广东省东莞市2017届高三第二次模拟测试数学文试题含答案

东莞市 2017 届高三第二次模拟测试 数学（文科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 i （ ） A 376B 376C 376D 3762已知集合 2 5 3 0A x x x ， 1, 2 , 3, 4 , 5B ，则 R （ ） A 1,2,3 B 2,3 C 1,2 D 1 3某公司为了解该公司 800 名员工参加运动的 情况，对公司员工半年来的运动时间进行统计得到如图所示的频率分布直方图，则运动时间超过 100 小时的员工有（ ） A 360 人 B 480 人 C 600 人 D 240 人 4九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造的一种标准量器 商鞅同方升，其主体部分的三视图如图所示，则该量器的容积为（ ） A 252 B 189 C 126 D 63 5函数 s i n 43的图象 的一条对称轴方程是（ ） A 1124x B8x C4x D 1124x 6已知单位向量 夹角为 120 ，则 3 ） A 3 B 23 C 13 D 15 7已知等比数列 n 项积为2 3 2 7l o g l o g 2，则9 ） A 512 B 512 C 1024 D 1024 8运行如图所示的程序框图，若输出的 k 的值为 13，则判断框中可以填（ ） A 7?m B 7?m C 8?m D 9?m 9已知过原点的直线13 1 0 垂直，圆 C 的方程为2 2 22 2 1 2x y a x a y a （ 0a ），若直线 1l 与圆 C 交于 M ， N 两点，则当 心 C 的坐标为（ ） A 55,22B 33,22C 11,22D 1,1 10已知函数 2 2 , 2 0 ,1 1 , 0 2 ,x x x x ，则关于 x 的方程 0x f x在 2,2 上的根的个数为（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 11已知 F 为双曲线 C ： 221（ 0a ， 0b ）的右焦点，1l，2 的两条渐近线，点 A 在11FA l，点 B 在21FB l，若 45B，则双曲线 ） A 52或 5 B 52或 352C 52D 5 12已知函数 2mf x x x m x ，则函数 1,2 上的最小值 不可能 为（ ） A 3 21 22e 4m D 2 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知实数 x ， y 满足 3,2 6,8, 则 2z x y 的最小值为 14 已知等差数列 n 项和为 3，7a，517S 15从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中随机抽取 3 个，则所抽取的数字中有且仅有 1 个数能被 2整除的概率为 16如图所示，三棱锥 P 中， 边长为 3 的等边三角形， D 是线段 中点， B EI ，且 B ，若 120 ， 32 332则三棱锥 P 的外接球的表面积为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知 ，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， s s ， 7b . （ ）若6B ，证明： ； （ ）若 B 为钝角， 12B ，求 上的高 . 18为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了 8 组数据作为研究对象，如下图所示（ x （吨）为买进蔬菜的质量， y （天）为销售天数）： x 2 3 4 5 6 7 9 12 y 1 2 3 3 4 5 6 8 （ ）根据上表数据在下列网格中绘 制散点图； （ ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a； （ ）根据 （）中的计算结果，若该蔬菜商店准备一次性买进 25 吨，则预计需要销售多少天 . 参考公式： 121x y 1221n x yx n x， a y . 19 已知多面体 ，四边形 平行四边形， 平面 且 2，1C， 2F ， D . （ ）求证：平面 平面 （ ）若 2，求多面体 体积 . 20已知椭圆 C ： 221（ 0 ）的离心率为 12，且过点 31,2，椭 圆 C 的右顶点为 A . （ ）求椭圆的 C 的标准方程； （ ）已知过点 1,02B的直线交椭圆 C 于 P ， Q 两点，且线段 中点为 R ，求直线斜率的取值范围 . 21已知函数 ln . （ ）若关于 x 的不等式 f x m x g x恒成立，求实数 m 的取值范围； （ ）若120，求证： 1 1 2 2x f x x f x 2212 2 1 22 x x x. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22选修 4标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，曲线1 3 c o s ,1 3 s i （ 为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 . （ ）求曲线1 （ ）若直线6（ R ）与曲线1 ， Q 两点，求线段 长度 . 23选修 4等式选讲 已知函数 31f x x x 的最小值为 m . （ ）求 m 的值以及此时的 x 的取值范围； （ ）若实数 p ， q ， r 满足 2 2 22p q r m ，证明： 2q p r. 东莞市 2017 届高三第二次模拟测试 数学（理科）答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13 2 14 51 15 3516 13 三、解答题 17解：（ ）依题意，由正弦定理可知 3. 由余弦定理，得 2 273 2 3 c o sc c B ， 故 2 7c ， 7，故 . （ ）因为 12B ，故 523B ，故 56B . 由余弦定理可得 2 273 2 3 c o sc c B ，解得 1c ， 3a . 由正弦定理可得 175s in s ，解得 7，故 213 s i . 18解：（ ）散点图如图所示： （ ）依题意， 1 23458x 6 7 9 1 2 6 ，1 1 2 3 48y 5 6 8 4 ， 8 214 9 1 6 2 5 3 6 4 9 8 1 1 4 4 3 6 4 ， 812 6 1 2 1 5 2 4 3 5 5 4 9 6 2 4 4 ， 818218y x 22 4 4 8 6 4 1 33 6 4 8 6 1 9 ， 1 3 2 461 9 1 9a ， 回归直线方程为 13 219 19. （ ）由（ ）知，当 25x 时， 13 2519y 2 1719. 即若一次性买进蔬菜 25 吨，则预计需要销售 17 天 . 19解： （ ） 平面 平面 C. 又 2， 1C， 2 2 2A C A E E C ， C. 又 D AI ， 平面 平面 平面 平面 （ ）易知 D ，又 D ， F，由（ ）知 C ， 又 C EI ， 平面 又 2， 1. A B C D E F A B C E F D A E V 1132 E F B C A 1132 D 11 1232 111132 1 1 2 56 . 20解：（ ）依题意，221914， 12， 2 2 2a b c， 解得 2a ， 3b ， 1c ， 故椭圆 C 的标准方程为 22143. （ ）依题意，直线 点 1,02.当直线 斜率不为 0 时，可设其方程为12x ， 联立221 ,21,43x 消去 x 得 224 3 4 1 2 4 5 0m y m y ， 设点 11,P x y， 22,Q x y， 00,R x y，直线 斜率为 k ， 故12 2334m ， 0 232 3 4my m ， 当 0m 时， 0k ， 当 0m 时， 144k ，因为 444 4 8m，故 110 4 84 m m， 当且仅当 44 即 1m 时等号成立 . 故 108k，故 1188k且 0k . 当直线 斜率为 0 时，线段 中点 R 与坐标原点重合， 斜率为 0. 综上所述，直线 斜率的取值范围为 11,88. 21解：（ ） Q 对任意 0x ，不等于 f x m x g x恒成立， 2ln e xx 在 0x 上恒成立，进一步转化为2 m a xm i nl n e xx ， 设 2ln x ， 31 2 ln x ，当 0, 时， 0 ，当 e,x 时， 0 ， 当 时， m a . 设 则 2x 2 ，当 0,1x 时， 0 ， 当 1,x 时， 0 ，所以 1x 时， m in ， 综上知 1 m，所以实数 m 的取值范围为 1 ,. （ ）当120时，要证明 1 1 2 2x f x x f x 2212 2 1 22 x x x， 即证12ln 2 1 222122 x x ，即证11222 1222l n 01， 令121xt x，设 222tu t t t ，则 22221 2 11t t ， Q 当 1,t 时， 2 10t ， 2 2 1 0 ， 0， 在 1, 上单调递增， 10u t u ，故11222 1222l n 01， 即 1 1 2 2x f x x f x 2212 2 1 22 x x x. 22解：（ ）因为 3 3 c o s ,1 3 s i n , 故 2 23 1 9 ，故2223x y x 2 5 0y ，故曲线 1C 的极坐标方程为2 2 3 c o s 2 s 0. 因为 2 ，故 2 2 c o s ，故2220x y x （或写成 2 211 ） . （ ）设 P ， Q 两点所对应的极径分别为1，2，将6 （ R ）代入 2 2 3 c o s 2 s 0 中，整理得 2 2 5 0 ， 故122，12 5，故12 21 2 1 24 26.