ 2）要证 f（ x），即证 ， x 0 时，易得 x+1，即只需证明 x 即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） =+a， f（ 1） =1+a=2，解得： a=1， 故 f（ x） =x， f（ x） =， 令 f（ x） 0，解得： x e 2， 令 f（ x） 0，解得： 0 x e 2， 故 f（ x）在（ 0， e 2）递减，在（ e 2， + ）递增； （ 2）要证 f（ x），即证 2 0，即证 ， x 0 时，易得 x