北京市海淀区2017届高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|1 x 3，集合 B=x|4，则集合 A B 等于（ ） A x|2 x 3 B x|x 1 C x|1 x 2 D x|x 2 2圆心为（ 0， 1）且与直线 y=2 相切的圆的方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x+1） 2+ C y 1） 2=1 D y+1） 2=1 3执行如图所示的程序框图，输出的 x 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 4若实数 a， b 满足 a 0， b 0，则 “a b”是 “a+b+（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ） A B C D 3 6在 ，点 D 满足 ，则（ ） A点 D 不在直线 B点 D 在 延长线上 C点 D 在线段 D点 D 在 延长线上 7若函数 的值域为 1， 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B（ ， 1 C（ 0， 1 D（ 1， 0） 8如图，在公路 侧分别有 ， 个工厂，各工厂与公路 中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路 设置一个车站，选择站址的标准是 “使各工厂到车站的距离之和越小越好 ”则下面结论中正确的是（ ） 车站的位置设在 C 点好于 B 点； 车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样； 车站位置的设置与各段小公路的长度无关 A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9已知复数 z=a（ 1+i） 2 为纯虚数，则实数 a= 10已知等比数列 ， ，则公比 q= ，其前 4 项和 11若抛物线 准线经过双曲线 的左焦点，则实数 p= 12若 x， y 满足 则 的最大值是 13已知函数 f（ x） = 0），若函数 y=f（ x+a）（ a 0）的部分图象如图所示，则 = ， a 的最小值是 14阅读下列材料， 回答后面问题： 在 2014 年 12 月 30 日 出的 “新闻直播间 ”节目中，主持人说： “加入此次亚航失联航班 证实失事的话， 2014 年航空事故死亡人数将达到1320 人尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具 世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有 124 万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是 1972 年，其死亡数字也仅为 3346 人 ； 截至 2014 年 9 月，每百万架次中有 （指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在 100 人左右 ” 对上述航空专 家给出的 、 两段表述（划线部分），你认为不能够支持 “飞机仍是相对安全的交通工具 ”的所有表述序号为 ，你的理由是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 .） 15已知等差数列 足 a1+， a2+0 （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 an+的前 n 项和 16某地区以 “绿色出行 ”为宗旨开展 “共享单车 ”业务该地有 a， b 两种 “共享单车 ”（以下简称 a 型车， b 型车）某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单车的使用情况 （ ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中 4 人租到 a 型车， 3 人租到 b 型车如果从组内随机抽取 2 人，求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型车的概率； （ ）根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告，小组同学发现 3 月， 4月的用户租车情况城现如表使用规律例如，第 3 个月租 a 型车的用户中，在第4 个月有 60%的用户仍租 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 50% 租用 b 型车 40% 50% 若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同已知 2017 年 3 月该地区租用 a， b 两种车型的用户比例为 1： 1，根据表格提供的信息，估计 2017 年 4月该地区租用两种车型的用户比例 17在 ， A=2B （ ）求证： a=2 （ ）若 b=2， c=4，求 B 的值 18在四棱锥 P ，底面 正方形， 平面 B=2， E，F 分别是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 P 体积； （ ）求证：平面 平面 19已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A， B，且 |4，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 Q（ 4， 0），若点 P 在直线 x=4 上，直线 椭圆交于另一点 M判断是否存在点 P，使得四边形 梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 20已知函数 f（ x） =x2+线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线与 （ ）求 a 的值； （ ）若 g（ x） =2x 1，求函数 g（ x）的最小值； （ ）求证：存在 c 0，当 x c 时， f（ x） 0 2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 参考答 案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|1 x 3，集合 B=x|4，则集合 A B 等于（ ） A x|2 x 3 B x|x 1 C x|1 x 2 D x|x 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 B，根据交集的定义写出 A B 【解答】 解：集合 A=x|1 x 3， 集合 B=x|4=x|x 2 或 x 2， 则集合 A B=x|2 x 3 故 选： A 2圆心为（ 0， 1）且与直线 y=2 相切的圆的方程为（ ） A（ x 1） 2+ B（ x+1） 2+ C y 1） 2=1 D y+1） 2=1 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 根据题意设圆方程为 y 1） 2=圆心到直线的距离得到半径 r，代入即可得到所求圆的方程 【解答】 解：设圆方程为 y 1） 2= 直线 y=2 与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径 r， r=1 故圆的方程为： y 1） 2=1，故选： C 3执行如图所示的程序框图 ，输出的 x 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 x=0， y=5 不满足条件 = ，执行循环体， x=1， y=4 不满足条件 = ，执行循环体， x=2， y=2 满足条件 = ，退出循环，输出 x 的值为 2 故选： C 4若实数 a， b 满足 a 0， b 0，则 “a b”是 “a+b+（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 据 a， b 的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可 【解答】 解：设 f（ x） =x+然 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增， a b， f（ a） f（ b）， a+b+ 故充分性成立， a+b+ f（ a） f（ b）， a b， 故必要性成立， 故 “a b”是 “a+b+充要条件， 故选： C 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ） A B C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为 2、 1、 1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论 【解答】 解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为 2、 1、 1， 该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为 = ， 故选 B 6在 ，点 D 满足 ，则（ ） A点 D 不在直线 B点 D 在 延长线上 C点 D 在线段 D点 D 在 延 长线上 【考点】 向量的三角形法则 【分析】 据条件，容易得出 ，可作出图形，并作 ，并连接 这样便可说明点 D 和点 D重合，从而得出点 D 在 延长线上 【解答】 解： = = ； 如图， 作 ，连接 则： = ； D和 D 重合； 点 D 在 延长线上 故选 D 7若函数 的值域为 1， 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1， + ） B（ ， 1 C（ 0， 1 D（ 1， 0） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 根据函数 f（ x）的解析式，讨论 x a 和 x a 时， f（ x） 1， 1，即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：函数 的值域为 1， 1， 当 x a 时， f（ x） = 1， 1，满足题意； 当 x a 时， f（ x） = 1， 1， 应满足 0 1，解得 x 1； a 的取值范围是 1， + ） 故选： A 8如图，在公路 侧分别有 ， 个工厂，各工厂与公路 中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路 设置一个车站，选择站址的标准是 “使各工厂到车站的距离之和越小越好 ”则下面结论中正确的是（ ） 车站的位置设在 C 点 好于 B 点； 车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样； 车站位置的设置与各段小公路的长度无关 A B C D 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 根据最优化问题，即可判断出正确答案 【解答】 解：因为 A、 D、 E 点各有一个工厂相连， B， C，各有两个工厂相连，把工厂看作 “人 ” 可简化为 “A， B， C， D， E 处分别站着 1， 2， 2， 1， 1 个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小 ”把人尽量靠拢，显然把人聚到 B、 C 最合适，靠拢完的结果变成了 B=4， C=3，最好是移 动 3 个人而不要移动 4 个人 所以车站设在 C 点，且与各段小公路的长度无关 故选 C 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9已知复数 z=a（ 1+i） 2 为纯虚数，则实数 a= 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用纯虚数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z=a（ 1+i） 2=a 2+纯虚数， a 2=0， a 0， 则实数 a=2 故答案为： 2 10已知等比数列 ， ，则公比 q= 2 ，其前 4 项和 15 【考点】 等比 数列的前 n 项和；等比数列的通项公式 【分析】 设等比数列 公比为 q，由 ，可得 q2= =8，解得 q，利用求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， ， q2= =8，解得 a2=q=2 其前 4 项和 =15 故答案为： 2， 15 11若抛物线 准线经过双曲线 的左焦点，则实数 p= 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的准线 x= 经过双曲线的右 焦点（ 2， 0），即可求出 p 【解答】 解：因为抛物线 准线经过双曲线 的左焦点， p 0，所以抛物线的准线为 x= ， 依题意，直线 x= 经过双曲线的右焦点（ 2， 0）， 所以 p=4 故答案为： 4 12若 x， y 满足 则 的最大值是 【考点】 简单线性规划 【分析】 根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】 解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示： 则 的几何意义表示平面区域内的点 与点（ 0， 0）的斜率的最大值，由 解得 A（ 1， ） 显然过 A 时，斜率最大，最大值是 ， 故答案为： 13已知函数 f（ x） = 0），若函数 y=f（ x+a）（ a 0）的部分图象如图所示，则 = 2 ， a 的最小值是 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求 ，然后由图象过的已知点求出 a 【解答】 解：由已知函数图象得到 ，所以 T=，所以 =2， 又 y=f（ x+a） =x+a）且（ ， 1）在图象上， 所以 +a） =1，所以 +2a=2 k Z， 所以 k 取 0 时 a 的最小值为 ； 故答案为： 2； 14阅读下列材料，回答后面问题： 在 2014 年 12 月 30 日 出的 “新闻直播间 ”节目中，主持人说： “加入此次亚航失联航班 证实失事的话， 2014 年航空事故死亡人数将达到1320 人尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具 世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有 124 万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是 1972 年，其死亡数字也仅为 3346 人 ； 截至 2014 年 9 月，每百万架次中有 （指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在 100 人左右 ” 对上述航空专家给出的 、 两段表述（划线部分），你认为不能够支持 “飞机仍是相对安全的交通工具 ”的所有表述序号为 ，你的理由是 数据 虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据 两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机死亡人数 ，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 【考 点】 收集数据的方法 【分析】 根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论 【解答】 解：选 ，理由为：数据 虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据 两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机死亡人数 ，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 故答案为： ；数据 虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据 两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关 ；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机死亡人数 ，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 明过程或演算步骤 .） 15已知等差数列 足 a1+， a2+0 （ ）求数列 通项公式； （ ）求数列 an+的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用等差数列的通项公式即可得出 （ 用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】 解：（ ）设 数列 公差为 d， 因为 a1+， a2+0，所以 ， 所以 2d=4， d=2 又 a1+a1+d=6，所以 ， 所以 an= n 1） d=2n （ ）记 bn=an+，所以 n+2（ n+1） =4n+2， 又 （ n+1） +2 4n 2=4， 所以 首项为 6，公差为 4 的等差数列， 其前 n 项和 16某地区以 “绿色出行 ”为宗旨开展 “共享单车 ”业务该地有 a， b 两种 “共享单车 ”（以下简称 a 型车， b 型车）某学习小组 7 名同学调查了该 地区共享单车的使用情况 （ ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中 4 人租到 a 型车， 3 人租到 b 型车如果从组内随机抽取 2 人，求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型车的概率； （ ）根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告，小组同学发现 3 月， 4月的用户租车情况城现如表使用规律例如，第 3 个月租 a 型车的用户中，在第4 个月有 60%的用户仍租 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 50% 租用 b 型车 40% 50% 若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同已知 2017 年 3 月该地区租用 a， b 两种车型的用户比例为 1： 1，根据表格提供的信息，估计 2017 年 4月该地区租用两种车型的用户比例 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）依题意租到 a 型车的 4 人为 到 b 型车的 3 人为 事件 A 为 “7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车 ”，则事件为 “7 人中抽到 2 人都租到 b 型车 ”利用列举法能求出抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程中租到 a 型车的概率 （ ）依题意，市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%，租用 0%40%+50%50%=45%，由此能同市场 4 月租用 a， b 型车的用户比例 【解答】 解：（ ）依题意租到 a 型车的 4 人为 到 b 型车的3 人为 设事件 A 为 “7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车 ”， 则事件 为 “7 人中抽到 2 人都租到 b 型车 ” 如下列表格所示： 从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况，事件 发生共有 3 种情况， 所以事件 A 概率 （ ）依题意，市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%， 租用 b 型 车的比例为 50%40%+50%50%=45%， 所以市场 4 月租用 a， b 型车的用户比例为 17在 ， A=2B （ ）求证： a=2 （ ）若 b=2， c=4，求 B 的值 【考点】 余弦定理的应用 【分析】 （ ）由正弦定理 ，得 ，即可证明： a=2 （ ）若 b=2， c=4，利用余弦定理，即可求 B 的值 【解答】 （ ）证明：因为 A=2B， 所以由正弦定理 ，得 ， 得 ，所以 a=2 （ ）解：由余弦定理， a2=b2+2 因为 b=2， c=4， A=2B， 所以 16+16 16 所以 ， 因为 A+B=2B+B ，所以 ， 所以 ，所以 18在四棱锥 P ，底面 正方形， 平面 B=2， E，F 分别是 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 P 体积； （ ）求证：平面 平面 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）连接 于点 O，连接 导出 此能证明 平面 （ ）由 平面 棱锥 P 高由 S ，由此能求出结果 （ ）推导出 而 平面 而 平面 此能证明平面 平面 【解答】 证明：（ ）连接 于点 O，连接 在 ， O， F 分别是 中点， 所以 又因为 面 面 所以 平面 解：（ ）因为 平面 以 棱锥 P 高 因为 B=2，底面 正方 形， 所以 = ， 因为 E 为 点，所以 S 所以 证明：（ ）因为 平面 面 所以 在等腰直角 ， 又 ， 面 面 所以 平面 又 所以 平面 又 平面 所以平面 平面 19已知椭圆 C： =1（ a b 0）的左、右顶点分别为 A， B，且 |4，离心率为 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）设点 Q（ 4， 0），若 点 P 在直线 x=4 上，直线 椭圆交于另一点 M判断是否存在点 P，使得四边形 梯形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由 |4，得 a=2又 ， b2=立解出即可得出 （ ）假设存在点 P，使得四边形 梯形由题意知，显然 平行，可得 ， 设点 M（ P（ 4， t），过点M 作 H，可得 ，解得 入椭圆方程，即可得出 【解答】 解：（ ）由 |4，得 a=2 又因为 ，所以 c=1，所以 b2=， 所以椭圆 C 的方程为 （ ）假设存在点 P，使得四边形 梯形 由题意知，显然 平行，所以 所以 ，所以 设点 M（ P（ 4， t）， 过点 M 作 H，则有 ， 所以 |1，所以 H（ 1， 0），所以 ， 代入椭圆方程，求得 ， 所以 P（ 4， 3） 20已知函数 f（ x） =x2+线 y=f（ x）在点（ 0， f（ 0）处的切线与 （ ）求 a 的值； （ ）若 g（ x） =2x 1，求 函数 g（ x）的最小值； （ ）求证：存在 c 0，当 x c 时， f（ x） 0 【考点】 利用导