北京市丰台区2017届高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1如果集合 A=x Z| 2 x 1， B= 1， 0， 1，那么 A B=（ ） A 2， 1， 0， 1 B 1， 0， 1 C 0， 1 D 1， 0 2已知 a， b R，则 “b 0”是 “复数 a+纯虚数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3定积分 =（ ） A 10 8 D 4设 E， F 分别是正方形 边 的点，且 ， ，如果 （ m， n 为实数），那么 m+n 的值为（ ） A B 0 C D 1 5执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 64，则判断框内可填入的条件是（ ） A k 3？ B k 3？ C k 4？ D k 4？ 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 7小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制， 5 人坐 成一排若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） A 60 B 72 C 84 D 96 8一次猜奖游戏中， 1， 2， 3， 4 四扇门里摆放了 a， b， c， d 四件奖品（每扇门里仅放一件）甲同学说： 1 号门里是 b， 3 号门里是 c；乙同学说： 2 号门里是 b， 3 号门里是 d；丙同学说： 4 号门里是 b， 2 号门里是 c；丁同学说： 4 号门里是 a， 3 号门里是 c如果他们每人都猜对了一半，那么 4 号门里是（ ） A a B b C c D d 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9抛物线 x 的准线方程 是 10已知 等差数列， 其前 n 项和若 ， ，则 11在 ，若 b2=，则 A= 12若 x， y 满足 ，则 的取值范围是 13在平面直角坐标系 ，曲线 x+y=4，曲线 （ 为参数），过原点 O 的直线 l 分别交 A， B 两点，则 的最大值为 14已知函数 f（ x） =e x，下列命题正确的有 （写出所有正确命题的编号） f（ x）是奇函数； f（ x）在 R 上是单调递增函数； 方程 f（ x） =x 有且 仅有 1 个实数根； 如果对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） 么 k 的最大值为 2 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） =x）（ 0）的图象如图所示 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若 ，求 g（ x）在 上的单调递减区间 16如图 1，平面五边形 ， 0， ， ， 的正三角形现将 起，得到四棱锥 E 图 2），且 （ ）求 证：平面 平面 （ ）求平面 平面 成锐二面角的大小； （ ）在棱 是否存在点 F，使得 平面 存在，求 的值；若不存在，请说明理由 17某公司购买了 A， B， C 三种不同品牌的电动智能送风口罩为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出 25 台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A 4 4 6 B 6 7 C 5 5 6 7 7 8 （ ）已知该公司购买的 C 品牌电动智能送风口罩比 B 品牌多 200 台，求该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量； （ ）从 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求 品牌的概率； （ ）再从 A， B， C 三种不同品牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是 a， b， c（单位：小时）这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0若 0 1，写出 a+b+论不要求证明） 18已 知函数 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）对任意 ，都有 m 的取值范围 19已知椭圆 C： 的离心率为 ，右焦点为 F，点 B（ 0， 1）在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 的直线交椭圆 C 于 M， N 两点，交直线 x=2 于点 P，设 ，求证： + 为定值 20对于 n N*，若数列 足 1，则称这个数列为 “K 数列 ” （ ）已知数列： 1， m+1， “K 数列 ”，求实数 m 的取值范围； （ ）是否存在首项为 1 的等差数列 “K 数列 ”，且其前 n 项和 足？若存在，求出 通项公式；若不存在，请说明理由； （ ）已知各项均为正整数的等比数列 “，数列 不是 “，若 ，试判断数列 否为 “K 数列 ”，并说明理由 2017 年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1如果集合 A=x Z| 2 x 1， B= 1， 0， 1，那么 A B=（ ） A 2， 1， 0， 1 B 1， 0， 1 C 0， 1 D 1， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A 和 B，由此利用交集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x Z| 2 x 1= 2， 1， 0， B= 1， 0， 1， A B= 1， 0 故选： D 2已知 a， b R，则 “b 0”是 “复数 a+纯虚数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 a， b R，复数 a+纯虚 数 ，即可判断出结论 【解答】 解： a， b R，复数 a+纯虚数 ， “b 0”是 “复数 a+纯虚数 ”的必要不充分条件 故选： B 3定积分 =（ ） A 10 8 D 【考点】 定积分 【分析】 求出原函数，即可求出定积分 【解答】 解： = =8 故选 B 4设 E， F 分别是正方形 边 的点，且 ， ，如果 （ m， n 为实数），那么 m+n 的值为（ ） A B 0 C D 1 【考点】 平面向量的基本定理及其意 义 【分析】 如 图 所 示 ， = = 即可求得 m， n 即可 【解答】 解：如图所示， = = m= ， n= ， ， 故选： C 5执行如图所示的程序框图，若输出的 S 的值为 64，则判断框内可填入的条件是（ ） A k 3？ B k 3？ C k 4？ D k 4？ 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，当 k=4 时，退出循环，输出 S 的值为 64，故判断框图可填入的条件是 k 3 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： S=1， k=0 满足条件， S=1， k=1， 满足条件， S=2， k=2， 满足条件， S=8， k=3， 满足条件， S=64， k=4， 由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 64 结合选项可得判断框内填入的条件可以是： k 3 故选： A 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体，可得答案 【解答】 解：根据已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯 视图为底面的三棱柱切去一个三棱锥得到的组合体， 其底面面积 S= 1 1= ， 柱体的高为： 2，锥体的高为 1， 故组合体的体积 V= 2 1= ， 故选： A 7小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制， 5 人坐成一排若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ） A 60 B 72 C 84 D 96 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分 3 种情况讨论： 、小明的父母的只有 1 人与小明相邻且父母不相邻， 、小明的父母的只有 1 人与小明相邻且父母相邻， 、小 明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，分 3 种情况讨论： 、若小明的父母的只有 1 人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有 种情况， 将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有 种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有 2 种安排方法， 此时有 2 2 12=48 种不同坐法； 、若小明的父母的只有 1 人与小明相邻且父母相邻时， 将父母及小明看成一 个整体， 小明在一端，有 2 种情况，考虑父母之间的顺序，有 2 种情况，则这个整体内部有 2 2=4 种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况， 此时有 2 2 6=24 种不同坐法； 、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将 3 人看成一个整体，考虑父母的顺序，有 种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况， 此时，共有 2 6=12 种不同坐法； 则一共有 48+24+12=84 种不同坐法； 故选： C 8一次猜奖游戏中， 1， 2， 3， 4 四扇门里摆放了 a， b， c， d 四件奖品（每扇门里仅放一件）甲同学说： 1 号门里是 b， 3 号门里是 c；乙同学说： 2 号门里是 b， 3 号门里是 d；丙同学说： 4 号门里是 b， 2 号门里是 c；丁同学说： 4 号门里是 a， 3 号门里是 c如果他们每人都猜对了一半，那么 4 号门里是（ ） A a B b C c D d 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据题意，条件 “四人都只说对了一半 ”，若甲同学猜对了 1 b，依次判断 3 d， 2 c， 4 a，再假设若甲同学猜对了 3 c 得出矛盾 【解答】 解：根据题意：若甲同学猜对了 1 b，则乙同学猜对了， 3 d，丙同学 猜对了， 2 c，丁同学猜对了， 4 a， 根据题意：若甲同学猜对了 3 c，则丁同学猜对了， 4 a，丙同学猜对了， 2c，这与 3 c 相矛盾， 综上所述号门里是 a， 故选： A 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9抛物线 x 的准线方程是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程求得 p，进而根据抛物线的性质，求得答案 【解答】 解：抛物线 x， p=1， 准线方程是 x= 故答案为： 10已知 等差数列， 其前 n 项和若 ， ，则 16 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 【解答】 解： 等差数列， 其前 n 项和 ， ， ， 解得 a8=d=16 故答案为： 16 11在 ，若 b2=，则 A= 【考点】 余弦定理 【分析】 根据余弦定理求解出 a， c 的关系，即可判断角 A 的大小 【解答】 解：由 b2=， 根据余弦定理 ， 可得 a2+（ a c） 2=0， a=c， 由 b2=得 a=b=c 等边三角形 A= 故答案为： 12若 x， y 满足 ，则 的取值范围是 ， 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出约束条件的可行域，然后分析 的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解 【解答】 解：满足约束条件 的可行域， 如下图所示： 又 表示的是可行域内一点与原点连线的斜率 当 x= ， y= 时， 有最小值 ； 当 x=1， y=6 时， 有最大值 6 故答案为： ， 6 13在平面直角坐标系 ，曲 线 x+y=4，曲线 （ 为参数），过原点 O 的直线 l 分别交 A， B 两点，则 的最大值为 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 求出曲线 （ 为参数）的普通方程，设直线方程为 y=0，求出 | |即可求出 的最大值 【解答】 解：曲线 （ 为参数），普通方程为（ x 1） 2+ 设 直 线 方 程 为 y=0 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= ， |2 = ， y=0 与 x+y=4 联立，可得 A（ ， ）， | ， = ， 设 k+1=t（ t 0），则 = = 的最大值为 故答案为 14已知函数 f（ x） =e x，下列命题正确的有 （写出所有正确命题的编号） f（ x）是奇函数； f（ x）在 R 上是单调递增函数； 方程 f（ x） =x 有且仅有 1 个实数根； 如果对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） 么 k 的最大值为 2 【考点】 函数恒成立问题；命题的真假判断与应用 【分析】 根据题意，依次分析 4 个命题，对于 、由奇函数的定义分析可得 正确；对于 、对函数 f（ x） =e x 求导，分析可得 f（ x） 0，分析可得 正确；对于 、 g（ x） =e x 2x，分析可得 g（ 0） =0，即方程 f（ x） =x=0，进而利用二分法分析可得 g（ x）有一根在（ 3， 4）之间，即方程 f（ x） =x 至少有 2 跟，故 错误，对于 、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得 正确，综合可得答案 【解答】 解：根据题意，依次分析 4 个命题： 对于 、 f（ x） =e x，定义域是 R，且 f（ x） =e x f（ x）， f（ x）是奇函数；故 正确； 对于 、若 f（ x） =e x，则 f（ x） =ex+e x 0，故 f（ x）在 R 递增；故 正确； 对于 、 f（ x） =x，令 g（ x） =e x 2x， 令 x=0 可得， g（ 0） =0，即方程 f（ x） =x 有一根 x=0， g（ 3） = 13 0， g（ 4） = 20 0， 则方程 f（ x） =x 有一根在（ 3， 4）之间， 故 错误； 对于 、如果对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） e x 0 恒成立， 令 h（ x） =e x h（ 0） =0， 若 h（ x） 0 恒成立，则必有 h（ x） =ex+e x k 0 恒成立， 若 ex+e x k 0，即 k ex+e x=恒成立， 而 2，若有 k 2， 故 正确； 综合可得： 正确； 故答案为： 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15已知函数 f（ x） =x）（ 0）的图象如图所示 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若 ，求 g（ x）在 上的单调递减区间 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【分析】 （ ）由图象求得 A 及周期，再由周期公式求得 ，则 f（ x）的解析式可 求； （ ）把 f（ x）代入 ，整理后由复合函数的单调性求得g（ x）在 上的单调递减区间 【解答】 解：（ ）由图象可知 A=2， 设函数 f（ x）的周期为 T，则 ， 求得 T=，从而 =2， f（ x） =2 （ ） = = = ， ， 即 ， k Z 令 k=0，得 ， g（ x）在 上的单调递减区间为 16如图 1，平面五边形 ， 0， ， ， 的正三角形现将 起，得到四棱锥 E 图 2），且 （ ）求证：平面 平面 （ ）求平面 平面 成锐二面角的大小； （ ）在棱 是否存在点 F，使得 平面 存在，求 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 而 平面 此能平面 平面 （ ）设 中点为 O，连接 导出 而 平面 O 为原点， 在的直线为 x 轴，在平面 过 O 垂直于 直线为 在 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 O 用向量法能求出平面 平面 成的锐二面角大小 （ ）设 中点为 G，连接 导出四边形 平行四边形，从而 此能求出在棱 存在点 F，使得 平面 时 【解答】 （本小题共 14 分） 证明：（ ）由已知得 因为 ，所以 平面 又 面 以平面 平面 解：（ ）设 中点为 O，连接 因为 正三角形，所以 D， 所以 因为 平面 平面 平面 平面 D， 面 所以 平面 以 O 为原点， 在的直线为 x 轴，在平面 过 O 垂直于 直线为y 轴， 在的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系 O 图所示 由已知，得 E（ 0， 0， ）， B（ 1， 2， 0）， C（ 1， 1， 0） 所以 =（ 1， 1， ）， =（ 2， 1， 0） 设平面 法向量 =（ x， y， z） 则 ， 令 x=1，则 =（ 1， 2， ） 又平面 一个法向量 =（ 0， 1， 0）， 所以 = = 所以平面 平面 成的锐二面角大小为 （ ）在棱 存在点 F，使得 平面 时 理由如下： 设 中点为 G，连接 则 因为 ，所以 D， 所以四边形 平行四边形，所以 因为 面 面 所以 平面 17某公司购买了 A， B， C 三种不同品牌的电动智能送风口罩为了解三种品牌口罩的电池性能，现采用分 层抽样的方法，从三种品牌的口罩中抽出 25 台，测试它们一次完全充电后的连续待机时长，统计结果如下（单位：小时）： A 4 4 6 B 6 7 C 5 5 6 7 7 8 （ ）已知该公司购买的 C 品牌电动智能送风口罩比 B 品牌多 200 台，求该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量； （ ）从 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩中，各随机选取一台，求 品牌的概率； （ ）再从 A， B， C 三种不同品 牌的电动智能送风口罩中各随机抽取一台，它们的待机时长分别是 a， b， c（单位：小时）这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0若 0 1，写出 a+b+论不要求证明） 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ I）利用该公司购买的 C 品牌电动智能送风口罩比 B 品牌多 200 台，建立方程，即可求该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量； （ ）根据古典概型概率计算公式，可求出 A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率； （ ）根据平均数的定义，写出 a+b+c 的最小值 【解答】 解：（ ）设该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量为 x 台， 则购买的 C 品牌电动智能送风口罩为 台， 由题意得 ，所以 x=800 答：该公司购买的 B 品牌电动智能送风口罩的数量为 800 台 . （ ）设 A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为 P， 则 答：在 A 品牌和 B 品牌抽出的电动智能送风口罩中各任取一台， A 品牌待机时长高于 B 品牌的概率为 . （ ） 18 18已知函数 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）对任意 ，都有 m 的取值范围 【考点】 利用导数求 闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间； （ ）问题转化为 m f（ x） 过讨论 k 的范围，求出 f（ x）的最大值，从而求出 m 的范围即可 【解答】 解：由已知得， f（ x）的定义域为（ 0， + ） （ ） ， 令 f（ x） 0，得 x 1，令 f（ x） 0，得 0 x 1 所以函数 f（ x）的单调减区间是（ 0， 1），单调增区间是（ 1， + ）， （ ）由 得 ，即 m f（ x） 由（ ）知， （ 1）当 k 2 时， f（ x）在 上单调递减，所以 ，所以m 0； （ 2）当 0 k 1 时， f（ x）在 上单调递增，所以 ， 所以 ； （ 3）当 1 k 2 时， f（ x）在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 又 ， ， 若 ，即 ，所以 1 k 2时 ， 所以 若 ，即 ，所以 2k 2，此时 f（ x） ，所以 m 0 综上所述，当 k 2， m 0； 当 0 k 2， 19已知椭圆 C： 的离心率为 ，右焦点为 F，点 B（ 0， 1）在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过点 的直线交椭圆 C 于 M， N 两点，交直线 x=2 于点 P，设 ，求证： + 为定值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题意 b=1，利用椭圆的离心率即可求得 a 的值，求得椭圆方程； （ ）设直线 方程为 y=k（ x 1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明 +=0 为定值 【解答】 解：（ ）由点 B（ 0， 1）在椭圆 C： 上，则 ，即 b=1 又椭圆 C 的离心率为 ，则 ， 由 a2=b2+ 椭圆 C 的方程为 （ ）证明：由已知得 F（ 1， 0），直线 斜率存 在 设直线 方程为 y=k（ x 1）， M（ N（ 则 P（ 2， k） 由 ， ，得 ， ， 联立 得（ 1+242=0 ， = =0， +=0 为定值 20对于 n N*，若数列 足 1，则称这个数列为 “K 数列 ” （ ）已知数列： 1， m+1， “K 数列 ”，求实数 m 的取